Theorem lidl0cl 20811

Description: An ideal contains 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidl0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl0cl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidl0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		rlm0 20795	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2761	. 2 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
4		rlmlmod 20803	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
6		lidlcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		lidlval 20790	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
8	6, 7	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
9	5, 8	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘(ringLMod‘𝑅)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	lss0cl 20534	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) → (0g‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ 𝐼)
13	4, 9, 12	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ 𝐼)
14	3, 13	eqeltrid 2838	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6535  0_gc0g 17372  Ringcrg 20038  LModclmod 20448  LSubSpclss 20519  ringLModcrglmod 20759  LIdealclidl 20760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-subg 18988  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-subrg 20338  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-lidl 20764

This theorem is referenced by:  lidlsubg  20814  lidlnz  20829  ig1peu  25658  ig1pdvds  25663  intlidl  32491  rhmpreimaidl  32492  0ringidl  32494  idlinsubrg  32500  rhmimaidl  32501  mxidlnzr  32534  mxidlprm  32537  ssmxidllem  32538  zarcls0  32779  hbtlem2  41737  hbtlem5  41741