MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidl0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidl0cl 19977
Description: An ideal contains 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidl0cl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidl0cl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)

Proof of Theorem lidl0cl
StepHypRef Expression
1 lidl0cl.z . . 3 0 = (0g𝑅)
2 rlm0 19961 . . 3 (0g𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2842 . 2 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
4 rlmlmod 19969 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5 simpr 487 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼𝑈)
6 lidlcl.u . . . . 5 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7 lidlval 19956 . . . . 5 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
86, 7eqtri 2842 . . . 4 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
95, 8eleqtrdi 2921 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
10 eqid 2819 . . . 4 (0g‘(ringLMod‘𝑅)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
11 eqid 2819 . . . 4 (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
1210, 11lss0cl 19710 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) → (0g‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ 𝐼)
134, 9, 12syl2an2r 683 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ 𝐼)
143, 13eqeltrid 2915 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  cfv 6348  0gc0g 16705  Ringcrg 19289  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  ringLModcrglmod 19933  LIdealclidl 19934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-lidl 19938
This theorem is referenced by:  lidlsubg  19980  lidlnz  19993  ig1peu  24757  ig1pdvds  24762  mxidlnzr  30969  mxidlprm  30970  ssmxidllem  30971  hbtlem2  39715  hbtlem5  39719
  Copyright terms: Public domain W3C validator