MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidl0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidl0cl 19532
Description: An ideal contains 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidl0cl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidl0cl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)

Proof of Theorem lidl0cl
StepHypRef Expression
1 lidl0cl.z . . 3 0 = (0g𝑅)
2 rlm0 19517 . . 3 (0g𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2819 . 2 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
4 rlmlmod 19525 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
54adantr 473 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
6 simpr 478 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼𝑈)
7 lidlcl.u . . . . 5 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
8 lidlval 19512 . . . . 5 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
97, 8eqtri 2819 . . . 4 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
106, 9syl6eleq 2886 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11 eqid 2797 . . . 4 (0g‘(ringLMod‘𝑅)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
12 eqid 2797 . . . 4 (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
1311, 12lss0cl 19262 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) → (0g‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ 𝐼)
145, 10, 13syl2anc 580 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ 𝐼)
153, 14syl5eqel 2880 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6099  0gc0g 16412  Ringcrg 18860  LModclmod 19178  LSubSpclss 19247  ringLModcrglmod 19489  LIdealclidl 19490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-lidl 19494
This theorem is referenced by:  lidlsubg  19535  lidlnz  19548  ig1peu  24269  ig1pdvds  24274  hbtlem2  38467  hbtlem5  38471
  Copyright terms: Public domain W3C validator