Theorem lidlnegcl 21210

Description: An ideal contains negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnegcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlnegcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnegcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
2		rlmvneg 21191	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
4	3	fveq1i 6833	. 2 ⊢ (𝑁‘𝑋) = ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋)
5		rlmlmod 21188	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
6	5	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		lidlcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
9		lidlval 21198	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
11	7, 10	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12	11	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
13		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘(ringLMod‘𝑅)) = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
16	14, 15	lssvnegcl 20940	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋) ∈ 𝐼)
17	6, 12, 13, 16	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋) ∈ 𝐼)
18	4, 17	eqeltrid 2841	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  inv_gcminusg 18899  Ringcrg 20203  LModclmod 20844  LSubSpclss 20915  ringLModcrglmod 21157  LIdealclidl 21194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-lidl 21196

This theorem is referenced by:  lidlsubg  21211  zringlpirlem1  21450