Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlnegcl 19537
 Description: An ideal contains negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnegcl.n 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlnegcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlnegcl
StepHypRef Expression
1 lidlnegcl.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑅)
2 rlmvneg 19530 . . . 4 (invg𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2821 . . 3 𝑁 = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
43fveq1i 6412 . 2 (𝑁𝑋) = ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋)
5 rlmlmod 19528 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
653ad2ant1 1164 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7 simpr 478 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼𝑈)
8 lidlcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
9 lidlval 19515 . . . . . 6 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
108, 9eqtri 2821 . . . . 5 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
117, 10syl6eleq 2888 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12113adant3 1163 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
13 simp3 1169 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝑋𝐼)
14 eqid 2799 . . . 4 (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
15 eqid 2799 . . . 4 (invg‘(ringLMod‘𝑅)) = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
1614, 15lssvnegcl 19277 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝑋𝐼) → ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋) ∈ 𝐼)
176, 12, 13, 16syl3anc 1491 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋) ∈ 𝐼)
184, 17syl5eqel 2882 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  invgcminusg 17739  Ringcrg 18863  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250  ringLModcrglmod 19492  LIdealclidl 19493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-lidl 19497 This theorem is referenced by:  lidlsubg  19538  zringlpirlem1  20154
 Copyright terms: Public domain W3C validator