MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlnegcl 21255
Description: An ideal contains negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnegcl.n 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlnegcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlnegcl
StepHypRef Expression
1 lidlnegcl.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑅)
2 rlmvneg 21236 . . . 4 (invg𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2768 . . 3 𝑁 = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
43fveq1i 6921 . 2 (𝑁𝑋) = ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋)
5 rlmlmod 21233 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
653ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼𝑈)
8 lidlcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
9 lidlval 21243 . . . . . 6 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
108, 9eqtri 2768 . . . . 5 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
117, 10eleqtrdi 2854 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12113adant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
13 simp3 1138 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → 𝑋𝐼)
14 eqid 2740 . . . 4 (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
15 eqid 2740 . . . 4 (invg‘(ringLMod‘𝑅)) = (invg‘(ringLMod‘𝑅))
1614, 15lssvnegcl 20977 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ 𝑋𝐼) → ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋) ∈ 𝐼)
176, 12, 13, 16syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → ((invg‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑋) ∈ 𝐼)
184, 17eqeltrid 2848 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑋𝐼) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  cfv 6573  invgcminusg 18974  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  ringLModcrglmod 21194  LIdealclidl 21239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241
This theorem is referenced by:  lidlsubg  21256  zringlpirlem1  21496
  Copyright terms: Public domain W3C validator