Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmbr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmbr3 44449
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr3.1 β„²π‘˜πΉ
lmbr3.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
lmbr3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑒   𝑒,𝐽   𝑒,𝑃   𝑗,π‘˜,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,𝑗,π‘˜)   𝑃(𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐽(𝑗,π‘˜)   𝑋(𝑒,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem lmbr3
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr3.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
21lmbr3v 44447 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑣)))))
3 eleq2w 2817 . . . . 5 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 ↔ 𝑃 ∈ 𝑒))
4 eleq2w 2817 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑒 β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑣 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒))
54anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑒 β†’ ((𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑣) ↔ (𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒)))
65rexralbidv 3220 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑣) ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒)))
7 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
87raleqdv 3325 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒)))
9 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜π‘™
10 lmbr3.1 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜πΉ
1110nfdm 5948 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜dom 𝐹
129, 11nfel 2917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜ 𝑙 ∈ dom 𝐹
1310, 9nffv 6898 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™)
14 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜π‘’
1513, 14nfel 2917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒
1612, 15nfan 1902 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒)
17 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
18 eleq1w 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = π‘˜ β†’ (𝑙 ∈ dom 𝐹 ↔ π‘˜ ∈ dom 𝐹))
19 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘˜))
2019eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
2118, 20anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
2216, 17, 21cbvralw 3303 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
238, 22bitrdi 286 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
2423cbvrexvw 3235 . . . . . 6 (βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
256, 24bitrdi 286 . . . . 5 (𝑣 = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑣) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
263, 25imbi12d 344 . . . 4 (𝑣 = 𝑒 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
2726cbvralvw 3234 . . 3 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑣)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
28273anbi3i 1159 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ 𝑣))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
292, 28bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  β„‚cc 11104  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  TopOnctopon 22403  β‡π‘‘clm 22721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-neg 11443  df-z 12555  df-uz 12819  df-top 22387  df-topon 22404  df-lm 22724
This theorem is referenced by:  xlimbr  44529  xlimmnfvlem1  44534  xlimmnfvlem2  44535  xlimpnfvlem1  44538  xlimpnfvlem2  44539
  Copyright terms: Public domain W3C validator