Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oexpreposd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpreposd 41803
Description: Lemma for dffltz 41980. TODO-SN?: This can be used to show exp11d 41807 holds for all integers when the exponent is odd. The more standard ¬ 2 ∥ 𝑀 should be used. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
oexpreposd.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
oexpreposd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
oexpreposd.1 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
oexpreposd (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))

Proof of Theorem oexpreposd
StepHypRef Expression
1 oexpreposd.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 oexpreposd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12607 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
7 expgt0 14084 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝑀))
82, 5, 6, 7syl3anc 1369 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝑀))
98ex 412 . 2 (𝜑 → (0 < 𝑁 → 0 < (𝑁𝑀)))
10 0red 11239 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1110, 1lttrid 11374 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0)))
1211notbid 318 . . 3 (𝜑 → (¬ 0 < 𝑁 ↔ ¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0)))
13 notnotr 130 . . . 4 (¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0) → (0 = 𝑁𝑁 < 0))
14 0re 11238 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1514ltnri 11345 . . . . . . . . 9 ¬ 0 < 0
1630expd 14127 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
1716breq2d 5154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 < (0↑𝑀) ↔ 0 < 0))
1815, 17mtbiri 327 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 < (0↑𝑀))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → ¬ 0 < (0↑𝑀))
20 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → 0 = 𝑁)
2120eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → 𝑁 = 0)
2221oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → (𝑁𝑀) = (0↑𝑀))
2322breq2d 5154 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → (0 < (𝑁𝑀) ↔ 0 < (0↑𝑀)))
2419, 23mtbird 325 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → ¬ 0 < (𝑁𝑀))
2524ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (0 = 𝑁 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
261renegcld 11663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → -𝑁 ∈ ℝ)
284adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 0 < -𝑁)
30 expgt0 14084 . . . . . . . . 9 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑁) → 0 < (-𝑁𝑀))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 0 < (-𝑁𝑀))
3231ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < -𝑁 → 0 < (-𝑁𝑀)))
331recnd 11264 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
34 oexpreposd.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
36 zq 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 / 2) ∈ ℤ → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
38 qden1elz 16720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 / 2) ∈ ℚ → ((denom‘(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((denom‘(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
4035, 39mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (denom‘(𝑀 / 2)) = 1)
4140oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = ((𝑀 / 2) · 1))
42 qmuldeneqnum 16710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 / 2) ∈ ℚ → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = (numer‘(𝑀 / 2)))
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = (numer‘(𝑀 / 2)))
4435zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
4544mulridd 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · 1) = (𝑀 / 2))
4641, 43, 453eqtr3rd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) = (numer‘(𝑀 / 2)))
473nnred 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
48 2re 12308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
503nngt0d 12283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑀)
51 2pos 12337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 2)
5347, 49, 50, 52divgt0d 12171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑀 / 2))
54 qgt0numnn 16714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 / 2) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑀 / 2)) → (numer‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ)
5536, 53, 54syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (numer‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ)
5646, 55eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
5734, 56mtand 815 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
58 evend2 16325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
594, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
6057, 59mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
61 oexpneg 16313 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (-𝑁𝑀) = -(𝑁𝑀))
6233, 3, 60, 61syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝑁𝑀) = -(𝑁𝑀))
6362breq2d 5154 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 < (-𝑁𝑀) ↔ 0 < -(𝑁𝑀)))
6463biimpd 228 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (-𝑁𝑀) → 0 < -(𝑁𝑀)))
653nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
661, 65reexpcld 14151 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
6766renegcld 11663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑁𝑀) ∈ ℝ)
6810, 67lttrid 11374 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 < -(𝑁𝑀) ↔ ¬ (0 = -(𝑁𝑀) ∨ -(𝑁𝑀) < 0)))
69 pm2.46 881 . . . . . . . 8 (¬ (0 = -(𝑁𝑀) ∨ -(𝑁𝑀) < 0) → ¬ -(𝑁𝑀) < 0)
7068, 69syl6bi 253 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < -(𝑁𝑀) → ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
7132, 64, 703syld 60 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < -𝑁 → ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
721lt0neg1d 11805 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
7366lt0neg2d 11806 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (𝑁𝑀) ↔ -(𝑁𝑀) < 0))
7473notbid 318 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 0 < (𝑁𝑀) ↔ ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
7571, 72, 743imtr4d 294 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 < 0 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7625, 75jaod 858 . . . 4 (𝜑 → ((0 = 𝑁𝑁 < 0) → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7713, 76syl5 34 . . 3 (𝜑 → (¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0) → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7812, 77sylbid 239 . 2 (𝜑 → (¬ 0 < 𝑁 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
799, 78impcon4bid 226 1 (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   · cmul 11135   < clt 11270  -cneg 11467   / cdiv 11893  cn 12234  2c2 12289  cz 12580  cq 12954  cexp 14050  cdvds 16222  numercnumer 16696  denomcdenom 16697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-numer 16698  df-denom 16699
This theorem is referenced by:  dffltz  41980
  Copyright terms: Public domain W3C validator