Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oexpreposd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpreposd 42362
Description: Lemma for dffltz 42649. For a more standard version, see expgt0b 32819. TODO-SN?: This can be used to show exp11d 42366 holds for all integers when the exponent is odd. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
oexpreposd.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
oexpreposd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
oexpreposd.1 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
oexpreposd (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))

Proof of Theorem oexpreposd
StepHypRef Expression
1 oexpreposd.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 oexpreposd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12642 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
7 expgt0 14137 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝑀))
82, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝑀))
98ex 412 . 2 (𝜑 → (0 < 𝑁 → 0 < (𝑁𝑀)))
10 0red 11265 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1110, 1lttrid 11400 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0)))
1211notbid 318 . . 3 (𝜑 → (¬ 0 < 𝑁 ↔ ¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0)))
13 notnotr 130 . . . 4 (¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0) → (0 = 𝑁𝑁 < 0))
14 0re 11264 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1514ltnri 11371 . . . . . . . . 9 ¬ 0 < 0
1630expd 14180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
1716breq2d 5154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 < (0↑𝑀) ↔ 0 < 0))
1815, 17mtbiri 327 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 < (0↑𝑀))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → ¬ 0 < (0↑𝑀))
20 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → 0 = 𝑁)
2120eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → 𝑁 = 0)
2221oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → (𝑁𝑀) = (0↑𝑀))
2322breq2d 5154 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → (0 < (𝑁𝑀) ↔ 0 < (0↑𝑀)))
2419, 23mtbird 325 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → ¬ 0 < (𝑁𝑀))
2524ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (0 = 𝑁 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
261renegcld 11691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → -𝑁 ∈ ℝ)
284adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 0 < -𝑁)
30 expgt0 14137 . . . . . . . . 9 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑁) → 0 < (-𝑁𝑀))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 0 < (-𝑁𝑀))
3231ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < -𝑁 → 0 < (-𝑁𝑀)))
331recnd 11290 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
34 oexpreposd.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
36 zq 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 / 2) ∈ ℤ → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
38 qden1elz 16795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 / 2) ∈ ℚ → ((denom‘(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((denom‘(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
4035, 39mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (denom‘(𝑀 / 2)) = 1)
4140oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = ((𝑀 / 2) · 1))
42 qmuldeneqnum 16785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 / 2) ∈ ℚ → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = (numer‘(𝑀 / 2)))
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = (numer‘(𝑀 / 2)))
4435zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
4544mulridd 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · 1) = (𝑀 / 2))
4641, 43, 453eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) = (numer‘(𝑀 / 2)))
473nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
48 2re 12341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
503nngt0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑀)
51 2pos 12370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 2)
5347, 49, 50, 52divgt0d 12204 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑀 / 2))
54 qgt0numnn 16789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 / 2) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑀 / 2)) → (numer‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ)
5536, 53, 54syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (numer‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ)
5646, 55eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
5734, 56mtand 815 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
58 evend2 16395 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
594, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
6057, 59mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
61 oexpneg 16383 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (-𝑁𝑀) = -(𝑁𝑀))
6233, 3, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝑁𝑀) = -(𝑁𝑀))
6362breq2d 5154 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 < (-𝑁𝑀) ↔ 0 < -(𝑁𝑀)))
6463biimpd 229 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (-𝑁𝑀) → 0 < -(𝑁𝑀)))
653nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
661, 65reexpcld 14204 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
6766renegcld 11691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑁𝑀) ∈ ℝ)
6810, 67lttrid 11400 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 < -(𝑁𝑀) ↔ ¬ (0 = -(𝑁𝑀) ∨ -(𝑁𝑀) < 0)))
69 pm2.46 882 . . . . . . . 8 (¬ (0 = -(𝑁𝑀) ∨ -(𝑁𝑀) < 0) → ¬ -(𝑁𝑀) < 0)
7068, 69biimtrdi 253 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < -(𝑁𝑀) → ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
7132, 64, 703syld 60 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < -𝑁 → ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
721lt0neg1d 11833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
7366lt0neg2d 11834 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (𝑁𝑀) ↔ -(𝑁𝑀) < 0))
7473notbid 318 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 0 < (𝑁𝑀) ↔ ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
7571, 72, 743imtr4d 294 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 < 0 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7625, 75jaod 859 . . . 4 (𝜑 → ((0 = 𝑁𝑁 < 0) → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7713, 76syl5 34 . . 3 (𝜑 → (¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0) → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7812, 77sylbid 240 . 2 (𝜑 → (¬ 0 < 𝑁 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
799, 78impcon4bid 227 1 (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   < clt 11296  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  cz 12615  cq 12991  cexp 14103  cdvds 16291  numercnumer 16771  denomcdenom 16772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-numer 16773  df-denom 16774
This theorem is referenced by:  dffltz  42649
  Copyright terms: Public domain W3C validator