Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oexpreposd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem oexpreposd 41514
Description: Lemma for dffltz 41678. TODO-SN?: This can be used to show exp11d 41518 holds for all integers when the exponent is odd. The more standard Β¬ 2 βˆ₯ 𝑀 should be used. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
oexpreposd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
oexpreposd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
oexpreposd.1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀 / 2) ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
oexpreposd (πœ‘ β†’ (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁↑𝑀)))
Proof of Theorem oexpreposd
StepHypRef Expression
1 oexpreposd.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3 oexpreposd.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
43nnzd 12589 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
54adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < 𝑁)
7 expgt0 14065 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < (𝑁↑𝑀))
82, 5, 6, 7syl3anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < (𝑁↑𝑀))
98ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (0 < 𝑁 β†’ 0 < (𝑁↑𝑀)))
10 0red 11221 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
1110, 1lttrid 11356 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 < 𝑁 ↔ Β¬ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0)))
1211notbid 317 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 < 𝑁 ↔ Β¬ Β¬ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0)))
13 notnotr 130 . . . 4 (Β¬ Β¬ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0) β†’ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
14 0re 11220 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1514ltnri 11327 . . . . . . . . 9 Β¬ 0 < 0
1630expd 14108 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0↑𝑀) = 0)
1716breq2d 5159 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 < (0↑𝑀) ↔ 0 < 0))
1815, 17mtbiri 326 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 < (0↑𝑀))
1918adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ Β¬ 0 < (0↑𝑀))
20 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ 0 = 𝑁)
2120eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ 𝑁 = 0)
2221oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ (𝑁↑𝑀) = (0↑𝑀))
2322breq2d 5159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ (0 < (𝑁↑𝑀) ↔ 0 < (0↑𝑀)))
2419, 23mtbird 324 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀))
2524ex 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 = 𝑁 β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
261renegcld 11645 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < -𝑁) β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
284adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < -𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
29 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < -𝑁) β†’ 0 < -𝑁)
30 expgt0 14065 . . . . . . . . 9 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < -𝑁) β†’ 0 < (-𝑁↑𝑀))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < -𝑁) β†’ 0 < (-𝑁↑𝑀))
3231ex 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 < -𝑁 β†’ 0 < (-𝑁↑𝑀)))
331recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
34 oexpreposd.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀 / 2) ∈ β„•)
35 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„€)
36 zq 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 / 2) ∈ β„€ β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„š)
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„š)
38 qden1elz 16697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 / 2) ∈ β„š β†’ ((denomβ€˜(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ β„€))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ ((denomβ€˜(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ β„€))
4035, 39mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (denomβ€˜(𝑀 / 2)) = 1)
4140oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 / 2) Β· (denomβ€˜(𝑀 / 2))) = ((𝑀 / 2) Β· 1))
42 qmuldeneqnum 16687 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 / 2) ∈ β„š β†’ ((𝑀 / 2) Β· (denomβ€˜(𝑀 / 2))) = (numerβ€˜(𝑀 / 2)))
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 / 2) Β· (denomβ€˜(𝑀 / 2))) = (numerβ€˜(𝑀 / 2)))
4435zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„‚)
4544mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 / 2) Β· 1) = (𝑀 / 2))
4641, 43, 453eqtr3rd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) = (numerβ€˜(𝑀 / 2)))
473nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
48 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
503nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
51 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
5347, 49, 50, 52divgt0d 12153 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑀 / 2))
54 qgt0numnn 16691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 / 2) ∈ β„š ∧ 0 < (𝑀 / 2)) β†’ (numerβ€˜(𝑀 / 2)) ∈ β„•)
5536, 53, 54syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (numerβ€˜(𝑀 / 2)) ∈ β„•)
5646, 55eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„•)
5734, 56mtand 812 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀 / 2) ∈ β„€)
58 evend2 16304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (2 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ β„€))
594, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ β„€))
6057, 59mtbird 324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑀)
61 oexpneg 16292 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑀) β†’ (-𝑁↑𝑀) = -(𝑁↑𝑀))
6233, 3, 60, 61syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-𝑁↑𝑀) = -(𝑁↑𝑀))
6362breq2d 5159 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 < (-𝑁↑𝑀) ↔ 0 < -(𝑁↑𝑀)))
6463biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 < (-𝑁↑𝑀) β†’ 0 < -(𝑁↑𝑀)))
653nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
661, 65reexpcld 14132 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑀) ∈ ℝ)
6766renegcld 11645 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -(𝑁↑𝑀) ∈ ℝ)
6810, 67lttrid 11356 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 < -(𝑁↑𝑀) ↔ Β¬ (0 = -(𝑁↑𝑀) ∨ -(𝑁↑𝑀) < 0)))
69 pm2.46 879 . . . . . . . 8 (Β¬ (0 = -(𝑁↑𝑀) ∨ -(𝑁↑𝑀) < 0) β†’ Β¬ -(𝑁↑𝑀) < 0)
7068, 69syl6bi 252 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 < -(𝑁↑𝑀) β†’ Β¬ -(𝑁↑𝑀) < 0))
7132, 64, 703syld 60 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 < -𝑁 β†’ Β¬ -(𝑁↑𝑀) < 0))
721lt0neg1d 11787 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
7366lt0neg2d 11788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 < (𝑁↑𝑀) ↔ -(𝑁↑𝑀) < 0))
7473notbid 317 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀) ↔ Β¬ -(𝑁↑𝑀) < 0))
7571, 72, 743imtr4d 293 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 < 0 β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
7625, 75jaod 855 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0) β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
7713, 76syl5 34 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ Β¬ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0) β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
7812, 77sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 < 𝑁 β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
799, 78impcon4bid 226 1 (πœ‘ β†’ (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁↑𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„šcq 12936  β†‘cexp 14031   βˆ₯ cdvds 16201  numercnumer 16673  denomcdenom 16674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676
This theorem is referenced by:  dffltz  41678
  Copyright terms: Public domain W3C validator