Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oexpreposd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem oexpreposd 41515
Description: Lemma for dffltz 41679. TODO-SN?: This can be used to show exp11d 41519 holds for all integers when the exponent is odd. The more standard Β¬ 2 βˆ₯ 𝑀 should be used. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
oexpreposd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
oexpreposd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
oexpreposd.1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀 / 2) ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
oexpreposd (πœ‘ β†’ (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁↑𝑀)))
Proof of Theorem oexpreposd
StepHypRef Expression
1 oexpreposd.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3 oexpreposd.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
43nnzd 12590 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
54adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < 𝑁)
7 expgt0 14066 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < (𝑁↑𝑀))
82, 5, 6, 7syl3anc 1370 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < (𝑁↑𝑀))
98ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (0 < 𝑁 β†’ 0 < (𝑁↑𝑀)))
10 0red 11222 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
1110, 1lttrid 11357 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 < 𝑁 ↔ Β¬ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0)))
1211notbid 317 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 < 𝑁 ↔ Β¬ Β¬ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0)))
13 notnotr 130 . . . 4 (Β¬ Β¬ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0) β†’ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
14 0re 11221 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1514ltnri 11328 . . . . . . . . 9 Β¬ 0 < 0
1630expd 14109 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0↑𝑀) = 0)
1716breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 < (0↑𝑀) ↔ 0 < 0))
1815, 17mtbiri 326 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 < (0↑𝑀))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ Β¬ 0 < (0↑𝑀))
20 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ 0 = 𝑁)
2120eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ 𝑁 = 0)
2221oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ (𝑁↑𝑀) = (0↑𝑀))
2322breq2d 5161 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ (0 < (𝑁↑𝑀) ↔ 0 < (0↑𝑀)))
2419, 23mtbird 324 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝑁) β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀))
2524ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 = 𝑁 β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
261renegcld 11646 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < -𝑁) β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
284adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < -𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < -𝑁) β†’ 0 < -𝑁)
30 expgt0 14066 . . . . . . . . 9 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < -𝑁) β†’ 0 < (-𝑁↑𝑀))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < -𝑁) β†’ 0 < (-𝑁↑𝑀))
3231ex 412 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 < -𝑁 β†’ 0 < (-𝑁↑𝑀)))
331recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
34 oexpreposd.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀 / 2) ∈ β„•)
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„€)
36 zq 12943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 / 2) ∈ β„€ β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„š)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„š)
38 qden1elz 16698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 / 2) ∈ β„š β†’ ((denomβ€˜(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ β„€))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ ((denomβ€˜(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ β„€))
4035, 39mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (denomβ€˜(𝑀 / 2)) = 1)
4140oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 / 2) Β· (denomβ€˜(𝑀 / 2))) = ((𝑀 / 2) Β· 1))
42 qmuldeneqnum 16688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 / 2) ∈ β„š β†’ ((𝑀 / 2) Β· (denomβ€˜(𝑀 / 2))) = (numerβ€˜(𝑀 / 2)))
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 / 2) Β· (denomβ€˜(𝑀 / 2))) = (numerβ€˜(𝑀 / 2)))
4435zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„‚)
4544mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 / 2) Β· 1) = (𝑀 / 2))
4641, 43, 453eqtr3rd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) = (numerβ€˜(𝑀 / 2)))
473nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
48 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
503nngt0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
51 2pos 12320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
5347, 49, 50, 52divgt0d 12154 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑀 / 2))
54 qgt0numnn 16692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 / 2) ∈ β„š ∧ 0 < (𝑀 / 2)) β†’ (numerβ€˜(𝑀 / 2)) ∈ β„•)
5536, 53, 54syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (numerβ€˜(𝑀 / 2)) ∈ β„•)
5646, 55eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 / 2) ∈ β„€) β†’ (𝑀 / 2) ∈ β„•)
5734, 56mtand 813 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀 / 2) ∈ β„€)
58 evend2 16305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (2 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ β„€))
594, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ β„€))
6057, 59mtbird 324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑀)
61 oexpneg 16293 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑀) β†’ (-𝑁↑𝑀) = -(𝑁↑𝑀))
6233, 3, 60, 61syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-𝑁↑𝑀) = -(𝑁↑𝑀))
6362breq2d 5161 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 < (-𝑁↑𝑀) ↔ 0 < -(𝑁↑𝑀)))
6463biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 < (-𝑁↑𝑀) β†’ 0 < -(𝑁↑𝑀)))
653nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
661, 65reexpcld 14133 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑀) ∈ ℝ)
6766renegcld 11646 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -(𝑁↑𝑀) ∈ ℝ)
6810, 67lttrid 11357 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 < -(𝑁↑𝑀) ↔ Β¬ (0 = -(𝑁↑𝑀) ∨ -(𝑁↑𝑀) < 0)))
69 pm2.46 880 . . . . . . . 8 (Β¬ (0 = -(𝑁↑𝑀) ∨ -(𝑁↑𝑀) < 0) β†’ Β¬ -(𝑁↑𝑀) < 0)
7068, 69syl6bi 252 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 < -(𝑁↑𝑀) β†’ Β¬ -(𝑁↑𝑀) < 0))
7132, 64, 703syld 60 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 < -𝑁 β†’ Β¬ -(𝑁↑𝑀) < 0))
721lt0neg1d 11788 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
7366lt0neg2d 11789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 < (𝑁↑𝑀) ↔ -(𝑁↑𝑀) < 0))
7473notbid 317 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀) ↔ Β¬ -(𝑁↑𝑀) < 0))
7571, 72, 743imtr4d 293 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 < 0 β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
7625, 75jaod 856 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0) β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
7713, 76syl5 34 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ Β¬ (0 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 0) β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
7812, 77sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 0 < 𝑁 β†’ Β¬ 0 < (𝑁↑𝑀)))
799, 78impcon4bid 226 1 (πœ‘ β†’ (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁↑𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   Β· cmul 11118   < clt 11253  -cneg 11450   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„€cz 12563  β„šcq 12937  β†‘cexp 14032   βˆ₯ cdvds 16202  numercnumer 16674  denomcdenom 16675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-numer 16676  df-denom 16677
This theorem is referenced by:  dffltz  41679
  Copyright terms: Public domain W3C validator