Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oexpreposd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpreposd 39445
Description: Lemma for dffltz 39559. (Contributed by Steven Nguyen, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
oexpreposd.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
oexpreposd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
oexpreposd.1 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
oexpreposd (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))

Proof of Theorem oexpreposd
StepHypRef Expression
1 oexpreposd.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 oexpreposd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12085 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
7 expgt0 13469 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝑀))
82, 5, 6, 7syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝑀))
98ex 416 . 2 (𝜑 → (0 < 𝑁 → 0 < (𝑁𝑀)))
10 0red 10644 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1110, 1lttrid 10778 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0)))
1211notbid 321 . . 3 (𝜑 → (¬ 0 < 𝑁 ↔ ¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0)))
13 notnotr 132 . . . 4 (¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0) → (0 = 𝑁𝑁 < 0))
14 0re 10643 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1514ltnri 10749 . . . . . . . . 9 ¬ 0 < 0
1630expd 13510 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
1716breq2d 5065 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 < (0↑𝑀) ↔ 0 < 0))
1815, 17mtbiri 330 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 < (0↑𝑀))
1918adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → ¬ 0 < (0↑𝑀))
20 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → 0 = 𝑁)
2120eqcomd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → 𝑁 = 0)
2221oveq1d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → (𝑁𝑀) = (0↑𝑀))
2322breq2d 5065 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → (0 < (𝑁𝑀) ↔ 0 < (0↑𝑀)))
2419, 23mtbird 328 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → ¬ 0 < (𝑁𝑀))
2524ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (0 = 𝑁 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
261renegcld 11067 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → -𝑁 ∈ ℝ)
284adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 0 < -𝑁)
30 expgt0 13469 . . . . . . . . 9 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑁) → 0 < (-𝑁𝑀))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 0 < (-𝑁𝑀))
3231ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < -𝑁 → 0 < (-𝑁𝑀)))
331recnd 10669 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
34 oexpreposd.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
35 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
36 zq 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 / 2) ∈ ℤ → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
3736adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
38 qden1elz 16097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 / 2) ∈ ℚ → ((denom‘(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((denom‘(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
4035, 39mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (denom‘(𝑀 / 2)) = 1)
4140oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = ((𝑀 / 2) · 1))
42 qmuldeneqnum 16087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 / 2) ∈ ℚ → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = (numer‘(𝑀 / 2)))
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = (numer‘(𝑀 / 2)))
4435zcnd 12087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
4544mulid1d 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · 1) = (𝑀 / 2))
4641, 43, 453eqtr3rd 2868 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) = (numer‘(𝑀 / 2)))
473nnred 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
48 2re 11710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
503nngt0d 11685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑀)
51 2pos 11739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 2)
5347, 49, 50, 52divgt0d 11575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑀 / 2))
54 qgt0numnn 16091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 / 2) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑀 / 2)) → (numer‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ)
5536, 53, 54syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (numer‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ)
5646, 55eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
5734, 56mtand 815 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
58 evend2 15708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
594, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
6057, 59mtbird 328 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
61 oexpneg 15696 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (-𝑁𝑀) = -(𝑁𝑀))
6233, 3, 60, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝑁𝑀) = -(𝑁𝑀))
6362breq2d 5065 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 < (-𝑁𝑀) ↔ 0 < -(𝑁𝑀)))
6463biimpd 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (-𝑁𝑀) → 0 < -(𝑁𝑀)))
653nnnn0d 11954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
661, 65reexpcld 13534 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
6766renegcld 11067 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑁𝑀) ∈ ℝ)
6810, 67lttrid 10778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 < -(𝑁𝑀) ↔ ¬ (0 = -(𝑁𝑀) ∨ -(𝑁𝑀) < 0)))
69 pm2.46 880 . . . . . . . 8 (¬ (0 = -(𝑁𝑀) ∨ -(𝑁𝑀) < 0) → ¬ -(𝑁𝑀) < 0)
7068, 69syl6bi 256 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < -(𝑁𝑀) → ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
7132, 64, 703syld 60 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < -𝑁 → ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
721lt0neg1d 11209 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
7366lt0neg2d 11210 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (𝑁𝑀) ↔ -(𝑁𝑀) < 0))
7473notbid 321 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 0 < (𝑁𝑀) ↔ ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
7571, 72, 743imtr4d 297 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 < 0 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7625, 75jaod 856 . . . 4 (𝜑 → ((0 = 𝑁𝑁 < 0) → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7713, 76syl5 34 . . 3 (𝜑 → (¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0) → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7812, 77sylbid 243 . 2 (𝜑 → (¬ 0 < 𝑁 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
799, 78impcon4bid 230 1 (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6345  (class class class)co 7151  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675  -cneg 10871   / cdiv 11297  cn 11636  2c2 11691  cz 11980  cq 12347  cexp 13436  cdvds 15609  numercnumer 16073  denomcdenom 16074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-fl 13168  df-mod 13244  df-seq 13376  df-exp 13437  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-gcd 15844  df-numer 16075  df-denom 16076
This theorem is referenced by:  dffltz  39559
  Copyright terms: Public domain W3C validator