Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oexpreposd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpreposd 40793
Description: Lemma for dffltz 40958. TODO-SN?: This can be used to show exp11d 40797 holds for all integers when the exponent is odd. The more standard ¬ 2 ∥ 𝑀 should be used. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
oexpreposd.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
oexpreposd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
oexpreposd.1 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
oexpreposd (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))

Proof of Theorem oexpreposd
StepHypRef Expression
1 oexpreposd.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 oexpreposd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12526 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
7 expgt0 14001 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝑀))
82, 5, 6, 7syl3anc 1371 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝑀))
98ex 413 . 2 (𝜑 → (0 < 𝑁 → 0 < (𝑁𝑀)))
10 0red 11158 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1110, 1lttrid 11293 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0)))
1211notbid 317 . . 3 (𝜑 → (¬ 0 < 𝑁 ↔ ¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0)))
13 notnotr 130 . . . 4 (¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0) → (0 = 𝑁𝑁 < 0))
14 0re 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1514ltnri 11264 . . . . . . . . 9 ¬ 0 < 0
1630expd 14044 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
1716breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 < (0↑𝑀) ↔ 0 < 0))
1815, 17mtbiri 326 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 < (0↑𝑀))
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → ¬ 0 < (0↑𝑀))
20 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → 0 = 𝑁)
2120eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → 𝑁 = 0)
2221oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → (𝑁𝑀) = (0↑𝑀))
2322breq2d 5117 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → (0 < (𝑁𝑀) ↔ 0 < (0↑𝑀)))
2419, 23mtbird 324 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑁) → ¬ 0 < (𝑁𝑀))
2524ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (0 = 𝑁 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
261renegcld 11582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → -𝑁 ∈ ℝ)
284adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 0 < -𝑁)
30 expgt0 14001 . . . . . . . . 9 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑁) → 0 < (-𝑁𝑀))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < -𝑁) → 0 < (-𝑁𝑀))
3231ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < -𝑁 → 0 < (-𝑁𝑀)))
331recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
34 oexpreposd.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
36 zq 12879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 / 2) ∈ ℤ → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
38 qden1elz 16632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 / 2) ∈ ℚ → ((denom‘(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((denom‘(𝑀 / 2)) = 1 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
4035, 39mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (denom‘(𝑀 / 2)) = 1)
4140oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = ((𝑀 / 2) · 1))
42 qmuldeneqnum 16622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 / 2) ∈ ℚ → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = (numer‘(𝑀 / 2)))
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · (denom‘(𝑀 / 2))) = (numer‘(𝑀 / 2)))
4435zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
4544mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) · 1) = (𝑀 / 2))
4641, 43, 453eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) = (numer‘(𝑀 / 2)))
473nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
48 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
503nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑀)
51 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 2)
5347, 49, 50, 52divgt0d 12090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑀 / 2))
54 qgt0numnn 16626 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 / 2) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑀 / 2)) → (numer‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ)
5536, 53, 54syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (numer‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ)
5646, 55eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℕ)
5734, 56mtand 814 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
58 evend2 16239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
594, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
6057, 59mtbird 324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
61 oexpneg 16227 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (-𝑁𝑀) = -(𝑁𝑀))
6233, 3, 60, 61syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝑁𝑀) = -(𝑁𝑀))
6362breq2d 5117 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 < (-𝑁𝑀) ↔ 0 < -(𝑁𝑀)))
6463biimpd 228 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (-𝑁𝑀) → 0 < -(𝑁𝑀)))
653nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
661, 65reexpcld 14068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
6766renegcld 11582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑁𝑀) ∈ ℝ)
6810, 67lttrid 11293 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 < -(𝑁𝑀) ↔ ¬ (0 = -(𝑁𝑀) ∨ -(𝑁𝑀) < 0)))
69 pm2.46 881 . . . . . . . 8 (¬ (0 = -(𝑁𝑀) ∨ -(𝑁𝑀) < 0) → ¬ -(𝑁𝑀) < 0)
7068, 69syl6bi 252 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < -(𝑁𝑀) → ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
7132, 64, 703syld 60 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < -𝑁 → ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
721lt0neg1d 11724 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
7366lt0neg2d 11725 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (𝑁𝑀) ↔ -(𝑁𝑀) < 0))
7473notbid 317 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 0 < (𝑁𝑀) ↔ ¬ -(𝑁𝑀) < 0))
7571, 72, 743imtr4d 293 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 < 0 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7625, 75jaod 857 . . . 4 (𝜑 → ((0 = 𝑁𝑁 < 0) → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7713, 76syl5 34 . . 3 (𝜑 → (¬ ¬ (0 = 𝑁𝑁 < 0) → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
7812, 77sylbid 239 . 2 (𝜑 → (¬ 0 < 𝑁 → ¬ 0 < (𝑁𝑀)))
799, 78impcon4bid 226 1 (𝜑 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cq 12873  cexp 13967  cdvds 16136  numercnumer 16608  denomcdenom 16609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611
This theorem is referenced by:  dffltz  40958
  Copyright terms: Public domain W3C validator