MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth 26142
Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on . Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < 𝑎 ≤ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
ostth (𝐹𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦   𝑔,𝑎,𝐽,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎   𝑔,𝑞,𝐹,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔,𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑔,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 padic.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4 ostth.k . . . . . 6 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
5 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝐹𝐴)
6 1re 10629 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
76ltnri 10737 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 1
8 ax-1ne0 10594 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
91qrng1 26125 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (1r𝑄)
101qrng0 26124 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑄)
112, 9, 10abv1z 19532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
128, 11mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
1312breq2d 5069 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (1 < (𝐹‘1) ↔ 1 < 1))
147, 13mtbiri 328 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → ¬ 1 < (𝐹‘1))
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ¬ 1 < (𝐹‘1))
16 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 1 < (𝐹𝑛))
17 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
1817breq2d 5069 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘1)))
1916, 18syl5ibcom 246 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (𝑛 = 1 → 1 < (𝐹‘1)))
2015, 19mtod 199 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ¬ 𝑛 = 1)
21 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22 elnn1uz2 12313 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2321, 22sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2423ord 858 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (¬ 𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2520, 24mpd 15 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
26 eqid 2818 . . . . . 6 ((log‘(𝐹𝑛)) / (log‘𝑛)) = ((log‘(𝐹𝑛)) / (log‘𝑛))
271, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26ostth2 26140 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
2827rexlimdvaa 3282 . . . 4 (𝐹𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
29 3mix2 1323 . . . 4 (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
3028, 29syl6 35 . . 3 (𝐹𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
31 ralnex 3233 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛))
32 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹𝐴)
33 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
34 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
3534breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹𝑘)))
3635notbid 319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑘)))
3736cbvralvw 3447 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
3833, 37sylib 219 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
39 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) < 1)
41 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 -((log‘(𝐹𝑝)) / (log‘𝑝)) = -((log‘(𝐹𝑝)) / (log‘𝑝))
42 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 if((𝐹𝑝) ≤ (𝐹𝑧), (𝐹𝑧), (𝐹𝑝)) = if((𝐹𝑝) ≤ (𝐹𝑧), (𝐹𝑧), (𝐹𝑝))
431, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42ostth3 26141 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
4443expr 457 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑝) < 1 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
4544reximdva 3271 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
461, 2, 3padicabvf 26134 . . . . . . . . . . 11 𝐽:ℙ⟶𝐴
47 ffn 6507 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℙ⟶𝐴𝐽 Fn ℙ)
48 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝑔𝑦) = ((𝐽𝑝)‘𝑦))
4948oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐽𝑝) → ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
5049mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5150eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
5251rexrn 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 Fn ℙ → (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
5346, 47, 52mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5453rexbii 3244 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
55 rexcom 3352 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5654, 55bitri 276 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
57 3mix3 1324 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
5856, 57sylbir 236 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
5945, 58syl6 35 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
60 ralnex 3233 . . . . . . 7 (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1)
61 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹𝐴)
62 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
6362, 37sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
64 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)
65 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑘 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑘))
6665breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑘 → ((𝐹𝑝) < 1 ↔ (𝐹𝑘) < 1))
6766notbid 319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑘 → (¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ¬ (𝐹𝑘) < 1))
6867cbvralvw 3447 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑘) < 1)
6964, 68sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑘) < 1)
701, 2, 3, 4, 61, 63, 69ostth1 26136 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹 = 𝐾)
71703mix1d 1328 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
7271expr 457 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7360, 72syl5bir 244 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7459, 73pm2.61d 180 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
7574ex 413 . . . 4 (𝐹𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7631, 75syl5bir 244 . . 3 (𝐹𝐴 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7730, 76pm2.61d 180 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
78 id 22 . . . 4 (𝐹 = 𝐾𝐹 = 𝐾)
791qdrng 26123 . . . . 5 𝑄 ∈ DivRing
801qrngbas 26122 . . . . . 6 ℚ = (Base‘𝑄)
812, 80, 10, 4abvtriv 19541 . . . . 5 (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾𝐴)
8279, 81ax-mp 5 . . . 4 𝐾𝐴
8378, 82syl6eqel 2918 . . 3 (𝐹 = 𝐾𝐹𝐴)
841, 2qabsabv 26132 . . . . . 6 (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
85 fvres 6682 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
8685oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
8786mpteq2ia 5148 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
8887eqcomi 2827 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
892, 80, 88abvcxp 26118 . . . . . 6 (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴𝑎 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
9084, 89mpan 686 . . . . 5 (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
91 eleq1 2897 . . . . 5 (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
9290, 91syl5ibrcom 248 . . . 4 (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴))
9392rexlimiv 3277 . . 3 (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
941, 2, 3padicabvcxp 26135 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
9594ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
96 eleq1 2897 . . . . . 6 (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
9795, 96syl5ibrcom 248 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴))
9897rexlimivv 3289 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
9954, 98sylbi 218 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
10083, 93, 993jaoi 1419 . 2 ((𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))) → 𝐹𝐴)
10177, 100impbii 210 1 (𝐹𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  cres 5550   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  cuz 12231  cq 12336  +crp 12377  (,]cioc 12727  cexp 13417  abscabs 14581  cprime 16003   pCnt cpc 16161  s cress 16472  DivRingcdr 19431  AbsValcabv 19516  fldccnfld 20473  logclog 25065  𝑐ccxp 25066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator