MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth 27142
Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on β„š. Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < π‘Ž ≀ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
ostth (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
Distinct variable groups:   π‘ž,π‘Ž,π‘₯,𝑦   𝑔,π‘Ž,𝐽,𝑦   𝐴,π‘Ž,π‘ž,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑄,𝑦   𝐹,π‘Ž   𝑔,π‘ž,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔,π‘ž,π‘Ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑔,π‘ž,π‘Ž)

Proof of Theorem ostth
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
2 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
3 padic.j . . . . . 6 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
4 ostth.k . . . . . 6 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
5 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
6 1re 11214 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
76ltnri 11323 . . . . . . . . . 10 Β¬ 1 < 1
8 ax-1ne0 11179 . . . . . . . . . . . 12 1 β‰  0
91qrng1 27125 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (1rβ€˜π‘„)
101qrng0 27124 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘„)
112, 9, 10abv1z 20440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0) β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
128, 11mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
1312breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (1 < (πΉβ€˜1) ↔ 1 < 1))
147, 13mtbiri 327 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 1 < (πΉβ€˜1))
1514adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ Β¬ 1 < (πΉβ€˜1))
16 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
17 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜1))
1817breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘›) ↔ 1 < (πΉβ€˜1)))
1916, 18syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ (𝑛 = 1 β†’ 1 < (πΉβ€˜1)))
2015, 19mtod 197 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ Β¬ 𝑛 = 1)
21 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
22 elnn1uz2 12909 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2321, 22sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2423ord 863 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ (Β¬ 𝑛 = 1 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2520, 24mpd 15 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
26 eqid 2733 . . . . . 6 ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘›)) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘›))
271, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26ostth2 27140 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 1 < (πΉβ€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
2827rexlimdvaa 3157 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 1 < (πΉβ€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
29 3mix2 1332 . . . 4 (βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
3028, 29syl6 35 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 1 < (πΉβ€˜π‘›) β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))))
31 ralnex 3073 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ↔ Β¬ βˆƒπ‘› ∈ β„• 1 < (πΉβ€˜π‘›))
32 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
33 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
34 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
3534breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘›) ↔ 1 < (πΉβ€˜π‘˜)))
3635notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ↔ Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘˜)))
3736cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘˜))
3833, 37sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘˜))
39 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
40 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘) < 1)
41 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 -((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) = -((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
42 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 if((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘)) = if((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘))
431, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42ostth3 27141 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
4443expr 458 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜π‘) < 1 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
4544reximdva 3169 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘) < 1 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
461, 2, 3padicabvf 27134 . . . . . . . . . . 11 𝐽:β„™βŸΆπ΄
47 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:β„™βŸΆπ΄ β†’ 𝐽 Fn β„™)
48 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (π½β€˜π‘) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) = ((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦))
4948oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (π½β€˜π‘) β†’ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž) = (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))
5049mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (π½β€˜π‘) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
5150eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (π½β€˜π‘) β†’ (𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
5251rexrn 7089 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 Fn β„™ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
5346, 47, 52mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
5453rexbii 3095 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
55 rexcom 3288 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
5654, 55bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
57 3mix3 1333 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
5856, 57sylbir 234 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
5945, 58syl6 35 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘) < 1 β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))))
60 ralnex 3073 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1 ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘) < 1)
61 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
62 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›))
6362, 37sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘˜))
64 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1)
65 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘˜))
6665breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘) < 1 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) < 1))
6766notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = π‘˜ β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1 ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) < 1))
6867cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) < 1)
6964, 68sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) < 1)
701, 2, 3, 4, 61, 63, 69ostth1 27136 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ 𝐹 = 𝐾)
71703mix1d 1337 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1)) β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
7271expr 458 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„™ Β¬ (πΉβ€˜π‘) < 1 β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))))
7360, 72biimtrrid 242 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘) < 1 β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))))
7459, 73pm2.61d 179 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
7574ex 414 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• Β¬ 1 < (πΉβ€˜π‘›) β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))))
7631, 75biimtrrid 242 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘› ∈ β„• 1 < (πΉβ€˜π‘›) β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))))
7730, 76pm2.61d 179 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
78 id 22 . . . 4 (𝐹 = 𝐾 β†’ 𝐹 = 𝐾)
791qdrng 27123 . . . . 5 𝑄 ∈ DivRing
801qrngbas 27122 . . . . . 6 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
812, 80, 10, 4abvtriv 20449 . . . . 5 (𝑄 ∈ DivRing β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
8279, 81ax-mp 5 . . . 4 𝐾 ∈ 𝐴
8378, 82eqeltrdi 2842 . . 3 (𝐹 = 𝐾 β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
841, 2qabsabv 27132 . . . . . 6 (abs β†Ύ β„š) ∈ 𝐴
85 fvres 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„š β†’ ((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
8685oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„š β†’ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž) = ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))
8786mpteq2ia 5252 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„š ↦ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))
8887eqcomi 2742 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))
892, 80, 88abvcxp 27118 . . . . . 6 (((abs β†Ύ β„š) ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∈ 𝐴)
9084, 89mpan 689 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (0(,]1) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∈ 𝐴)
91 eleq1 2822 . . . . 5 (𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∈ 𝐴))
9290, 91syl5ibrcom 246 . . . 4 (π‘Ž ∈ (0(,]1) β†’ (𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴))
9392rexlimiv 3149 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
941, 2, 3padicabvcxp 27135 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∈ 𝐴)
9594ancoms 460 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∈ 𝐴)
96 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∈ 𝐴))
9795, 96syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴))
9897rexlimivv 3200 . . . 4 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘)β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
9954, 98sylbi 216 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
10083, 93, 993jaoi 1428 . 2 ((𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
10177, 100impbii 208 1 (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) ∨ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((π‘”β€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€β‰₯cuz 12822  β„šcq 12932  β„+crp 12974  (,]cioc 13325  β†‘cexp 14027  abscabs 15181  β„™cprime 16608   pCnt cpc 16769   β†Ύs cress 17173  DivRingcdr 20357  AbsValcabv 20424  β„‚fldccnfld 20944  logclog 26063  β†‘𝑐ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-abv 20425  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator