Theorem ostth 27604

Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on ℚ. Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < 𝑎 ≤ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
ostth	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦   𝑔,𝑎,𝐽,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎   𝑔,𝑞,𝐹,𝑦   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔,𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑔,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		padic.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4		ostth.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
6		1re 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	ltnri 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 1
8		ax-1ne0 11093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	1	qrng1 27587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
10	1	qrng0 27586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
11	2, 9, 10	abv1z 20755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
12	8, 11	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
13	12	breq2d 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1 < (𝐹‘1) ↔ 1 < 1))
14	7, 13	mtbiri 327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ¬ 1 < (𝐹‘1))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 1 < (𝐹‘1))
16		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 1 < (𝐹‘𝑛))
17		fveq2 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
18	17	breq2d 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘1)))
19	16, 18	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 → 1 < (𝐹‘1)))
20	15, 19	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 𝑛 = 1)
21		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22		elnn1uz2 12836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
24	23	ord 864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (¬ 𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	20, 24	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
26		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛)) = ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛))
27	1, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26	ostth2 27602	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
28	27	rexlimdvaa 3136	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
29		3mix2 1332	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
30	28, 29	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
31		ralnex 3060	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛))
32		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
33		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
34		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
35	34	breq2d 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘𝑘)))
36	35	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘)))
37	36	cbvralvw 3212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
38	33, 37	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
39		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) < 1)
41		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝)) = -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝))
42		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝)) = if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝))
43	1, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42	ostth3 27603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
44	43	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
45	44	reximdva 3147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
46	1, 2, 3	padicabvf 27596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴
47		ffn 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℙ⟶𝐴 → 𝐽 Fn ℙ)
48		fveq1 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑔‘𝑦) = ((𝐽‘𝑝)‘𝑦))
49	48	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
50	49	mpteq2dv 5190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
51	50	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
52	51	rexrn 7030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 Fn ℙ → (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
53	46, 47, 52	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
54	53	rexbii 3081	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
55		rexcom 3263	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
56	54, 55	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
57		3mix3 1333	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
58	56, 57	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
59	45, 58	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
60		ralnex 3060	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1)
61		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
62		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
63	62, 37	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
64		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
65		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑘))
66	65	breq1d 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑝) < 1 ↔ (𝐹‘𝑘) < 1))
67	66	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1))
68	67	cbvralvw 3212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
69	64, 68	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
70	1, 2, 3, 4, 61, 63, 69	ostth1 27598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 = 𝐾)
71	70	3mix1d 1337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
72	71	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
73	60, 72	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
74	59, 73	pm2.61d 179	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
75	74	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
76	31, 75	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
77	30, 76	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
78		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 = 𝐾)
79	1	qdrng 27585	. . . . 5 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
80	1	qrngbas 27584	. . . . . 6 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
81	2, 80, 10, 4	abvtriv 20765	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ 𝐴
83	78, 82	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 ∈ 𝐴)
84	1, 2	qabsabv 27594	. . . . . 6 ⊢ (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
85		fvres 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
86	85	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
87	86	mpteq2ia 5191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
88	87	eqcomi 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
89	2, 80, 88	abvcxp 27580	. . . . . 6 ⊢ (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
90	84, 89	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
91		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
92	90, 91	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
93	92	rexlimiv 3128	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
94	1, 2, 3	padicabvcxp 27597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
95	94	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
96		eleq1 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
97	95, 96	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
98	97	rexlimivv 3176	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
99	54, 98	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
100	83, 93, 99	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
101	77, 100	impbii 209	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  ifcif 4477   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623   ↾ cres 5624   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164   ≤ cle 11165  -cneg 11363   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  ℤ_≥cuz 12749  ℚcq 12859  ℝ⁺crp 12903  (,]cioc 13260  ↑cexp 13982  abscabs 15155  ℙcprime 16596   pCnt cpc 16762   ↾_s cress 17155  DivRingcdr 20660  AbsValcabv 20739  ℂ_fldccnfld 21307  logclog 26517  ↑_𝑐ccxp 26518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-pc 16763  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-nzr 20444  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-rlreg 20625  df-domn 20626  df-drng 20662  df-abv 20740  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-cxp 26520

This theorem is referenced by: (None)