Theorem ostth 27139

Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on ℚ. Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < 𝑎 ≤ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
ostth	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦   𝑔,𝑎,𝐽,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎   𝑔,𝑞,𝐹,𝑦   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔,𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑔,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		padic.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4		ostth.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
5		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
6		1re 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	ltnri 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 1
8		ax-1ne0 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	1	qrng1 27122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
10	1	qrng0 27121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
11	2, 9, 10	abv1z 20439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
12	8, 11	mpan2 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
13	12	breq2d 5160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1 < (𝐹‘1) ↔ 1 < 1))
14	7, 13	mtbiri 326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ¬ 1 < (𝐹‘1))
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 1 < (𝐹‘1))
16		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 1 < (𝐹‘𝑛))
17		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
18	17	breq2d 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘1)))
19	16, 18	syl5ibcom 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 → 1 < (𝐹‘1)))
20	15, 19	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 𝑛 = 1)
21		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22		elnn1uz2 12908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
23	21, 22	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
24	23	ord 862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (¬ 𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	20, 24	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
26		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛)) = ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛))
27	1, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26	ostth2 27137	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
28	27	rexlimdvaa 3156	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
29		3mix2 1331	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
30	28, 29	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
31		ralnex 3072	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛))
32		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
33		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
34		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
35	34	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘𝑘)))
36	35	notbid 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘)))
37	36	cbvralvw 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
38	33, 37	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
39		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) < 1)
41		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝)) = -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝))
42		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝)) = if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝))
43	1, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42	ostth3 27138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
44	43	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
45	44	reximdva 3168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
46	1, 2, 3	padicabvf 27131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴
47		ffn 6717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℙ⟶𝐴 → 𝐽 Fn ℙ)
48		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑔‘𝑦) = ((𝐽‘𝑝)‘𝑦))
49	48	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
50	49	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
51	50	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
52	51	rexrn 7088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 Fn ℙ → (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
53	46, 47, 52	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
54	53	rexbii 3094	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
55		rexcom 3287	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
56	54, 55	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
57		3mix3 1332	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
58	56, 57	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
59	45, 58	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
60		ralnex 3072	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1)
61		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
62		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
63	62, 37	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
64		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
65		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑘))
66	65	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑝) < 1 ↔ (𝐹‘𝑘) < 1))
67	66	notbid 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1))
68	67	cbvralvw 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
69	64, 68	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
70	1, 2, 3, 4, 61, 63, 69	ostth1 27133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 = 𝐾)
71	70	3mix1d 1336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
72	71	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
73	60, 72	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
74	59, 73	pm2.61d 179	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
75	74	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
76	31, 75	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
77	30, 76	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
78		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 = 𝐾)
79	1	qdrng 27120	. . . . 5 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
80	1	qrngbas 27119	. . . . . 6 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
81	2, 80, 10, 4	abvtriv 20448	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ 𝐴
83	78, 82	eqeltrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 ∈ 𝐴)
84	1, 2	qabsabv 27129	. . . . . 6 ⊢ (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
85		fvres 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
86	85	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
87	86	mpteq2ia 5251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
88	87	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
89	2, 80, 88	abvcxp 27115	. . . . . 6 ⊢ (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
90	84, 89	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
91		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
92	90, 91	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
93	92	rexlimiv 3148	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
94	1, 2, 3	padicabvcxp 27132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
95	94	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
96		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
97	95, 96	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
98	97	rexlimivv 3199	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
99	54, 98	sylbi 216	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
100	83, 93, 99	3jaoi 1427	. 2 ⊢ ((𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
101	77, 100	impbii 208	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ↾ cres 5678   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11247   ≤ cle 11248  -cneg 11444   / cdiv 11870  ℕcn 12211  2c2 12266  ℤ_≥cuz 12821  ℚcq 12931  ℝ⁺crp 12973  (,]cioc 13324  ↑cexp 14026  abscabs 15180  ℙcprime 16607   pCnt cpc 16768   ↾_s cress 17172  DivRingcdr 20356  AbsValcabv 20423  ℂ_fldccnfld 20943  logclog 26062  ↑_𝑐ccxp 26063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-abv 20424  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065

This theorem is referenced by: (None)