Theorem ostth 28023

Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on ℚ. Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < 𝑎 ≤ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
ostth	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦   𝑔,𝑎,𝐽,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎   𝑔,𝑞,𝐹,𝑦   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔, 𝑞, 𝑎)   𝐽(𝑥, 𝑞)   𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑔, 𝑞, 𝑎)

Proof of Theorem ostth

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		padic.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4		ostth.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
5		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
6		1re 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	ltnri 11458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 1
8		ax-1ne0 11308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	1	qrng1 28006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
10	1	qrng0 28005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
11	2, 9, 10	abv1z 21132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
12	8, 11	mpan2 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
13	12	breq2d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1 < (𝐹‘1) ↔ 1 < 1))
14	7, 13	mtbiri 330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ¬ 1 < (𝐹‘1))
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 1 < (𝐹‘1))
16		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 1 < (𝐹‘𝑛))
17		fveq2 6916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
18	17	breq2d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘1)))
19	16, 18	syl5ibcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 → 1 < (𝐹‘1)))
20	15, 19	mtod 201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 𝑛 = 1)
21		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22		elnn1uz2 13092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
23	21, 22	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
24	23	ord 878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (¬ 𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	20, 24	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
26		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛)) = ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛))
27	1, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26	ostth2 28021	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
28	27	rexlimdvaa 3168	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
29		3mix2 1350	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
30	28, 29	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
31		ralnex 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛))
32		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
33		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
34		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
35	34	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘𝑘)))
36	35	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘)))
37	36	cbvralvw 3244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
38	33, 37	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
39		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) < 1)
41		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝)) = -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝))
42		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝)) = if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝))
43	1, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42	ostth3 28022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
44	43	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
45	44	reximdva 3179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
46	1, 2, 3	padicabvf 28015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴
47		ffn 6739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℙ⟶𝐴 → 𝐽 Fn ℙ)
48		fveq1 6915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑔‘𝑦) = ((𝐽‘𝑝)‘𝑦))
49	48	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
50	49	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
51	50	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
52	51	rexrn 7119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 Fn ℙ → (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
53	46, 47, 52	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
54	53	rexbii 3113	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
55		rexcom 3295	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
56	54, 55	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
57		3mix3 1351	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
58	56, 57	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
59	45, 58	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
60		ralnex 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1)
61		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
62		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
63	62, 37	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
64		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
65		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑘))
66	65	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑝) < 1 ↔ (𝐹‘𝑘) < 1))
67	66	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1))
68	67	cbvralvw 3244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
69	64, 68	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
70	1, 2, 3, 4, 61, 63, 69	ostth1 28017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 = 𝐾)
71	70	3mix1d 1355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
72	71	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
73	60, 72	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
74	59, 73	pm2.61d 181	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
75	74	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
76	31, 75	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
77	30, 76	pm2.61d 181	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
78		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 = 𝐾)
79	1	qdrng 28004	. . . . 5 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
80	1	qrngbas 28003	. . . . . 6 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
81	2, 80, 10, 4	abvtriv 21142	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ 𝐴
83	78, 82	eqeltrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 ∈ 𝐴)
84	1, 2	qabsabv 28013	. . . . . 6 ⊢ (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
85		fvres 6935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
86	85	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
87	86	mpteq2ia 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
88	87	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
89	2, 80, 88	abvcxp 27999	. . . . . 6 ⊢ (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
90	84, 89	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
91		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
92	90, 91	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
93	92	rexlimiv 3160	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
94	1, 2, 3	padicabvcxp 28016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
95	94	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
96		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
97	95, 96	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
98	97	rexlimivv 3208	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
99	54, 98	sylbi 220	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
100	83, 93, 99	3jaoi 1455	. 2 ⊢ ((𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
101	77, 100	impbii 212	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ifcif 4485   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659   ↾ cres 5660   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  ℤ_≥cuz 13005  ℚcq 13115  ℝ⁺crp 13160  (,]cioc 13517  ↑cexp 14244  abscabs 15444  ℙcprime 16890   pCnt cpc 17058   ↾_s cress 17452  DivRingcdr 21031  AbsValcabv 21116  ℂ_fldccnfld 21729  logclog 26939  ↑_𝑐ccxp 26940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-pc 17059  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-nzr 20814  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-abv 21117  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-cxp 26942

This theorem is used by: (None)