Theorem ostth 26775

Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on ℚ. Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < 𝑎 ≤ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
ostth	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦   𝑔,𝑎,𝐽,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎   𝑔,𝑞,𝐹,𝑦   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔,𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑔,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		padic.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4		ostth.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
5		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
6		1re 10963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	ltnri 11072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 1
8		ax-1ne0 10928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	1	qrng1 26758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
10	1	qrng0 26757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
11	2, 9, 10	abv1z 20080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
12	8, 11	mpan2 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
13	12	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1 < (𝐹‘1) ↔ 1 < 1))
14	7, 13	mtbiri 327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ¬ 1 < (𝐹‘1))
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 1 < (𝐹‘1))
16		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 1 < (𝐹‘𝑛))
17		fveq2 6767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
18	17	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘1)))
19	16, 18	syl5ibcom 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 → 1 < (𝐹‘1)))
20	15, 19	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 𝑛 = 1)
21		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22		elnn1uz2 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
23	21, 22	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
24	23	ord 861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (¬ 𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	20, 24	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
26		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛)) = ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛))
27	1, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26	ostth2 26773	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
28	27	rexlimdvaa 3212	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
29		3mix2 1330	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
30	28, 29	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
31		ralnex 3165	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛))
32		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
33		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
34		fveq2 6767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
35	34	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘𝑘)))
36	35	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘)))
37	36	cbvralvw 3381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
38	33, 37	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
39		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) < 1)
41		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝)) = -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝))
42		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝)) = if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝))
43	1, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42	ostth3 26774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
44	43	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
45	44	reximdva 3201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
46	1, 2, 3	padicabvf 26767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴
47		ffn 6593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℙ⟶𝐴 → 𝐽 Fn ℙ)
48		fveq1 6766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑔‘𝑦) = ((𝐽‘𝑝)‘𝑦))
49	48	oveq1d 7283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
50	49	mpteq2dv 5176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
51	50	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
52	51	rexrn 6956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 Fn ℙ → (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
53	46, 47, 52	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
54	53	rexbii 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
55		rexcom 3232	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
56	54, 55	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
57		3mix3 1331	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
58	56, 57	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
59	45, 58	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
60		ralnex 3165	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1)
61		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
62		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
63	62, 37	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
64		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
65		fveq2 6767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑘))
66	65	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑝) < 1 ↔ (𝐹‘𝑘) < 1))
67	66	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1))
68	67	cbvralvw 3381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
69	64, 68	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
70	1, 2, 3, 4, 61, 63, 69	ostth1 26769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 = 𝐾)
71	70	3mix1d 1335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
72	71	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
73	60, 72	syl5bir 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
74	59, 73	pm2.61d 179	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
75	74	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
76	31, 75	syl5bir 242	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
77	30, 76	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
78		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 = 𝐾)
79	1	qdrng 26756	. . . . 5 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
80	1	qrngbas 26755	. . . . . 6 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
81	2, 80, 10, 4	abvtriv 20089	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ 𝐴
83	78, 82	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 ∈ 𝐴)
84	1, 2	qabsabv 26765	. . . . . 6 ⊢ (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
85		fvres 6786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
86	85	oveq1d 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
87	86	mpteq2ia 5177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
88	87	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
89	2, 80, 88	abvcxp 26751	. . . . . 6 ⊢ (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
90	84, 89	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
91		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
92	90, 91	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
93	92	rexlimiv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
94	1, 2, 3	padicabvcxp 26768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
95	94	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
96		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
97	95, 96	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
98	97	rexlimivv 3219	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
99	54, 98	sylbi 216	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
100	83, 93, 99	3jaoi 1426	. 2 ⊢ ((𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
101	77, 100	impbii 208	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ifcif 4460   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5586   ↾ cres 5587   Fn wfn 6422  ⟶wf 6423  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  1c1 10860   < clt 10997   ≤ cle 10998  -cneg 11194   / cdiv 11620  ℕcn 11961  2c2 12016  ℤ_≥cuz 12570  ℚcq 12676  ℝ⁺crp 12718  (,]cioc 13068  ↑cexp 13770  abscabs 14933  ℙcprime 16364   pCnt cpc 16525   ↾_s cress 16929  DivRingcdr 19979  AbsValcabv 20064  ℂ_fldccnfld 20585  logclog 25698  ↑_𝑐ccxp 25699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-tpos 8030  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-ioc 13072  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-mod 13578  df-seq 13710  df-exp 13771  df-fac 13976  df-bc 14005  df-hash 14033  df-shft 14766  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-limsup 15168  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-ef 15765  df-sin 15767  df-cos 15768  df-pi 15770  df-dvds 15952  df-gcd 16190  df-prm 16365  df-pc 16526  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-mulg 18689  df-subg 18740  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-cring 19774  df-oppr 19850  df-dvdsr 19871  df-unit 19872  df-invr 19902  df-dvr 19913  df-drng 19981  df-subrg 20010  df-abv 20065  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cld 22158  df-ntr 22159  df-cls 22160  df-nei 22237  df-lp 22275  df-perf 22276  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-haus 22454  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-fil 22985  df-fm 23077  df-flim 23078  df-flf 23079  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-cncf 24029  df-limc 25018  df-dv 25019  df-log 25700  df-cxp 25701

This theorem is referenced by: (None)