Theorem ostth 27608

Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on ℚ. Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < 𝑎 ≤ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
ostth	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦   𝑔,𝑎,𝐽,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎   𝑔,𝑞,𝐹,𝑦   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔,𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑔,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
2		qabsabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		padic.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4		ostth.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
6		1re 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	ltnri 11244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 1
8		ax-1ne0 11097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	1	qrng1 27591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
10	1	qrng0 27590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
11	2, 9, 10	abv1z 20759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
12	8, 11	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
13	12	breq2d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1 < (𝐹‘1) ↔ 1 < 1))
14	7, 13	mtbiri 327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ¬ 1 < (𝐹‘1))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 1 < (𝐹‘1))
16		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 1 < (𝐹‘𝑛))
17		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
18	17	breq2d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘1)))
19	16, 18	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 → 1 < (𝐹‘1)))
20	15, 19	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ¬ 𝑛 = 1)
21		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22		elnn1uz2 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
24	23	ord 864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → (¬ 𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	20, 24	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
26		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛)) = ((log‘(𝐹‘𝑛)) / (log‘𝑛))
27	1, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26	ostth2 27606	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹‘𝑛))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
28	27	rexlimdvaa 3138	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
29		3mix2 1332	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
30	28, 29	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
31		ralnex 3062	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛))
32		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
33		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
34		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
35	34	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘𝑘)))
36	35	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘)))
37	36	cbvralvw 3214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
38	33, 37	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
39		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) < 1)
41		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝)) = -((log‘(𝐹‘𝑝)) / (log‘𝑝))
42		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝)) = if((𝐹‘𝑝) ≤ (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑧), (𝐹‘𝑝))
43	1, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42	ostth3 27607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
44	43	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
45	44	reximdva 3149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
46	1, 2, 3	padicabvf 27600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴
47		ffn 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℙ⟶𝐴 → 𝐽 Fn ℙ)
48		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑔‘𝑦) = ((𝐽‘𝑝)‘𝑦))
49	48	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
50	49	mpteq2dv 5192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
51	50	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐽‘𝑝) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
52	51	rexrn 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 Fn ℙ → (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
53	46, 47, 52	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
54	53	rexbii 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
55		rexcom 3265	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
56	54, 55	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
57		3mix3 1333	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
58	56, 57	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
59	45, 58	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
60		ralnex 3062	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1)
61		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
62		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
63	62, 37	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑘))
64		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
65		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑘))
66	65	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑝) < 1 ↔ (𝐹‘𝑘) < 1))
67	66	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1))
68	67	cbvralvw 3214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ↔ ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
69	64, 68	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑘) < 1)
70	1, 2, 3, 4, 61, 63, 69	ostth1 27602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝐹 = 𝐾)
71	70	3mix1d 1337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
72	71	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
73	60, 72	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹‘𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
74	59, 73	pm2.61d 179	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
75	74	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
76	31, 75	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹‘𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)))))
77	30, 76	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
78		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 = 𝐾)
79	1	qdrng 27589	. . . . 5 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
80	1	qrngbas 27588	. . . . . 6 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
81	2, 80, 10, 4	abvtriv 20769	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ 𝐴)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ 𝐴
83	78, 82	eqeltrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐾 → 𝐹 ∈ 𝐴)
84	1, 2	qabsabv 27598	. . . . . 6 ⊢ (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
85		fvres 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
86	85	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
87	86	mpteq2ia 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
88	87	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
89	2, 80, 88	abvcxp 27584	. . . . . 6 ⊢ (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
90	84, 89	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
91		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
92	90, 91	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
93	92	rexlimiv 3130	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
94	1, 2, 3	padicabvcxp 27601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
95	94	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
96		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
97	95, 96	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴))
98	97	rexlimivv 3178	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
99	54, 98	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
100	83, 93, 99	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
101	77, 100	impbii 209	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔‘𝑦)↑𝑐𝑎))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625   ↾ cres 5626   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   ≤ cle 11169  -cneg 11367   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  ℤ_≥cuz 12753  ℚcq 12863  ℝ⁺crp 12907  (,]cioc 13264  ↑cexp 13986  abscabs 15159  ℙcprime 16600   pCnt cpc 16766   ↾_s cress 17159  DivRingcdr 20664  AbsValcabv 20743  ℂ_fldccnfld 21311  logclog 26521  ↑_𝑐ccxp 26522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-pc 16767  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-nzr 20448  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-rlreg 20629  df-domn 20630  df-drng 20666  df-abv 20744  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523  df-cxp 26524

This theorem is referenced by: (None)