MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth 26212
Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on . Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < 𝑎 ≤ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
ostth (𝐹𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦   𝑔,𝑎,𝐽,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎   𝑔,𝑞,𝐹,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔,𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑔,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 padic.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4 ostth.k . . . . . 6 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
5 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝐹𝐴)
6 1re 10626 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
76ltnri 10734 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 1
8 ax-1ne0 10591 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
91qrng1 26195 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (1r𝑄)
101qrng0 26194 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑄)
112, 9, 10abv1z 19589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
128, 11mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
1312breq2d 5059 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (1 < (𝐹‘1) ↔ 1 < 1))
147, 13mtbiri 330 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → ¬ 1 < (𝐹‘1))
1514adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ¬ 1 < (𝐹‘1))
16 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 1 < (𝐹𝑛))
17 fveq2 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
1817breq2d 5059 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘1)))
1916, 18syl5ibcom 248 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (𝑛 = 1 → 1 < (𝐹‘1)))
2015, 19mtod 201 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ¬ 𝑛 = 1)
21 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22 elnn1uz2 12311 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2321, 22sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2423ord 861 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (¬ 𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2520, 24mpd 15 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
26 eqid 2824 . . . . . 6 ((log‘(𝐹𝑛)) / (log‘𝑛)) = ((log‘(𝐹𝑛)) / (log‘𝑛))
271, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26ostth2 26210 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
2827rexlimdvaa 3277 . . . 4 (𝐹𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
29 3mix2 1328 . . . 4 (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
3028, 29syl6 35 . . 3 (𝐹𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
31 ralnex 3230 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛))
32 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹𝐴)
33 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
34 fveq2 6651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
3534breq2d 5059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹𝑘)))
3635notbid 321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑘)))
3736cbvralvw 3434 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
3833, 37sylib 221 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
39 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) < 1)
41 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 -((log‘(𝐹𝑝)) / (log‘𝑝)) = -((log‘(𝐹𝑝)) / (log‘𝑝))
42 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 if((𝐹𝑝) ≤ (𝐹𝑧), (𝐹𝑧), (𝐹𝑝)) = if((𝐹𝑝) ≤ (𝐹𝑧), (𝐹𝑧), (𝐹𝑝))
431, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42ostth3 26211 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
4443expr 460 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑝) < 1 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
4544reximdva 3266 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
461, 2, 3padicabvf 26204 . . . . . . . . . . 11 𝐽:ℙ⟶𝐴
47 ffn 6495 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℙ⟶𝐴𝐽 Fn ℙ)
48 fveq1 6650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝑔𝑦) = ((𝐽𝑝)‘𝑦))
4948oveq1d 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐽𝑝) → ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
5049mpteq2dv 5143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5150eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
5251rexrn 6834 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 Fn ℙ → (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
5346, 47, 52mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5453rexbii 3241 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
55 rexcom 3346 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5654, 55bitri 278 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
57 3mix3 1329 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
5856, 57sylbir 238 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
5945, 58syl6 35 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
60 ralnex 3230 . . . . . . 7 (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1)
61 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹𝐴)
62 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
6362, 37sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
64 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)
65 fveq2 6651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑘 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑘))
6665breq1d 5057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑘 → ((𝐹𝑝) < 1 ↔ (𝐹𝑘) < 1))
6766notbid 321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑘 → (¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ¬ (𝐹𝑘) < 1))
6867cbvralvw 3434 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑘) < 1)
6964, 68sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑘) < 1)
701, 2, 3, 4, 61, 63, 69ostth1 26206 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹 = 𝐾)
71703mix1d 1333 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
7271expr 460 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7360, 72syl5bir 246 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7459, 73pm2.61d 182 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
7574ex 416 . . . 4 (𝐹𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7631, 75syl5bir 246 . . 3 (𝐹𝐴 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7730, 76pm2.61d 182 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
78 id 22 . . . 4 (𝐹 = 𝐾𝐹 = 𝐾)
791qdrng 26193 . . . . 5 𝑄 ∈ DivRing
801qrngbas 26192 . . . . . 6 ℚ = (Base‘𝑄)
812, 80, 10, 4abvtriv 19598 . . . . 5 (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾𝐴)
8279, 81ax-mp 5 . . . 4 𝐾𝐴
8378, 82eqeltrdi 2924 . . 3 (𝐹 = 𝐾𝐹𝐴)
841, 2qabsabv 26202 . . . . . 6 (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
85 fvres 6670 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
8685oveq1d 7153 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
8786mpteq2ia 5138 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
8887eqcomi 2833 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
892, 80, 88abvcxp 26188 . . . . . 6 (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴𝑎 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
9084, 89mpan 689 . . . . 5 (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
91 eleq1 2903 . . . . 5 (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
9290, 91syl5ibrcom 250 . . . 4 (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴))
9392rexlimiv 3272 . . 3 (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
941, 2, 3padicabvcxp 26205 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
9594ancoms 462 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
96 eleq1 2903 . . . . . 6 (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
9795, 96syl5ibrcom 250 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴))
9897rexlimivv 3284 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
9954, 98sylbi 220 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
10083, 93, 993jaoi 1424 . 2 ((𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))) → 𝐹𝐴)
10177, 100impbii 212 1 (𝐹𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399  wo 844  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wral 3132  wrex 3133  ifcif 4448   class class class wbr 5047  cmpt 5127  ran crn 5537  cres 5538   Fn wfn 6331  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523   < clt 10660  cle 10661  -cneg 10856   / cdiv 11282  cn 11623  2c2 11678  cuz 12229  cq 12334  +crp 12375  (,]cioc 12725  cexp 13423  abscabs 14582  cprime 16002   pCnt cpc 16160  s cress 16473  DivRingcdr 19488  AbsValcabv 19573  fldccnfld 20531  logclog 25135  𝑐ccxp 25136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ioc 12729  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14415  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-limsup 14817  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-ef 15410  df-sin 15412  df-cos 15413  df-pi 15415  df-dvds 15597  df-gcd 15831  df-prm 16003  df-pc 16161  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-mulg 18214  df-subg 18265  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-subrg 19519  df-abv 19574  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-lp 21730  df-perf 21731  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-haus 21909  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cncf 23472  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25137  df-cxp 25138
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator