Theorem clwwlkn0 29910

Description: There is no closed walk of length 0 (i.e. a closed walk without any edge) represented by a word of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn0	⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅

Proof of Theorem clwwlkn0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkn 29908	. 2 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0}
2		rabeq0 4386	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 0)
3		0re 11248	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	3	ltnri 11355	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 < 0
5		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → (0 < (♯‘𝑤) ↔ 0 < 0))
6	4, 5	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ 0 < (♯‘𝑤))
7		clwwlkgt0 29868	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 0 < (♯‘𝑤))
8	6, 7	nsyl3 138	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = 0)
9	2, 8	mprgbir 3057	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 0} = ∅
10	1, 9	eqtri 2753	1 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140   < clt 11280  ♯chash 14325  ClWWalkscclwwlk 29863   ClWWalksN cclwwlkn 29906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-clwwlk 29864  df-clwwlkn 29907

This theorem is referenced by:  clwwlkneq0  29911  clwwlk0on0  29974