pell1qrgaplem - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pell1qrgaplem 43136

Description: Lemma for pell1qrgap 43137. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pell1qrgaplem	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

**Proof of Theorem pell1qrgaplem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 12919	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
3		1rp 12911	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ⁺)
5	2, 4	rpaddcld 12966	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ⁺)
6	5	rpsqrtcld 15337	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 12951	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
8	2	rpsqrtcld 15337	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ⁺)
9	8	rpred 12951	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10		nn0re 12412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ₀ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 727	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		nn0re 12412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	9, 15	remulcld 11164	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
17	2	rpred 12951	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18		1re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
20	15	resqcld 14050	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
21	19, 20	resubcld 11567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
22	17, 21	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
23		0red 11137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
24	17, 23	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) ∈ ℝ)
25	12	resqcld 14050	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
26		sq1 14120	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) = 1)
28		nnge1 12175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
30		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
31		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = (0↑2))
33		sq0 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0↑2) = 0
34	32, 33	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = 0)
35	34	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = (𝐷 · 0))
36	2	rpcnd 12953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · 0) = 0)
39	35, 38	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = 0)
40	39	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) − 0))
41		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
42	12	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	sqcld 14069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − 0) = (𝐴↑2))
46	40, 41, 45	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 = (𝐴↑2))
47	26, 46	eqtr2id 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) = (1↑2))
48		nn0ge0 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝐴)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐴)
50	49	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐴)
51		0le1 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 1)
53		sq11 14056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
54	12, 50, 19, 52, 53	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
56	47, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 1)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
58	57	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = ((√‘𝐷) · 0))
59	8	rpcnd 12953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
61	60	mul01d 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
62	58, 61	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = 0)
63	56, 62	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (1 + 0))
64		1p0e1 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 0) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = 1)
66	30, 65	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < 1)
67	18	ltnri 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 < 1
68		pm2.24 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 1 → (¬ 1 < 1 → 1 ≤ 𝐵))
69	66, 67, 68	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 𝐵)
70		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
71		elnn0 12405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
72	70, 71	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
73	29, 69, 72	mpjaodan 960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐵)
74		nn0ge0 12428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝐵)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐵)
76	75	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐵)
77	19, 15, 52, 76	le2sqd 14182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (1↑2) ≤ (𝐵↑2)))
78	73, 77	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) ≤ (𝐵↑2))
79	27, 78	eqbrtrrd 5122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝐵↑2))
80	19, 20	suble0d 11730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (𝐵↑2)))
81	79, 80	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ≤ 0)
82	21, 23, 2	lemul2d 12995	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0)))
83	81, 82	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0))
84	22, 24, 25, 83	leadd2dd 11754	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
85	5	rpcnd 12953	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℂ)
86	85	sqsqrtd 15367	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = (𝐷 + 1))
87		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
88	87	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
89	88	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) = (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
90	15	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
91	90	sqcld 14069	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
92	36, 91	mulcld 11154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
93	36, 43, 92	addsub12d 11517	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
94	19	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
95	36, 94, 91	subdid 11595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) = ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
96	36	mulridd 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 1) = 𝐷)
97	96	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))))
98	95, 97	eqtr2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))))
99	98	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
100	93, 99	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
101	86, 89, 100	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
102	36	mul01d 11334	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) = 0)
103	102	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)) = ((𝐴↑2) + 0))
104	43	addridd 11335	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
105	103, 104	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
106	84, 101, 105	3brtr4d 5130	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2))
107	6	rpge0d 12955	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
108	7, 12, 107, 50	le2sqd 14182	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴 ↔ ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2)))
109	106, 108	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴)
110	59	mulridd 11151	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) = (√‘𝐷))
111	19, 15, 8	lemul2d 12995	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵)))
112	73, 111	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
113	110, 112	eqbrtrrd 5122	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
114	7, 9, 12, 16, 109, 113	le2addd 11758	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 1c1 11029 + caddc 11031 · cmul 11033 < clt 11168 ≤ cle 11169 − cmin 11366 ℕcn 12147 2c2 12202 ℕ₀cn0 12403 ℝ⁺crp 12907 ↑cexp 13986 √csqrt 15158

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-er 8635 df-en 8886 df-dom 8887 df-sdom 8888 df-sup 9347 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12148 df-2 12210 df-3 12211 df-n0 12404 df-z 12491 df-uz 12754 df-rp 12908 df-seq 13927 df-exp 13987 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161

This theorem is referenced by: pell1qrgap 43137

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