Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgaplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrgaplem 41243
Description: Lemma for pell1qrgap 41244. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgaplem (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))

Proof of Theorem pell1qrgaplem
StepHypRef Expression
1 nnrp 12934 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
3 1rp 12927 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„+
43a1i 11 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
52, 4rpaddcld 12980 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) โˆˆ โ„+)
65rpsqrtcld 15305 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โˆˆ โ„+)
76rpred 12965 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โˆˆ โ„)
82rpsqrtcld 15305 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
98rpred 12965 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
10 nn0re 12430 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1110adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211ad2antlr 726 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
13 nn0re 12430 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1413adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1514ad2antlr 726 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
169, 15remulcld 11193 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
172rpred 12965 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
18 1re 11163 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
1918a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2015resqcld 14039 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
2119, 20resubcld 11591 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
2217, 21remulcld 11193 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„)
23 0red 11166 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2417, 23remulcld 11193 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 0) โˆˆ โ„)
2512resqcld 14039 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
26 sq1 14108 . . . . . . . . 9 (1โ†‘2) = 1
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1โ†‘2) = 1)
28 nnge1 12189 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
2928adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
30 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
31 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ต = 0 โ†’ (๐ตโ†‘2) = (0โ†‘2))
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (0โ†‘2))
33 sq0 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0โ†‘2) = 0
3432, 33eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ตโ†‘2) = 0)
3534oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ท ยท 0))
362rpcnd 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3837mul01d 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท 0) = 0)
3935, 38eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) = 0)
4039oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 0))
41 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)
4212recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4342sqcld 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4544subid1d 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 0) = (๐ดโ†‘2))
4640, 41, 453eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 = (๐ดโ†‘2))
4726, 46eqtr2id 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2))
48 nn0ge0 12446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
51 0le1 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
53 sq11 14045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5412, 50, 19, 52, 53syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5647, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด = 1)
57 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
5857oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0))
598rpcnd 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
6059adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
6160mul01d 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0) = 0)
6258, 61eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) = 0)
6356, 62oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (1 + 0))
64 1p0e1 12285 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 0) = 1
6563, 64eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = 1)
6630, 65breqtrd 5135 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 < 1)
6718ltnri 11272 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 1 < 1
68 pm2.24 124 . . . . . . . . . . 11 (1 < 1 โ†’ (ยฌ 1 < 1 โ†’ 1 โ‰ค ๐ต))
6966, 67, 68mpisyl 21 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
70 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
71 elnn0 12423 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
7270, 71sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
7329, 69, 72mpjaodan 958 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
74 nn0ge0 12446 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7574adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7675ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7719, 15, 52, 76le2sqd 14169 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โ‰ค ๐ต โ†” (1โ†‘2) โ‰ค (๐ตโ†‘2)))
7873, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1โ†‘2) โ‰ค (๐ตโ†‘2))
7927, 78eqbrtrrd 5133 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค (๐ตโ†‘2))
8019, 20suble0d 11754 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” 1 โ‰ค (๐ตโ†‘2)))
8179, 80mpbird 257 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0)
8221, 23, 2lemul2d 13009 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โ‰ค (๐ท ยท 0)))
8381, 82mpbid 231 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โ‰ค (๐ท ยท 0))
8422, 24, 25, 83leadd2dd 11778 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)))
855rpcnd 12967 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) โˆˆ โ„‚)
8685sqsqrtd 15333 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) = (๐ท + 1))
87 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)
8887eqcomd 2739 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
8988oveq2d 7377 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) = (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))))
9015recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9190sqcld 14058 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9236, 91mulcld 11183 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
9336, 43, 92addsub12d 11543 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))))
9419recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9536, 94, 91subdid 11619 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = ((๐ท ยท 1) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
9636mulid1d 11180 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 1) = ๐ท)
9796oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ท ยท 1) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
9895, 97eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))))
9998oveq2d 7377 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10093, 99eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10186, 89, 1003eqtrd 2777 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10236mul01d 11362 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 0) = 0)
103102oveq2d 7377 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)) = ((๐ดโ†‘2) + 0))
10443addid1d 11363 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + 0) = (๐ดโ†‘2))
105103, 104eqtr2d 2774 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)))
10684, 101, 1053brtr4d 5141 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘2))
1076rpge0d 12969 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ท + 1)))
1087, 12, 107, 50le2sqd 14169 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โ‰ค ๐ด โ†” ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘2)))
109106, 108mpbird 257 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โ‰ค ๐ด)
11059mulid1d 11180 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) = (โˆšโ€˜๐ท))
11119, 15, 8lemul2d 13009 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โ‰ค ๐ต โ†” ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
11273, 111mpbid 231 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต))
113110, 112eqbrtrrd 5133 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต))
1147, 9, 12, 16, 109, 113le2addd 11782 1 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by:  pell1qrgap  41244
  Copyright terms: Public domain W3C validator