Theorem pell1qrgaplem 42205

Description: Lemma for pell1qrgap 42206. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1qrgaplem	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

Proof of Theorem pell1qrgaplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 13003	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
3		1rp 12996	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ+)
5	2, 4	rpaddcld 13049	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
6	5	rpsqrtcld 15376	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 13034	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
8	2	rpsqrtcld 15376	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13034	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10		nn0re 12497	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 726	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		nn0re 12497	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 726	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	9, 15	remulcld 11260	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
17	2	rpred 13034	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18		1re 11230	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
20	15	resqcld 14107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
21	19, 20	resubcld 11658	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
22	17, 21	remulcld 11260	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
23		0red 11233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
24	17, 23	remulcld 11260	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) ∈ ℝ)
25	12	resqcld 14107	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
26		sq1 14176	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) = 1)
28		nnge1 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
30		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
31		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = (0↑2))
33		sq0 14173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0↑2) = 0
34	32, 33	eqtrdi 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = 0)
35	34	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = (𝐷 · 0))
36	2	rpcnd 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · 0) = 0)
39	35, 38	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = 0)
40	39	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) − 0))
41		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
42	12	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	sqcld 14126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − 0) = (𝐴↑2))
46	40, 41, 45	3eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 = (𝐴↑2))
47	26, 46	eqtr2id 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) = (1↑2))
48		nn0ge0 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
50	49	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐴)
51		0le1 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 1)
53		sq11 14113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
54	12, 50, 19, 52, 53	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
56	47, 55	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 1)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
58	57	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = ((√‘𝐷) · 0))
59	8	rpcnd 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
61	60	mul01d 11429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
62	58, 61	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = 0)
63	56, 62	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (1 + 0))
64		1p0e1 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 0) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = 1)
66	30, 65	breqtrd 5168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < 1)
67	18	ltnri 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 < 1
68		pm2.24 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 1 → (¬ 1 < 1 → 1 ≤ 𝐵))
69	66, 67, 68	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 𝐵)
70		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
71		elnn0 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
72	70, 71	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
73	29, 69, 72	mpjaodan 957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐵)
74		nn0ge0 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐵)
76	75	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐵)
77	19, 15, 52, 76	le2sqd 14237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (1↑2) ≤ (𝐵↑2)))
78	73, 77	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) ≤ (𝐵↑2))
79	27, 78	eqbrtrrd 5166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝐵↑2))
80	19, 20	suble0d 11821	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (𝐵↑2)))
81	79, 80	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ≤ 0)
82	21, 23, 2	lemul2d 13078	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0)))
83	81, 82	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0))
84	22, 24, 25, 83	leadd2dd 11845	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
85	5	rpcnd 13036	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℂ)
86	85	sqsqrtd 15404	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = (𝐷 + 1))
87		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
88	87	eqcomd 2733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
89	88	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) = (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
90	15	recnd 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
91	90	sqcld 14126	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
92	36, 91	mulcld 11250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
93	36, 43, 92	addsub12d 11610	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
94	19	recnd 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
95	36, 94, 91	subdid 11686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) = ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
96	36	mulridd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 1) = 𝐷)
97	96	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))))
98	95, 97	eqtr2d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))))
99	98	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
100	93, 99	eqtrd 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
101	86, 89, 100	3eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
102	36	mul01d 11429	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) = 0)
103	102	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)) = ((𝐴↑2) + 0))
104	43	addridd 11430	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
105	103, 104	eqtr2d 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
106	84, 101, 105	3brtr4d 5174	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2))
107	6	rpge0d 13038	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
108	7, 12, 107, 50	le2sqd 14237	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴 ↔ ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2)))
109	106, 108	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴)
110	59	mulridd 11247	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) = (√‘𝐷))
111	19, 15, 8	lemul2d 13078	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵)))
112	73, 111	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
113	110, 112	eqbrtrrd 5166	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
114	7, 9, 12, 16, 109, 113	le2addd 11849	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11264   ≤ cle 11265   − cmin 11460  ℕcn 12228  2c2 12283  ℕ₀cn0 12488  ℝ⁺crp 12992  ↑cexp 14044  √csqrt 15198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201

This theorem is referenced by:  pell1qrgap  42206