Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgaplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrgaplem 42354
Description: Lemma for pell1qrgap 42355. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgaplem (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))

Proof of Theorem pell1qrgaplem
StepHypRef Expression
1 nnrp 13012 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
3 1rp 13005 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„+
43a1i 11 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
52, 4rpaddcld 13058 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) โˆˆ โ„+)
65rpsqrtcld 15385 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โˆˆ โ„+)
76rpred 13043 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โˆˆ โ„)
82rpsqrtcld 15385 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
98rpred 13043 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
10 nn0re 12506 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1110adantr 479 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211ad2antlr 725 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
13 nn0re 12506 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1413adantl 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1514ad2antlr 725 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
169, 15remulcld 11269 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
172rpred 13043 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
18 1re 11239 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
1918a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2015resqcld 14116 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
2119, 20resubcld 11667 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
2217, 21remulcld 11269 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„)
23 0red 11242 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2417, 23remulcld 11269 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 0) โˆˆ โ„)
2512resqcld 14116 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
26 sq1 14185 . . . . . . . . 9 (1โ†‘2) = 1
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1โ†‘2) = 1)
28 nnge1 12265 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
2928adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
30 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
31 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ต = 0 โ†’ (๐ตโ†‘2) = (0โ†‘2))
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (0โ†‘2))
33 sq0 14182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0โ†‘2) = 0
3432, 33eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ตโ†‘2) = 0)
3534oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ท ยท 0))
362rpcnd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3837mul01d 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท 0) = 0)
3935, 38eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) = 0)
4039oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 0))
41 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)
4212recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4342sqcld 14135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4443adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4544subid1d 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 0) = (๐ดโ†‘2))
4640, 41, 453eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 = (๐ดโ†‘2))
4726, 46eqtr2id 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2))
48 nn0ge0 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
51 0le1 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
53 sq11 14122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5412, 50, 19, 52, 53syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5647, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด = 1)
57 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
5857oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0))
598rpcnd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
6059adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
6160mul01d 11438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0) = 0)
6258, 61eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) = 0)
6356, 62oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (1 + 0))
64 1p0e1 12361 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 0) = 1
6563, 64eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = 1)
6630, 65breqtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 < 1)
6718ltnri 11348 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 1 < 1
68 pm2.24 124 . . . . . . . . . . 11 (1 < 1 โ†’ (ยฌ 1 < 1 โ†’ 1 โ‰ค ๐ต))
6966, 67, 68mpisyl 21 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
70 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
71 elnn0 12499 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
7270, 71sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
7329, 69, 72mpjaodan 956 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
74 nn0ge0 12522 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7574adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7675ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7719, 15, 52, 76le2sqd 14246 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โ‰ค ๐ต โ†” (1โ†‘2) โ‰ค (๐ตโ†‘2)))
7873, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1โ†‘2) โ‰ค (๐ตโ†‘2))
7927, 78eqbrtrrd 5168 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค (๐ตโ†‘2))
8019, 20suble0d 11830 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” 1 โ‰ค (๐ตโ†‘2)))
8179, 80mpbird 256 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0)
8221, 23, 2lemul2d 13087 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โ‰ค (๐ท ยท 0)))
8381, 82mpbid 231 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โ‰ค (๐ท ยท 0))
8422, 24, 25, 83leadd2dd 11854 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)))
855rpcnd 13045 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) โˆˆ โ„‚)
8685sqsqrtd 15413 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) = (๐ท + 1))
87 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)
8887eqcomd 2731 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
8988oveq2d 7429 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) = (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))))
9015recnd 11267 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9190sqcld 14135 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9236, 91mulcld 11259 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
9336, 43, 92addsub12d 11619 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))))
9419recnd 11267 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9536, 94, 91subdid 11695 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = ((๐ท ยท 1) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
9636mulridd 11256 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 1) = ๐ท)
9796oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ท ยท 1) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
9895, 97eqtr2d 2766 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))))
9998oveq2d 7429 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10093, 99eqtrd 2765 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10186, 89, 1003eqtrd 2769 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10236mul01d 11438 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 0) = 0)
103102oveq2d 7429 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)) = ((๐ดโ†‘2) + 0))
10443addridd 11439 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + 0) = (๐ดโ†‘2))
105103, 104eqtr2d 2766 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)))
10684, 101, 1053brtr4d 5176 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘2))
1076rpge0d 13047 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ท + 1)))
1087, 12, 107, 50le2sqd 14246 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โ‰ค ๐ด โ†” ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘2)))
109106, 108mpbird 256 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โ‰ค ๐ด)
11059mulridd 11256 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) = (โˆšโ€˜๐ท))
11119, 15, 8lemul2d 13087 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โ‰ค ๐ต โ†” ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
11273, 111mpbid 231 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต))
113110, 112eqbrtrrd 5168 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต))
1147, 9, 12, 16, 109, 113le2addd 11858 1 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„•0cn0 12497  โ„+crp 13001  โ†‘cexp 14053  โˆšcsqrt 15207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210
This theorem is referenced by:  pell1qrgap  42355
  Copyright terms: Public domain W3C validator