pell1qrgaplem - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pell1qrgaplem 42829

Description: Lemma for pell1qrgap 42830. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pell1qrgaplem	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

**Proof of Theorem pell1qrgaplem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 13068	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
3		1rp 13061	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ⁺)
5	2, 4	rpaddcld 13114	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ⁺)
6	5	rpsqrtcld 15460	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 13099	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
8	2	rpsqrtcld 15460	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ⁺)
9	8	rpred 13099	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10		nn0re 12562	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ₀ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 726	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		nn0re 12562	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 726	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	9, 15	remulcld 11320	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
17	2	rpred 13099	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18		1re 11290	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
20	15	resqcld 14175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
21	19, 20	resubcld 11718	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
22	17, 21	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
23		0red 11293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
24	17, 23	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) ∈ ℝ)
25	12	resqcld 14175	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
26		sq1 14244	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) = 1)
28		nnge1 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
30		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
31		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = (0↑2))
33		sq0 14241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0↑2) = 0
34	32, 33	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = 0)
35	34	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = (𝐷 · 0))
36	2	rpcnd 13101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 11489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · 0) = 0)
39	35, 38	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = 0)
40	39	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) − 0))
41		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
42	12	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − 0) = (𝐴↑2))
46	40, 41, 45	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 = (𝐴↑2))
47	26, 46	eqtr2id 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) = (1↑2))
48		nn0ge0 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝐴)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐴)
50	49	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐴)
51		0le1 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 1)
53		sq11 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
54	12, 50, 19, 52, 53	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
56	47, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 1)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
58	57	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = ((√‘𝐷) · 0))
59	8	rpcnd 13101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
61	60	mul01d 11489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
62	58, 61	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = 0)
63	56, 62	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (1 + 0))
64		1p0e1 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 0) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = 1)
66	30, 65	breqtrd 5192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < 1)
67	18	ltnri 11399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 < 1
68		pm2.24 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 1 → (¬ 1 < 1 → 1 ≤ 𝐵))
69	66, 67, 68	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 𝐵)
70		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
71		elnn0 12555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
72	70, 71	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
73	29, 69, 72	mpjaodan 959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐵)
74		nn0ge0 12578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝐵)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐵)
76	75	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐵)
77	19, 15, 52, 76	le2sqd 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (1↑2) ≤ (𝐵↑2)))
78	73, 77	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) ≤ (𝐵↑2))
79	27, 78	eqbrtrrd 5190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝐵↑2))
80	19, 20	suble0d 11881	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (𝐵↑2)))
81	79, 80	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ≤ 0)
82	21, 23, 2	lemul2d 13143	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0)))
83	81, 82	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0))
84	22, 24, 25, 83	leadd2dd 11905	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
85	5	rpcnd 13101	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℂ)
86	85	sqsqrtd 15488	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = (𝐷 + 1))
87		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
88	87	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
89	88	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) = (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
90	15	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
91	90	sqcld 14194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
92	36, 91	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
93	36, 43, 92	addsub12d 11670	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
94	19	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
95	36, 94, 91	subdid 11746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) = ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
96	36	mulridd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 1) = 𝐷)
97	96	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))))
98	95, 97	eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))))
99	98	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
100	93, 99	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
101	86, 89, 100	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
102	36	mul01d 11489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) = 0)
103	102	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)) = ((𝐴↑2) + 0))
104	43	addridd 11490	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
105	103, 104	eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
106	84, 101, 105	3brtr4d 5198	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2))
107	6	rpge0d 13103	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
108	7, 12, 107, 50	le2sqd 14306	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴 ↔ ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2)))
109	106, 108	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴)
110	59	mulridd 11307	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) = (√‘𝐷))
111	19, 15, 8	lemul2d 13143	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵)))
112	73, 111	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
113	110, 112	eqbrtrrd 5190	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
114	7, 9, 12, 16, 109, 113	le2addd 11909	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 846 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5166 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 ℕcn 12293 2c2 12348 ℕ₀cn0 12553 ℝ⁺crp 13057 ↑cexp 14112 √csqrt 15282

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-sup 9511 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-seq 14053 df-exp 14113 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285

This theorem is referenced by: pell1qrgap 42830

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