pell1qrgaplem - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pell1qrgaplem 43057

Description: Lemma for pell1qrgap 43058. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pell1qrgaplem	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

**Proof of Theorem pell1qrgaplem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 12915	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
3		1rp 12907	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ⁺)
5	2, 4	rpaddcld 12962	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ⁺)
6	5	rpsqrtcld 15333	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 12947	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
8	2	rpsqrtcld 15333	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ⁺)
9	8	rpred 12947	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10		nn0re 12408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ₀ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 727	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		nn0re 12408	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	9, 15	remulcld 11160	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
17	2	rpred 12947	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18		1re 11130	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
20	15	resqcld 14046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
21	19, 20	resubcld 11563	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
22	17, 21	remulcld 11160	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
23		0red 11133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
24	17, 23	remulcld 11160	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) ∈ ℝ)
25	12	resqcld 14046	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
26		sq1 14116	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) = 1)
28		nnge1 12171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
30		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
31		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = (0↑2))
33		sq0 14113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0↑2) = 0
34	32, 33	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = 0)
35	34	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = (𝐷 · 0))
36	2	rpcnd 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · 0) = 0)
39	35, 38	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = 0)
40	39	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) − 0))
41		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
42	12	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	sqcld 14065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − 0) = (𝐴↑2))
46	40, 41, 45	3eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 = (𝐴↑2))
47	26, 46	eqtr2id 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) = (1↑2))
48		nn0ge0 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝐴)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐴)
50	49	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐴)
51		0le1 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 1)
53		sq11 14052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
54	12, 50, 19, 52, 53	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
56	47, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 1)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
58	57	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = ((√‘𝐷) · 0))
59	8	rpcnd 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
61	60	mul01d 11330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
62	58, 61	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = 0)
63	56, 62	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (1 + 0))
64		1p0e1 12262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 0) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = 1)
66	30, 65	breqtrd 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < 1)
67	18	ltnri 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 < 1
68		pm2.24 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 1 → (¬ 1 < 1 → 1 ≤ 𝐵))
69	66, 67, 68	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 𝐵)
70		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
71		elnn0 12401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
72	70, 71	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
73	29, 69, 72	mpjaodan 960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐵)
74		nn0ge0 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝐵)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐵)
76	75	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐵)
77	19, 15, 52, 76	le2sqd 14178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (1↑2) ≤ (𝐵↑2)))
78	73, 77	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) ≤ (𝐵↑2))
79	27, 78	eqbrtrrd 5120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝐵↑2))
80	19, 20	suble0d 11726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (𝐵↑2)))
81	79, 80	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ≤ 0)
82	21, 23, 2	lemul2d 12991	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0)))
83	81, 82	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0))
84	22, 24, 25, 83	leadd2dd 11750	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
85	5	rpcnd 12949	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℂ)
86	85	sqsqrtd 15363	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = (𝐷 + 1))
87		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
88	87	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
89	88	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) = (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
90	15	recnd 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
91	90	sqcld 14065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
92	36, 91	mulcld 11150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
93	36, 43, 92	addsub12d 11513	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
94	19	recnd 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
95	36, 94, 91	subdid 11591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) = ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
96	36	mulridd 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 1) = 𝐷)
97	96	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))))
98	95, 97	eqtr2d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))))
99	98	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
100	93, 99	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
101	86, 89, 100	3eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
102	36	mul01d 11330	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) = 0)
103	102	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)) = ((𝐴↑2) + 0))
104	43	addridd 11331	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
105	103, 104	eqtr2d 2770	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
106	84, 101, 105	3brtr4d 5128	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2))
107	6	rpge0d 12951	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
108	7, 12, 107, 50	le2sqd 14178	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴 ↔ ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2)))
109	106, 108	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴)
110	59	mulridd 11147	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) = (√‘𝐷))
111	19, 15, 8	lemul2d 12991	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵)))
112	73, 111	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
113	110, 112	eqbrtrrd 5120	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
114	7, 9, 12, 16, 109, 113	le2addd 11754	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 class class class wbr 5096 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 ℂcc 11022 ℝcr 11023 0cc0 11024 1c1 11025 + caddc 11027 · cmul 11029 < clt 11164 ≤ cle 11165 − cmin 11362 ℕcn 12143 2c2 12198 ℕ₀cn0 12399 ℝ⁺crp 12903 ↑cexp 13982 √csqrt 15154

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-op 4585 df-uni 4862 df-iun 4946 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-er 8633 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-sup 9343 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-div 11793 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-n0 12400 df-z 12487 df-uz 12750 df-rp 12904 df-seq 13923 df-exp 13983 df-cj 15020 df-re 15021 df-im 15022 df-sqrt 15156 df-abs 15157

This theorem is referenced by: pell1qrgap 43058

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