Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgaplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrgaplem 41182
Description: Lemma for pell1qrgap 41183. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgaplem (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

Proof of Theorem pell1qrgaplem
StepHypRef Expression
1 nnrp 12926 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
3 1rp 12919 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ+)
52, 4rpaddcld 12972 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
65rpsqrtcld 15296 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
76rpred 12957 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
82rpsqrtcld 15296 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
98rpred 12957 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10 nn0re 12422 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211ad2antlr 725 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 nn0re 12422 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514ad2antlr 725 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
169, 15remulcld 11185 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
172rpred 12957 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
2015resqcld 14030 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
2119, 20resubcld 11583 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
2217, 21remulcld 11185 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
23 0red 11158 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
2417, 23remulcld 11185 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) ∈ ℝ)
2512resqcld 14030 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
26 sq1 14099 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) = 1)
28 nnge1 12181 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
2928adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
30 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
31 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = (0↑2))
33 sq0 14096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0↑2) = 0
3432, 33eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = 0)
3534oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = (𝐷 · 0))
362rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
3837mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · 0) = 0)
3935, 38eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = 0)
4039oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) − 0))
41 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
4212recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4544subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − 0) = (𝐴↑2))
4640, 41, 453eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 = (𝐴↑2))
4726, 46eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) = (1↑2))
48 nn0ge0 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐴)
51 0le1 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 1)
53 sq11 14036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
5412, 50, 19, 52, 53syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
5647, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 1)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
5857oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = ((√‘𝐷) · 0))
598rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
6160mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
6258, 61eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = 0)
6356, 62oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (1 + 0))
64 1p0e1 12277 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 0) = 1
6563, 64eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = 1)
6630, 65breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < 1)
6718ltnri 11264 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 < 1
68 pm2.24 124 . . . . . . . . . . 11 (1 < 1 → (¬ 1 < 1 → 1 ≤ 𝐵))
6966, 67, 68mpisyl 21 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 𝐵)
70 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
71 elnn0 12415 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
7270, 71sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
7329, 69, 72mpjaodan 957 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐵)
74 nn0ge0 12438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐵)
7675ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐵)
7719, 15, 52, 76le2sqd 14160 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (1↑2) ≤ (𝐵↑2)))
7873, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) ≤ (𝐵↑2))
7927, 78eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝐵↑2))
8019, 20suble0d 11746 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (𝐵↑2)))
8179, 80mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ≤ 0)
8221, 23, 2lemul2d 13001 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0)))
8381, 82mpbid 231 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0))
8422, 24, 25, 83leadd2dd 11770 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
855rpcnd 12959 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℂ)
8685sqsqrtd 15324 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = (𝐷 + 1))
87 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
8887eqcomd 2742 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
8988oveq2d 7373 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) = (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
9015recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9190sqcld 14049 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
9236, 91mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
9336, 43, 92addsub12d 11535 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
9419recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
9536, 94, 91subdid 11611 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) = ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
9636mulid1d 11172 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 1) = 𝐷)
9796oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))))
9895, 97eqtr2d 2777 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))))
9998oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
10093, 99eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
10186, 89, 1003eqtrd 2780 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
10236mul01d 11354 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) = 0)
103102oveq2d 7373 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)) = ((𝐴↑2) + 0))
10443addid1d 11355 . . . . 5 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
105103, 104eqtr2d 2777 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
10684, 101, 1053brtr4d 5137 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2))
1076rpge0d 12961 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
1087, 12, 107, 50le2sqd 14160 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴 ↔ ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2)))
109106, 108mpbird 256 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴)
11059mulid1d 11172 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) = (√‘𝐷))
11119, 15, 8lemul2d 13001 . . . 4 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵)))
11273, 111mpbid 231 . . 3 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
113110, 112eqbrtrrd 5129 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
1147, 9, 12, 16, 109, 113le2addd 11774 1 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  +crp 12915  cexp 13967  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  pell1qrgap  41183
  Copyright terms: Public domain W3C validator