pell1qrgaplem - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pell1qrgaplem 40611

Description: Lemma for pell1qrgap 40612. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pell1qrgaplem	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

**Proof of Theorem pell1qrgaplem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 12670	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
2	1	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
3		1rp 12663	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ⁺)
5	2, 4	rpaddcld 12716	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ⁺)
6	5	rpsqrtcld 15051	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 12701	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
8	2	rpsqrtcld 15051	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ⁺)
9	8	rpred 12701	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10		nn0re 12172	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ₀ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 723	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		nn0re 12172	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 723	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	9, 15	remulcld 10936	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
17	2	rpred 12701	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18		1re 10906	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
20	15	resqcld 13893	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
21	19, 20	resubcld 11333	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
22	17, 21	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
23		0red 10909	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
24	17, 23	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) ∈ ℝ)
25	12	resqcld 13893	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
26		sq1 13840	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) = 1)
28		nnge1 11931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
30		simplrl 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
31		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = (0↑2))
33		sq0 13837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0↑2) = 0
34	32, 33	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑2) = 0)
35	34	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = (𝐷 · 0))
36	2	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 11104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · 0) = 0)
39	35, 38	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐷 · (𝐵↑2)) = 0)
40	39	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) − 0))
41		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
42	12	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) − 0) = (𝐴↑2))
46	40, 41, 45	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 = (𝐴↑2))
47	26, 46	eqtr2id 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑2) = (1↑2))
48		nn0ge0 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝐴)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐴)
50	49	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐴)
51		0le1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 1)
53		sq11 13778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
54	12, 50, 19, 52, 53	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
56	47, 55	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 1)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
58	57	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = ((√‘𝐷) · 0))
59	8	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
61	60	mul01d 11104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
62	58, 61	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) = 0)
63	56, 62	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (1 + 0))
64		1p0e1 12027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 0) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = 1)
66	30, 65	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 < 1)
67	18	ltnri 11014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 < 1
68		pm2.24 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 1 → (¬ 1 < 1 → 1 ≤ 𝐵))
69	66, 67, 68	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 𝐵)
70		simplrr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
71		elnn0 12165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
72	70, 71	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
73	29, 69, 72	mpjaodan 955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐵)
74		nn0ge0 12188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝐵)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐵)
76	75	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ 𝐵)
77	19, 15, 52, 76	le2sqd 13902	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (1↑2) ≤ (𝐵↑2)))
78	73, 77	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1↑2) ≤ (𝐵↑2))
79	27, 78	eqbrtrrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝐵↑2))
80	19, 20	suble0d 11496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (𝐵↑2)))
81	79, 80	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 − (𝐵↑2)) ≤ 0)
82	21, 23, 2	lemul2d 12745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((1 − (𝐵↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0)))
83	81, 82	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) ≤ (𝐷 · 0))
84	22, 24, 25, 83	leadd2dd 11520	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
85	5	rpcnd 12703	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) ∈ ℂ)
86	85	sqsqrtd 15079	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = (𝐷 + 1))
87		simprr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
88	87	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
89	88	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + 1) = (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
90	15	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
91	90	sqcld 13790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
92	36, 91	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
93	36, 43, 92	addsub12d 11285	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
94	19	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
95	36, 94, 91	subdid 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))) = ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
96	36	mulid1d 10923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 1) = 𝐷)
97	96	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐷 · 1) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))))
98	95, 97	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2))) = (𝐷 · (1 − (𝐵↑2))))
99	98	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
100	93, 99	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 + ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
101	86, 89, 100	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · (1 − (𝐵↑2)))))
102	36	mul01d 11104	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐷 · 0) = 0)
103	102	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)) = ((𝐴↑2) + 0))
104	43	addid1d 11105	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
105	103, 104	eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (𝐴↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐷 · 0)))
106	84, 101, 105	3brtr4d 5102	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2))
107	6	rpge0d 12705	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → 0 ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
108	7, 12, 107, 50	le2sqd 13902	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴 ↔ ((√‘(𝐷 + 1))↑2) ≤ (𝐴↑2)))
109	106, 108	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘(𝐷 + 1)) ≤ 𝐴)
110	59	mulid1d 10923	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) = (√‘𝐷))
111	19, 15, 8	lemul2d 12745	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵)))
112	73, 111	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
113	110, 112	eqbrtrrd 5094	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ≤ ((√‘𝐷) · 𝐵))
114	7, 9, 12, 16, 109, 113	le2addd 11524	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ₀)) ∧ (1 < (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 843 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5070 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 ℝcr 10801 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 ℕcn 11903 2c2 11958 ℕ₀cn0 12163 ℝ⁺crp 12659 ↑cexp 13710 √csqrt 14872

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-sup 9131 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-rp 12660 df-seq 13650 df-exp 13711 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875

This theorem is referenced by: pell1qrgap 40612

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