Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgaplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrgaplem 41601
Description: Lemma for pell1qrgap 41602. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgaplem (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))

Proof of Theorem pell1qrgaplem
StepHypRef Expression
1 nnrp 12984 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
3 1rp 12977 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„+
43a1i 11 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
52, 4rpaddcld 13030 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) โˆˆ โ„+)
65rpsqrtcld 15357 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โˆˆ โ„+)
76rpred 13015 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โˆˆ โ„)
82rpsqrtcld 15357 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
98rpred 13015 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
10 nn0re 12480 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1110adantr 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211ad2antlr 725 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
13 nn0re 12480 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1413adantl 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1514ad2antlr 725 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
169, 15remulcld 11243 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
172rpred 13015 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
18 1re 11213 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
1918a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2015resqcld 14089 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
2119, 20resubcld 11641 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
2217, 21remulcld 11243 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„)
23 0red 11216 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2417, 23remulcld 11243 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 0) โˆˆ โ„)
2512resqcld 14089 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
26 sq1 14158 . . . . . . . . 9 (1โ†‘2) = 1
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1โ†‘2) = 1)
28 nnge1 12239 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
2928adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
30 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
31 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ต = 0 โ†’ (๐ตโ†‘2) = (0โ†‘2))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (0โ†‘2))
33 sq0 14155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0โ†‘2) = 0
3432, 33eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ตโ†‘2) = 0)
3534oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ท ยท 0))
362rpcnd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3837mul01d 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท 0) = 0)
3935, 38eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) = 0)
4039oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 0))
41 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)
4212recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4342sqcld 14108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4544subid1d 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ 0) = (๐ดโ†‘2))
4640, 41, 453eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 = (๐ดโ†‘2))
4726, 46eqtr2id 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2))
48 nn0ge0 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
51 0le1 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
53 sq11 14095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5412, 50, 19, 52, 53syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
5647, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด = 1)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
5857oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0))
598rpcnd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
6160mul01d 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0) = 0)
6258, 61eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) = 0)
6356, 62oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (1 + 0))
64 1p0e1 12335 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 0) = 1
6563, 64eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = 1)
6630, 65breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 < 1)
6718ltnri 11322 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 1 < 1
68 pm2.24 124 . . . . . . . . . . 11 (1 < 1 โ†’ (ยฌ 1 < 1 โ†’ 1 โ‰ค ๐ต))
6966, 67, 68mpisyl 21 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
70 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
71 elnn0 12473 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
7270, 71sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
7329, 69, 72mpjaodan 957 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
74 nn0ge0 12496 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7675ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7719, 15, 52, 76le2sqd 14219 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โ‰ค ๐ต โ†” (1โ†‘2) โ‰ค (๐ตโ†‘2)))
7873, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1โ†‘2) โ‰ค (๐ตโ†‘2))
7927, 78eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค (๐ตโ†‘2))
8019, 20suble0d 11804 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” 1 โ‰ค (๐ตโ†‘2)))
8179, 80mpbird 256 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0)
8221, 23, 2lemul2d 13059 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โ‰ค (๐ท ยท 0)))
8381, 82mpbid 231 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โ‰ค (๐ท ยท 0))
8422, 24, 25, 83leadd2dd 11828 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)))
855rpcnd 13017 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) โˆˆ โ„‚)
8685sqsqrtd 15385 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) = (๐ท + 1))
87 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)
8887eqcomd 2738 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
8988oveq2d 7424 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + 1) = (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))))
9015recnd 11241 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9190sqcld 14108 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9236, 91mulcld 11233 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
9336, 43, 92addsub12d 11593 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))))
9419recnd 11241 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9536, 94, 91subdid 11669 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = ((๐ท ยท 1) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
9636mulridd 11230 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 1) = ๐ท)
9796oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ท ยท 1) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
9895, 97eqtr2d 2773 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2))))
9998oveq2d 7424 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10093, 99eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท + ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10186, 89, 1003eqtrd 2776 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท (1 โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
10236mul01d 11412 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ท ยท 0) = 0)
103102oveq2d 7424 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)) = ((๐ดโ†‘2) + 0))
10443addridd 11413 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + 0) = (๐ดโ†‘2))
105103, 104eqtr2d 2773 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ท ยท 0)))
10684, 101, 1053brtr4d 5180 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘2))
1076rpge0d 13019 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ท + 1)))
1087, 12, 107, 50le2sqd 14219 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โ‰ค ๐ด โ†” ((โˆšโ€˜(๐ท + 1))โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘2)))
109106, 108mpbird 256 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ท + 1)) โ‰ค ๐ด)
11059mulridd 11230 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) = (โˆšโ€˜๐ท))
11119, 15, 8lemul2d 13059 . . . 4 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (1 โ‰ค ๐ต โ†” ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
11273, 111mpbid 231 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต))
113110, 112eqbrtrrd 5172 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต))
1147, 9, 12, 16, 109, 113le2addd 11832 1 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง (1 < (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ท + 1)) + (โˆšโ€˜๐ท)) โ‰ค (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ„+crp 12973  โ†‘cexp 14026  โˆšcsqrt 15179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182
This theorem is referenced by:  pell1qrgap  41602
  Copyright terms: Public domain W3C validator