Theorem 2sqreultblem 26941

Description: Lemma for 2sqreultb 26952. (Contributed by AV, 10-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 18-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreultblem	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreultlem 26940	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	ex 414	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3		2reu2rex 3391	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		elsni 4645	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → 𝑃 = 2)
5		eqeq2 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2))
6	5	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
7	6	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
8		2sq2 26926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 ↔ (𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1)))
9		breq12 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 1 < 1))
10		1re 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	10	ltnri 11320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
12	11	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → (𝑃 mod 4) = 1)
13	9, 12	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1))
14	8, 13	syl6bi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1)))
15	14	impcomd 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
16	15	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
17	7, 16	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
18	17	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
19	18	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
20	19	rexlimivv 3200	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
21	3, 4, 20	syl2imc 41	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
23		eldif 3958	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
24		eldifsnneq 4794	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 = 2)
25		nn0ssz 12578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
26		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
27	26	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
28	27	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
29	28	reximi 3085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
30	29	reximi 3085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
31		ssrexv 4051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
32	25, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
33	32	reximi 3085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
34	3, 30, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
35		ssrexv 4051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
36	25, 34, 35	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
37	36	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
38		eldifi 4126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	38	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		2sqb 26925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
42	37, 41	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
43	42	ord 863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
44	43	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
45	24, 44	mpid 44	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
46	23, 45	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
47	46	expcom 415	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
48	22, 47	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
49	2, 48	impbid 211	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3375   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11245  2c2 12264  4c4 12266  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555   mod cmo 13831  ↑cexp 14024  ℙcprime 16605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16696  df-pc 16767  df-gz 16860  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-imas 17451  df-qus 17452  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-nsg 18999  df-eqg 19000  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-srg 20004  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-rnghom 20244  df-nzr 20285  df-drng 20310  df-field 20311  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-lidl 20780  df-rsp 20781  df-2idl 20850  df-rlreg 20892  df-domn 20893  df-idom 20894  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zrh 21045  df-zn 21048  df-assa 21400  df-asp 21401  df-ascl 21402  df-psr 21454  df-mvr 21455  df-mpl 21456  df-opsr 21458  df-evls 21627  df-evl 21628  df-psr1 21696  df-vr1 21697  df-ply1 21698  df-coe1 21699  df-evl1 21827  df-mdeg 25562  df-deg1 25563  df-mon1 25640  df-uc1p 25641  df-q1p 25642  df-r1p 25643  df-lgs 26788

This theorem is referenced by:  2sqreultb  26952