Theorem 2sqreultblem 27411

Description: Lemma for 2sqreultb 27422. (Contributed by AV, 10-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 18-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreultblem	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreultlem 27410	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3		2reu2rex 3354	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		elsni 4584	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → 𝑃 = 2)
5		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2))
6	5	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
8		2sq2 27396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 ↔ (𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1)))
9		breq12 5090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 1 < 1))
10		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	10	ltnri 11255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
12	11	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → (𝑃 mod 4) = 1)
13	9, 12	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1))
14	8, 13	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1)))
15	14	impcomd 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
17	7, 16	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
18	17	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
19	18	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
20	19	rexlimivv 3179	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
21	3, 4, 20	syl2imc 41	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
23		eldif 3899	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
24		eldifsnneq 4736	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 = 2)
25		nn0ssz 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
26		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
27	26	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
29	28	reximi 3075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
30	29	reximi 3075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
31		ssrexv 3991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
32	25, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
33	32	reximi 3075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
34	3, 30, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
35		ssrexv 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
36	25, 34, 35	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
38		eldifi 4071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		2sqb 27395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
42	37, 41	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
43	42	ord 865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
44	43	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
45	24, 44	mpid 44	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
46	23, 45	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
47	46	expcom 413	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
48	22, 47	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
49	2, 48	impbid 212	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3340   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179  2c2 12236  4c4 12238  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524   mod cmo 13828  ↑cexp 14023  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-phi 16736  df-pc 16808  df-gz 16901  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-nzr 20490  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-idom 20673  df-drng 20708  df-field 20709  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-2idl 21248  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-zn 21486  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-evls 22052  df-evl 22053  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-evl1 22281  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-mon1 26096  df-uc1p 26097  df-q1p 26098  df-r1p 26099  df-lgs 27258

This theorem is referenced by:  2sqreultb  27422