Theorem 2sqreultblem 27419

Description: Lemma for 2sqreultb 27430. (Contributed by AV, 10-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 18-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreultblem	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreultlem 27418	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3		2reu2rex 3363	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		elsni 4598	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → 𝑃 = 2)
5		eqeq2 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2))
6	5	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
8		2sq2 27404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 ↔ (𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1)))
9		breq12 5104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 1 < 1))
10		1re 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	10	ltnri 11246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
12	11	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → (𝑃 mod 4) = 1)
13	9, 12	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1))
14	8, 13	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1)))
15	14	impcomd 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
17	7, 16	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
18	17	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
19	18	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
20	19	rexlimivv 3179	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
21	3, 4, 20	syl2imc 41	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
23		eldif 3912	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
24		eldifsnneq 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 = 2)
25		nn0ssz 12515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
26		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
27	26	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
29	28	reximi 3075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
30	29	reximi 3075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
31		ssrexv 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
32	25, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
33	32	reximi 3075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
34	3, 30, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
35		ssrexv 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
36	25, 34, 35	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
38		eldifi 4084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		2sqb 27403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
42	37, 41	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
43	42	ord 865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
44	43	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
45	24, 44	mpid 44	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
46	23, 45	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
47	46	expcom 413	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
48	22, 47	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
49	2, 48	impbid 212	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3349   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4581   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170  2c2 12204  4c4 12206  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492   mod cmo 13793  ↑cexp 13988  ℙcprime 16602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-prm 16603  df-phi 16697  df-pc 16769  df-gz 16862  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-rhm 20412  df-nzr 20450  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-rlreg 20631  df-domn 20632  df-idom 20633  df-drng 20668  df-field 20669  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-zn 21465  df-assa 21812  df-asp 21813  df-ascl 21814  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22033  df-evl 22034  df-psr1 22124  df-vr1 22125  df-ply1 22126  df-coe1 22127  df-evl1 22264  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-mon1 26096  df-uc1p 26097  df-q1p 26098  df-r1p 26099  df-lgs 27266

This theorem is referenced by:  2sqreultb  27430