Theorem 2sqreultblem 25706

Description: Lemma for 2sqreultb 25717. (Contributed by AV, 10-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 18-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreultblem	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreultlem 25705	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	ex 413	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3		2reu2rex 3392	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		elsni 4489	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → 𝑃 = 2)
5		eqeq2 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2))
6	5	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
7	6	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
8		2sq2 25691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 ↔ (𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1)))
9		breq12 4967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 1 < 1))
10		1re 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	10	ltnri 10596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
12	11	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → (𝑃 mod 4) = 1)
13	9, 12	syl6bi 254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1))
14	8, 13	syl6bi 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1)))
15	14	impcomd 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
17	7, 16	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
18	17	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
19	18	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
20	19	rexlimivv 3255	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
21	3, 4, 20	syl2imc 41	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
23		eldif 3869	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
24		eldifsnneq 4630	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 = 2)
25		nn0ssz 11852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
26		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
27	26	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
29	28	reximi 3207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
30	29	reximi 3207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
31		ssrexv 3955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
32	25, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
33	32	reximi 3207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
34	3, 30, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
35		ssrexv 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
36	25, 34, 35	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
37	36	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
38		eldifi 4024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		2sqb 25690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
42	37, 41	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
43	42	ord 859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
44	43	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
45	24, 44	mpid 44	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
46	23, 45	sylbir 236	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
47	46	expcom 414	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
48	22, 47	pm2.61i 183	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
49	2, 48	impbid 213	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∃wrex 3106  ∃!wreu 3107   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859  {csn 4472   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  1c1 10384   + caddc 10386   < clt 10521  2c2 11540  4c4 11542  ℕ₀cn0 11745  ℤcz 11829   mod cmo 13087  ↑cexp 13279  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-ec 8141  df-qs 8145  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-prm 15845  df-phi 15932  df-pc 16003  df-gz 16095  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-prds 16550  df-pws 16552  df-imas 16610  df-qus 16611  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-nsg 18031  df-eqg 18032  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-srg 18946  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-rnghom 19157  df-drng 19194  df-field 19195  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-sra 19634  df-rgmod 19635  df-lidl 19636  df-rsp 19637  df-2idl 19694  df-nzr 19720  df-rlreg 19745  df-domn 19746  df-idom 19747  df-assa 19774  df-asp 19775  df-ascl 19776  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-evls 19973  df-evl 19974  df-psr1 20031  df-vr1 20032  df-ply1 20033  df-coe1 20034  df-evl1 20162  df-cnfld 20228  df-zring 20300  df-zrh 20333  df-zn 20336  df-mdeg 24332  df-deg1 24333  df-mon1 24407  df-uc1p 24408  df-q1p 24409  df-r1p 24410  df-lgs 25553

This theorem is referenced by:  2sqreultb  25717