MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreultblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreultblem 27492
Description: Lemma for 2sqreultb 27503. (Contributed by AV, 10-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 18-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreultblem (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreultblem
StepHypRef Expression
1 2sqreultlem 27491 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
21ex 412 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3 2reu2rex 3394 . . . . 5 (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4 elsni 4643 . . . . 5 (𝑃 ∈ {2} → 𝑃 = 2)
5 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 2 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2))
65anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
76adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2)))
8 2sq2 27477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 ↔ (𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1)))
9 breq12 5148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 1 < 1))
10 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
1110ltnri 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 1 < 1
1211pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 1 → (𝑃 mod 4) = 1)
139, 12biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 1) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1))
148, 13biimtrdi 253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2 → (𝑎 < 𝑏 → (𝑃 mod 4) = 1)))
1514impcomd 411 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 2) → (𝑃 mod 4) = 1))
177, 16sylbid 240 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
1817ex 412 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑃 = 2 → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
1918com23 86 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
2019rexlimivv 3201 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
213, 4, 20syl2imc 41 . . . 4 (𝑃 ∈ {2} → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
2221a1d 25 . . 3 (𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
23 eldif 3961 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
24 eldifsnneq 4791 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 = 2)
25 nn0ssz 12636 . . . . . . . . . . 11 0 ⊆ ℤ
26 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
2726eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2928reximi 3084 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
3029reximi 3084 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
31 ssrexv 4053 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
3225, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
3332reximi 3084 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
343, 30, 333syl 18 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
35 ssrexv 4053 . . . . . . . . . . 11 (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))))
3625, 34, 35mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
3736adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
38 eldifi 4131 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40 2sqb 27476 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))
4237, 41mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
4342ord 865 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
4443ex 412 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1)))
4524, 44mpid 44 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
4623, 45sylbir 235 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
4746expcom 413 . . 3 𝑃 ∈ {2} → (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1)))
4822, 47pm2.61i 182 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑃 mod 4) = 1))
492, 48impbid 212 1 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  ∃!wreu 3378  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  2c2 12321  4c4 12323  0cn0 12526  cz 12613   mod cmo 13909  cexp 14102  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-gz 16968  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evl1 22320  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173  df-lgs 27339
This theorem is referenced by:  2sqreultb  27503
  Copyright terms: Public domain W3C validator