MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim 15218
Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12272 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11985 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 geolim.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 geolim.2 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
53, 4expcnv 15211 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
6 ax-1cn 10587 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 subcl 10877 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
86, 3, 7sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9 1re 10633 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
109ltnri 10741 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 < 1
11 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
12 abs1 14650 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘1) = 1
1311, 12syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
1413breq1d 5072 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
1510, 14mtbiri 328 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
1615necon2ai 3049 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ 1)
1817necomd 3075 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
19 subeq0 10904 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
206, 3, 19sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
2120necon3bid 3064 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
2218, 21mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
233, 8, 22divcld 11408 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
24 nn0ex 11895 . . . . . . 7 0 ∈ V
2524mptex 6984 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
27 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
28 eqid 2825 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
29 ovex 7184 . . . . . . . 8 (𝐴𝑗) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6764 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
32 expcl 13440 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
333, 32sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3431, 33eqeltrd 2917 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
35 expp1 13429 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
363, 35sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
373adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3833, 37mulcomd 10654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
3936, 38eqtrd 2860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
4039oveq1d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)))
418adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4222adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
4337, 33, 41, 42div23d 11445 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
4440, 43eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
45 oveq1 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
4645oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
4746oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
48 eqid 2825 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
49 ovex 7184 . . . . . . . 8 ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6764 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
5150adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
5231oveq2d 7167 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
5344, 51, 523eqtr4d 2870 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)))
541, 2, 5, 23, 26, 34, 53climmulc2 14986 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
5523mul01d 10831 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
5654, 55breqtrd 5088 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
578, 22reccld 11401 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
58 seqex 13364 . . . 4 seq0( + , 𝐹) ∈ V
5958a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
60 peano2nn0 11929 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
61 expcl 13440 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
623, 60, 61syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
6362, 41, 42divcld 11408 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6451, 63eqeltrd 2917 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
65 nn0cn 11899 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
6665adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
67 pncan 10884 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6866, 6, 67sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6968oveq2d 7167 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
7069sumeq1d 15050 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘))
716a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
7271, 62, 41, 42divsubdird 11447 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
7317adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 1)
7460adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
7537, 73, 74geoser 15214 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
7651oveq2d 7167 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
7772, 75, 763eqtr4d 2870 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
78 simpll 763 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝜑)
79 elfznn0 12993 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8079adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81 geolim.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
8278, 80, 81syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
83 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
8483, 1syl6eleq 2927 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
8578, 3syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8685, 80expcld 13503 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
8782, 84, 86fsumser 15079 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
8870, 77, 873eqtr3rd 2869 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
891, 2, 56, 57, 59, 64, 88climsubc2 14988 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
9057subid1d 10978 . 2 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
9189, 90breqtrd 5088 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  Vcvv 3499   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cmin 10862   / cdiv 11289  0cn0 11889  cuz 12235  ...cfz 12885  seqcseq 13362  cexp 13422  abscabs 14586  cli 14834  Σcsu 15035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036
This theorem is referenced by:  geolim2  15219  georeclim  15220  geomulcvg  15224  geoisum  15225  cvgrat  15231  eflegeo  15466  geolim3  24845  abelthlem5  24940  logtayllem  25157  zetacvg  25508  knoppcnlem6  33723
  Copyright terms: Public domain W3C validator