MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim 15762
Description: The partial sums in the infinite series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2... converge to (1 / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
geolim.2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
geolim.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
Assertion
Ref Expression
geolim (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem geolim
Dummy variables ๐‘— ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12812 . . 3 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0zd 12518 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 geolim.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 geolim.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
53, 4expcnv 15756 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
6 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
7 subcl 11407 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
86, 3, 7sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 1re 11162 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„
109ltnri 11271 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 1 < 1
11 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = 1 โ†’ (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜1))
12 abs1 15189 . . . . . . . . . . . . 13 (absโ€˜1) = 1
1311, 12eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = 1 โ†’ (absโ€˜๐ด) = 1)
1413breq1d 5120 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) < 1 โ†” 1 < 1))
1510, 14mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (๐ด = 1 โ†’ ยฌ (absโ€˜๐ด) < 1)
1615necon2ai 2974 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐ด) < 1 โ†’ ๐ด โ‰  1)
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)
1817necomd 3000 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  ๐ด)
19 subeq0 11434 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
206, 3, 19sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
2120necon3bid 2989 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ๐ด))
2218, 21mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
233, 8, 22divcld 11938 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
24 nn0ex 12426 . . . . . . 7 โ„•0 โˆˆ V
2524mptex 7178 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
2625a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V)
27 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘—))
28 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
29 ovex 7395 . . . . . . . 8 (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ V
3027, 28, 29fvmpt 6953 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘—))
3130adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘—))
32 expcl 13992 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
333, 32sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3431, 33eqeltrd 2838 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
35 expp1 13981 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท ๐ด))
363, 35sylan 581 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท ๐ด))
373adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3833, 37mulcomd 11183 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
3936, 38eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
4039oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
418adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4222adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
4337, 33, 41, 42div23d 11975 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
4440, 43eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
45 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘— + 1))
4645oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)))
4746oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
48 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
49 ovex 7395 . . . . . . . 8 ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ V
5047, 48, 49fvmpt 6953 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—) = ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
5150adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—) = ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
5231oveq2d 7378 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—)) = ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)))
5344, 51, 523eqtr4d 2787 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—) = ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘—)))
541, 2, 5, 23, 26, 34, 53climmulc2 15526 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‡ ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท 0))
5523mul01d 11361 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท 0) = 0)
5654, 55breqtrd 5136 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‡ 0)
578, 22reccld 11931 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
58 seqex 13915 . . . 4 seq0( + , ๐น) โˆˆ V
5958a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ V)
60 peano2nn0 12460 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
61 expcl 13992 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
623, 60, 61syl2an 597 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
6362, 41, 42divcld 11938 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6451, 63eqeltrd 2838 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
65 nn0cn 12430 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
6665adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
67 pncan 11414 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ 1) = ๐‘—)
6866, 6, 67sylancl 587 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ 1) = ๐‘—)
6968oveq2d 7378 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...((๐‘— + 1) โˆ’ 1)) = (0...๐‘—))
7069sumeq1d 15593 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)(๐ดโ†‘๐‘˜))
716a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7271, 62, 41, 42divsubdird 11977 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1))) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))))
7317adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โ‰  1)
7460adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•0)
7537, 73, 74geoser 15759 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘— + 1))) / (1 โˆ’ ๐ด)))
7651oveq2d 7378 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—)) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐ดโ†‘(๐‘— + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด))))
7772, 75, 763eqtr4d 2787 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—)))
78 simpll 766 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)) โ†’ ๐œ‘)
79 elfznn0 13541 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8079adantl 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
81 geolim.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
8278, 80, 81syl2anc 585 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
83 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
8483, 1eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
8578, 3syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8685, 80expcld 14058 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
8782, 84, 86fsumser 15622 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘—)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (seq0( + , ๐น)โ€˜๐‘—))
8870, 77, 873eqtr3rd 2786 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (seq0( + , ๐น)โ€˜๐‘—) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) / (1 โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘—)))
891, 2, 56, 57, 59, 64, 88climsubc2 15528 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 0))
9057subid1d 11508 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆ’ 0) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
9189, 90breqtrd 5136 1 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•0cn0 12420  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126   โ‡ cli 15373  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  geolim2  15763  georeclim  15764  geomulcvg  15768  geoisum  15769  cvgrat  15775  eflegeo  16010  geolim3  25715  abelthlem5  25810  logtayllem  26030  zetacvg  26380  knoppcnlem6  34990
  Copyright terms: Public domain W3C validator