MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim 15755
Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12805 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12511 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 geolim.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 geolim.2 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
53, 4expcnv 15749 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
6 ax-1cn 11109 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 subcl 11400 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
86, 3, 7sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9 1re 11155 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
109ltnri 11264 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 < 1
11 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
12 abs1 15182 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘1) = 1
1311, 12eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
1413breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
1510, 14mtbiri 326 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
1615necon2ai 2973 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ 1)
1817necomd 2999 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
19 subeq0 11427 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
206, 3, 19sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
2120necon3bid 2988 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
2218, 21mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
233, 8, 22divcld 11931 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
24 nn0ex 12419 . . . . . . 7 0 ∈ V
2524mptex 7173 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
27 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
28 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
29 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝐴𝑗) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
32 expcl 13985 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
333, 32sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3431, 33eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
35 expp1 13974 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
363, 35sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
373adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3833, 37mulcomd 11176 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
3936, 38eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
4039oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)))
418adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4222adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
4337, 33, 41, 42div23d 11968 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
4440, 43eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
45 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
4645oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
4746oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
48 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
49 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
5150adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
5231oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
5344, 51, 523eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)))
541, 2, 5, 23, 26, 34, 53climmulc2 15519 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
5523mul01d 11354 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
5654, 55breqtrd 5131 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
578, 22reccld 11924 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
58 seqex 13908 . . . 4 seq0( + , 𝐹) ∈ V
5958a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
60 peano2nn0 12453 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
61 expcl 13985 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
623, 60, 61syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
6362, 41, 42divcld 11931 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6451, 63eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
65 nn0cn 12423 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
6665adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
67 pncan 11407 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6866, 6, 67sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6968oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
7069sumeq1d 15586 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘))
716a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
7271, 62, 41, 42divsubdird 11970 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
7317adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 1)
7460adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
7537, 73, 74geoser 15752 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
7651oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
7772, 75, 763eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
78 simpll 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝜑)
79 elfznn0 13534 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8079adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81 geolim.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
8278, 80, 81syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
83 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
8483, 1eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
8578, 3syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8685, 80expcld 14051 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
8782, 84, 86fsumser 15615 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
8870, 77, 873eqtr3rd 2785 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
891, 2, 56, 57, 59, 64, 88climsubc2 15521 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
9057subid1d 11501 . 2 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
9189, 90breqtrd 5131 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385   / cdiv 11812  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  geolim2  15756  georeclim  15757  geomulcvg  15761  geoisum  15762  cvgrat  15768  eflegeo  16003  geolim3  25699  abelthlem5  25794  logtayllem  26014  zetacvg  26364  knoppcnlem6  34961
  Copyright terms: Public domain W3C validator