Theorem geolim 15769

Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12766	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12472	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		geolim.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		geolim.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
5	3, 4	expcnv 15763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
6		ax-1cn 11056	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		subcl 11351	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 3, 7	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9		1re 11104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	9	ltnri 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 < 1
11		fveq2 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
12		abs1 15196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘1) = 1
13	11, 12	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
14	13	breq1d 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
15	10, 14	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
16	15	necon2ai 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
18	17	necomd 2981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
19		subeq0 11379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
20	6, 3, 19	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
21	20	necon3bid 2970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
22	18, 21	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
23	3, 8, 22	divcld 11889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
24		nn0ex 12379	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
25	24	mptex 7152	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
27		oveq2 7349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
28		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
29		ovex 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝑗) ∈ V
30	27, 28, 29	fvmpt 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
32		expcl 13978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
33	3, 32	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
34	31, 33	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
35		expp1 13967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴↑𝑗) · 𝐴))
36	3, 35	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴↑𝑗) · 𝐴))
37	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	33, 37	mulcomd 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑𝑗)))
39	36, 38	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴↑𝑗)))
40	39	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴↑𝑗)) / (1 − 𝐴)))
41	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
42	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
43	37, 33, 41, 42	div23d 11926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴↑𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
44	40, 43	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
45		oveq1 7348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
46	45	oveq2d 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
47	46	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
48		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
49		ovex 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
52	31	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
53	44, 51, 52	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗)))
54	1, 2, 5, 23, 26, 34, 53	climmulc2 15536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
55	23	mul01d 11304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
56	54, 55	breqtrd 5115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
57	8, 22	reccld 11882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
58		seqex 13902	. . . 4 ⊢ seq0( + , 𝐹) ∈ V
59	58	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
60		peano2nn0 12413	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
61		expcl 13978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
62	3, 60, 61	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
63	62, 41, 42	divcld 11889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
64	51, 63	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
65		nn0cn 12383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
66	65	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
67		pncan 11358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
68	66, 6, 67	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
69	68	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
70	69	sumeq1d 15599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴↑𝑘))
71	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
72	71, 62, 41, 42	divsubdird 11928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
73	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 1)
74	60	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
75	37, 73, 74	geoser 15766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
76	51	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
77	72, 75, 76	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
78		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝜑)
79		elfznn0 13512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	79	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81		geolim.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
82	78, 80, 81	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
83		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
84	83, 1	eleqtrdi 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
85	78, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
86	85, 80	expcld 14045	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
87	82, 84, 86	fsumser 15629	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴↑𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
88	70, 77, 87	3eqtr3rd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
89	1, 2, 56, 57, 59, 64, 88	climsubc2 15538	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
90	57	subid1d 11453	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
91	89, 90	breqtrd 5115	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  Vcvv 3434   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001   · cmul 11003   < clt 11138   − cmin 11336   / cdiv 11766  ℕ₀cn0 12373  ℤ_≥cuz 12724  ...cfz 13399  seqcseq 13900  ↑cexp 13960  abscabs 15133   ⇝ cli 15383  Σcsu 15585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-sum 15586

This theorem is referenced by:  geolim2  15770  georeclim  15771  geomulcvg  15775  geoisum  15776  cvgrat  15782  eflegeo  16022  geolim3  26267  abelthlem5  26365  logtayllem  26588  zetacvg  26945  knoppcnlem6  36511