Theorem geolim 15823

Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12871	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12577	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		geolim.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		geolim.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
5	3, 4	expcnv 15817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
6		ax-1cn 11174	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		subcl 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 3, 7	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9		1re 11221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	9	ltnri 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 < 1
11		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
12		abs1 15251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘1) = 1
13	11, 12	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
14	13	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
15	10, 14	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
16	15	necon2ai 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
18	17	necomd 2995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
19		subeq0 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
20	6, 3, 19	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
21	20	necon3bid 2984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
22	18, 21	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
23	3, 8, 22	divcld 11997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
24		nn0ex 12485	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
25	24	mptex 7227	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
27		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
28		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
29		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝑗) ∈ V
30	27, 28, 29	fvmpt 6998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
32		expcl 14052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
33	3, 32	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
34	31, 33	eqeltrd 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
35		expp1 14041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴↑𝑗) · 𝐴))
36	3, 35	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴↑𝑗) · 𝐴))
37	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	33, 37	mulcomd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑𝑗)))
39	36, 38	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴↑𝑗)))
40	39	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴↑𝑗)) / (1 − 𝐴)))
41	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
42	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
43	37, 33, 41, 42	div23d 12034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴↑𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
44	40, 43	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
45		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
46	45	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
47	46	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
48		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
49		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 6998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
52	31	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
53	44, 51, 52	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗)))
54	1, 2, 5, 23, 26, 34, 53	climmulc2 15588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
55	23	mul01d 11420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
56	54, 55	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
57	8, 22	reccld 11990	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
58		seqex 13975	. . . 4 ⊢ seq0( + , 𝐹) ∈ V
59	58	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
60		peano2nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
61		expcl 14052	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
62	3, 60, 61	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
63	62, 41, 42	divcld 11997	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
64	51, 63	eqeltrd 2832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
65		nn0cn 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
66	65	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
67		pncan 11473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
68	66, 6, 67	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
69	68	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
70	69	sumeq1d 15654	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴↑𝑘))
71	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
72	71, 62, 41, 42	divsubdird 12036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
73	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 1)
74	60	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
75	37, 73, 74	geoser 15820	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
76	51	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
77	72, 75, 76	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
78		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝜑)
79		elfznn0 13601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	79	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81		geolim.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
82	78, 80, 81	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
83		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
84	83, 1	eleqtrdi 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
85	78, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
86	85, 80	expcld 14118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
87	82, 84, 86	fsumser 15683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴↑𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
88	70, 77, 87	3eqtr3rd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
89	1, 2, 56, 57, 59, 64, 88	climsubc2 15590	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
90	57	subid1d 11567	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
91	89, 90	breqtrd 5174	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255   − cmin 11451   / cdiv 11878  ℕ₀cn0 12479  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  seqcseq 13973  ↑cexp 14034  abscabs 15188   ⇝ cli 15435  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  geolim2  15824  georeclim  15825  geomulcvg  15829  geoisum  15830  cvgrat  15836  eflegeo  16071  geolim3  26191  abelthlem5  26287  logtayllem  26507  zetacvg  26860  knoppcnlem6  35838