Theorem signlem0 34886

Description: Adding a zero as the highest coefficient does not change the parity of the sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signlem0	⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝐹,𝑛   𝑇,𝑎   𝑛,𝑏,𝑇,𝑓,𝑗

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11198	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
4		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
5		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
6	2, 3, 4, 5	signsvfn 34881	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
7	1, 6	mpan2 703	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
8	1	ltnri 11307	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 < 0
9		neg1cn 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
10		ax-1cn 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		prssi 4782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 1} ⊆ ℂ
13		eldifsn 4749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
14	13	birani 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
15		lennncl 14559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
16		fzo0end 13775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17	14, 15, 16	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18	2, 3, 4, 5	signstfvcl 34872	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
19	17, 18	mpdan 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
20	12, 19	sselid 3937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ℂ)
21	20	mul01d 11397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) = 0)
22	21	breq1d 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0 ↔ 0 < 0))
23	8, 22	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ¬ (((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0)
24	23	iffalsed 4494	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0) = 0)
25	24	oveq2d 7416	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐹) + 0))
26	2, 3, 4, 5	signsvvf 34878	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
28		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
29	28	eldifad 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
30	27, 29	ffvelcdmd 7070	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12555	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℂ)
32	31	addridd 11398	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉‘𝐹) + 0) = (𝑉‘𝐹))
33	7, 25, 32	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ifcif 4483  {csn 4585  {cpr 4587  {ctp 4589  ⟨cop 4591   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   − cmin 11429  -cneg 11430  ℕcn 12221  ℕ₀cn0 12492  ...cfz 13523  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538   ++ cconcat 14595  ⟨“cs1 14621  sgncsgn 15111  Σcsu 15725  ndxcnx 17241  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298   Σ_g cgsu 17481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-word 14539  df-lsw 14588  df-concat 14596  df-s1 14622  df-substr 14667  df-pfx 14697  df-sgn 15112  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mulg 19122  df-cntz 19375

This theorem is referenced by: (None)