Theorem signlem0 35263

Description: Adding a zero as the highest coefficient does not change the parity of the sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signlem0	⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝐹,𝑛   𝑇,𝑎   𝑛,𝑏,𝑇,𝑓,𝑗

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11314	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
4		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
5		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
6	2, 3, 4, 5	signsvfn 35258	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
7	1, 6	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
8	1	ltnri 11423	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 < 0
9		neg1cn 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
10		ax-1cn 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		prssi 4776	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → { -1, 1} ⊆ ℂ)
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ { -1, 1} ⊆ ℂ
13		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
14	13	birani 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
15		lennncl 14683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
16		fzo0end 13897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17	14, 15, 16	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18	2, 3, 4, 5	signstfvcl 35249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ { -1, 1})
19	17, 18	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ { -1, 1})
20	12, 19	sselid 3906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ℂ)
21	20	mul01d 11513	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) = 0)
22	21	breq1d 5112	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0 ↔ 0 < 0))
23	8, 22	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ¬ (((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0)
24	23	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0) = 0)
25	24	oveq2d 7437	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐹) + 0))
26	2, 3, 4, 5	signsvvf 35255	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
28		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
29	28	eldifad 4051	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
30	27, 29	ffvelcdmd 7086	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12673	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℂ)
32	31	addridd 11514	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉‘𝐹) + 0) = (𝑉‘𝐹))
33	7, 25, 32	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   < clt 11347   − cmin 11545   -cneg 11546  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ...cfz 13643  ..^cfzo 13792  ♯chash 14478  Word cword 14662   ++ cconcat 14719  ⟨“cs1 14746  sgncsgn 15245  Σcsu 15859  ndxcnx 17377  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434   Σ_g cgsu 17617

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-word 14663  df-lsw 14712  df-concat 14720  df-s1 14747  df-substr 14794  df-pfx 14826  df-sgn 15246  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-sum 15860  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mulg 19284  df-cntz 19537

This theorem is used by: (None)