Theorem signlem0 34564

Description: Adding a zero as the highest coefficient does not change the parity of the sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signlem0	⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝐹,𝑛   𝑇,𝑎   𝑛,𝑏,𝑇,𝑓,𝑗

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11292	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
4		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
5		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
6	2, 3, 4, 5	signsvfn 34559	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
7	1, 6	mpan2 690	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
8	1	ltnri 11399	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 < 0
9		neg1cn 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
10		ax-1cn 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		prssi 4846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
12	9, 10, 11	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 1} ⊆ ℂ
13		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
14		eldifsn 4811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
15	13, 14	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
16		lennncl 14582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
17		fzo0end 13808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19	2, 3, 4, 5	signstfvcl 34550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
20	18, 19	mpdan 686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
21	12, 20	sselid 4006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ℂ)
22	21	mul01d 11489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) = 0)
23	22	breq1d 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0 ↔ 0 < 0))
24	8, 23	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ¬ (((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0)
25	24	iffalsed 4559	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0) = 0)
26	25	oveq2d 7464	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐹) + 0))
27	2, 3, 4, 5	signsvvf 34556	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
29	13	eldifad 3988	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
30	28, 29	ffvelcdmd 7119	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12615	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℂ)
32	31	addridd 11490	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉‘𝐹) + 0) = (𝑉‘𝐹))
33	7, 26, 32	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520  -cneg 11521  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618  ⟨“cs1 14643  sgncsgn 15135  Σcsu 15734  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311   Σ_g cgsu 17500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-sgn 15136  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mulg 19108  df-cntz 19357

This theorem is referenced by: (None)