Theorem signlem0 34350

Description: Adding a zero as the highest coefficient does not change the parity of the sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signlem0	⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝐹,𝑛   𝑇,𝑎   𝑛,𝑏,𝑇,𝑓,𝑗

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11248	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
4		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
5		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
6	2, 3, 4, 5	signsvfn 34345	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
7	1, 6	mpan2 689	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
8	1	ltnri 11355	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 < 0
9		neg1cn 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
10		ax-1cn 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		prssi 4826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 1} ⊆ ℂ
13		simpl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
14		eldifsn 4792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
15	13, 14	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
16		lennncl 14520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
17		fzo0end 13759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19	2, 3, 4, 5	signstfvcl 34336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
20	18, 19	mpdan 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
21	12, 20	sselid 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ℂ)
22	21	mul01d 11445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) = 0)
23	22	breq1d 5159	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0 ↔ 0 < 0))
24	8, 23	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ¬ (((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0)
25	24	iffalsed 4541	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0) = 0)
26	25	oveq2d 7435	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉‘𝐹) + if((((𝑇‘𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐹) + 0))
27	2, 3, 4, 5	signsvvf 34342	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
29	13	eldifad 3956	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
30	28, 29	ffvelcdmd 7094	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12567	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘𝐹) ∈ ℂ)
32	31	addridd 11446	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉‘𝐹) + 0) = (𝑉‘𝐹))
33	7, 26, 32	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632  {ctp 4634  ⟨cop 4636   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280   − cmin 11476  -cneg 11477  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13519  ..^cfzo 13662  ♯chash 14325  Word cword 14500   ++ cconcat 14556  ⟨“cs1 14581  sgncsgn 15069  Σcsu 15668  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236   Σ_g cgsu 17425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-sgn 15070  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mulg 19032  df-cntz 19280

This theorem is referenced by: (None)