Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signlem0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signlem0 33897
Description: Adding a zero as the highest coefficient does not change the parity of the sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signlem0 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œ0β€βŸ©)) = (π‘‰β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑓,π‘Ž,𝑖,𝑗,𝑏,𝐹,𝑛   𝑇,π‘Ž   𝑛,𝑏,𝑇,𝑓,𝑗
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signlem0
StepHypRef Expression
1 0re 11221 . . 3 0 ∈ ℝ
2 signsv.p . . . 4 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
3 signsv.w . . . 4 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
4 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
5 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
62, 3, 4, 5signsvfn 33892 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œ0β€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 0) < 0, 1, 0)))
71, 6mpan2 688 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œ0β€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 0) < 0, 1, 0)))
81ltnri 11328 . . . . 5 Β¬ 0 < 0
9 neg1cn 12331 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
10 ax-1cn 11172 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
11 prssi 4824 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ {-1, 1} βŠ† β„‚)
129, 10, 11mp2an 689 . . . . . . . 8 {-1, 1} βŠ† β„‚
13 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
14 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…))
16 lennncl 14489 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
17 fzo0end 13729 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
192, 3, 4, 5signstfvcl 33883 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 1})
2018, 19mpdan 684 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 1})
2112, 20sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
2221mul01d 11418 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 0) = 0)
2322breq1d 5158 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 0) < 0 ↔ 0 < 0))
248, 23mtbiri 327 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ Β¬ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 0) < 0)
2524iffalsed 4539 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 0) < 0, 1, 0) = 0)
2625oveq2d 7428 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 0) < 0, 1, 0)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + 0))
272, 3, 4, 5signsvvf 33889 . . . . . 6 𝑉:Word β„βŸΆβ„•0
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ 𝑉:Word β„βŸΆβ„•0)
2913eldifad 3960 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
3028, 29ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ β„•0)
3130nn0cnd 12539 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ β„‚)
3231addridd 11419 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ ((π‘‰β€˜πΉ) + 0) = (π‘‰β€˜πΉ))
337, 26, 323eqtrd 2775 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œ0β€βŸ©)) = (π‘‰β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525  βŸ¨β€œcs1 14550  sgncsgn 15038  Ξ£csu 15637  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +gcplusg 17202   Ξ£g cgsu 17391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-sgn 15039  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mulg 18988  df-cntz 19223
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator