Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signlem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signlem0 34350
Description: Adding a zero as the highest coefficient does not change the parity of the sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signlem0 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉𝐹))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝐹,𝑛   𝑇,𝑎   𝑛,𝑏,𝑇,𝑓,𝑗
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signlem0
StepHypRef Expression
1 0re 11248 . . 3 0 ∈ ℝ
2 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
4 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
5 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
62, 3, 4, 5signsvfn 34345 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉𝐹) + if((((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
71, 6mpan2 689 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉𝐹) + if((((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
81ltnri 11355 . . . . 5 ¬ 0 < 0
9 neg1cn 12359 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
10 ax-1cn 11198 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
11 prssi 4826 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
129, 10, 11mp2an 690 . . . . . . . 8 {-1, 1} ⊆ ℂ
13 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
14 eldifsn 4792 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
16 lennncl 14520 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
17 fzo0end 13759 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
192, 3, 4, 5signstfvcl 34336 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
2018, 19mpdan 685 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
2112, 20sselid 3974 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ℂ)
2221mul01d 11445 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) = 0)
2322breq1d 5159 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0 ↔ 0 < 0))
248, 23mtbiri 326 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ¬ (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0)
2524iffalsed 4541 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → if((((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0) = 0)
2625oveq2d 7435 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉𝐹) + if((((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐹) + 0))
272, 3, 4, 5signsvvf 34342 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
2913eldifad 3956 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3028, 29ffvelcdmd 7094 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 12567 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℂ)
3231addridd 11446 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉𝐹) + 0) = (𝑉𝐹))
337, 26, 323eqtrd 2769 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3941  wss 3944  c0 4322  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632  {ctp 4634  cop 4636   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cmin 11476  -cneg 11477  cn 12245  0cn0 12505  ...cfz 13519  ..^cfzo 13662  chash 14325  Word cword 14500   ++ cconcat 14556  ⟨“cs1 14581  sgncsgn 15069  Σcsu 15668  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  +gcplusg 17236   Σg cgsu 17425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-sgn 15070  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mulg 19032  df-cntz 19280
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator