Theorem gausslemma2dlem0i 27528

Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 27538. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0i	⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12621	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		gausslemma2dlem0.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4	3	gausslemma2dlem0a 27520	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12612	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		lgscl1 27484	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
8	1, 6, 7	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (2 /L 𝑃) ∈ V
10	9	eltp 4655	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
11		gausslemma2dlem0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
12		gausslemma2dlem0.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
13		gausslemma2dlem0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
14	2, 11, 12, 13	gausslemma2dlem0h 27527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		m1expcl2 14117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑𝑁) ∈ V
19	18	elpr 4614	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
20		eqcom 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
21	20	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
22	21	2a1d 27	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
23		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		prmnn 16727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	nnred 12243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
26		prmgt1 16751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
27	25, 26	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
28		1mod 13932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
29	2, 23, 27, 28	4syl 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
30	29	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
31		oddprmge3 16754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
32		m1modge3gt1 13950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
33		breq2 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
34		1re 11203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
35	34	ltnri 11314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
36	35	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → -1 = 1)
37	33, 36	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
38	32, 37	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
39	2, 31, 38	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
40	30, 39	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
41		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
42	41	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
43		eqeq2 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
44	42, 43	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
45	40, 44	imbitrrid 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
46	22, 45	jaoi 870	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
47	19, 46	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
48	17, 47	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
49		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
50	49	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
51		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
52	50, 51	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
53	48, 52	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
54	2	gausslemma2dlem0a 27520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 13053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
56		0mod 13931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
57	55, 56	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
58	57	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
59		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
60	59	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
61	60	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
62		negmod0 13907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
63		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
64	62, 63	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
65	34, 55, 64	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
66	29	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
67		ax-1ne0 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
68		eqneqall 2969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
69	67, 68	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
70	66, 69	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
71	65, 70	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
72	71	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
73	61, 72	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
74	73	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
75	41	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
76	75	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
77		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
78	77, 66	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
79	78, 69	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
80	79	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
81	76, 80	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
82	81	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
83	74, 82	jaoi 870	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
84	19, 83	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
85	17, 84	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
86	58, 85	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
87		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
88	87	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
89		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
90	88, 89	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
91	86, 90	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
92	29	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
93		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
94		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = -1 ↔ -1 = 1)
95	39, 93, 94	3imtr4g 299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
96	59	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
97		eqeq2 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
98	96, 97	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
99	95, 98	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
100		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
101	100	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
102	101	2a1d 27	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
103	99, 102	jaoi 870	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
104	19, 103	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
105	17, 104	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
106	92, 105	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
107		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
108	107	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
109		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
110	108, 109	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
111	106, 110	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
112	53, 91, 111	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
113	10, 112	sylbi 220	. 2 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
114	8, 113	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  {csn 4589  {cpr 4591  {ctp 4593   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   < clt 11238   − cmin 11436  -cneg 11437   / cdiv 11866  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13011  ⌊cfl 13819   mod cmo 13898  ↑cexp 14093  ℙcprime 16724   /_L clgs 27458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-phi 16820  df-pc 16892  df-lgs 27459

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  27538