Theorem gausslemma2dlem0i 27329

Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 27339. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0i	⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12521	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		gausslemma2dlem0.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4	3	gausslemma2dlem0a 27321	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12512	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		lgscl1 27285	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
8	1, 6, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9		ovex 7389	. . . 4 ⊢ (2 /L 𝑃) ∈ V
10	9	eltp 4644	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
11		gausslemma2dlem0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
12		gausslemma2dlem0.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
13		gausslemma2dlem0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
14	2, 11, 12, 13	gausslemma2dlem0h 27328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		m1expcl2 14006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18		ovex 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑𝑁) ∈ V
19	18	elpr 4603	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
20		eqcom 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
21	20	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
22	21	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
23		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		prmnn 16599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	nnred 12158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
26		prmgt1 16622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
27	25, 26	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
28		1mod 13821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
29	2, 23, 27, 28	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
30	29	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
31		oddprmge3 16625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
32		m1modge3gt1 13839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
33		breq2 5100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
34		1re 11130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
35	34	ltnri 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
36	35	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → -1 = 1)
37	33, 36	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
38	32, 37	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
39	2, 31, 38	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
40	30, 39	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
41		oveq1 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
42	41	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
43		eqeq2 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
44	42, 43	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
45	40, 44	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
46	22, 45	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
47	19, 46	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
48	17, 47	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
49		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
50	49	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
51		eqeq1 2738	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
52	50, 51	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
53	48, 52	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
54	2	gausslemma2dlem0a 27321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 12945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
56		0mod 13820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
58	57	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
59		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
60	59	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
62		negmod0 13796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
63		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
64	62, 63	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
65	34, 55, 64	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
66	29	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
67		ax-1ne0 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
68		eqneqall 2941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
69	67, 68	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
70	66, 69	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
71	65, 70	sylbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
73	61, 72	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
74	73	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
75	41	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
77		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
78	77, 66	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
79	78, 69	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
81	76, 80	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
82	81	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
83	74, 82	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
84	19, 83	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
85	17, 84	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
86	58, 85	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
87		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
88	87	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
89		eqeq1 2738	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
90	88, 89	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
91	86, 90	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
92	29	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
93		eqcom 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
94		eqcom 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = -1 ↔ -1 = 1)
95	39, 93, 94	3imtr4g 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
96	59	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
97		eqeq2 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
98	96, 97	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
99	95, 98	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
100		eqcom 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
101	100	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
102	101	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
103	99, 102	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
104	19, 103	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
105	17, 104	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
106	92, 105	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
107		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
108	107	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
109		eqeq1 2738	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
110	108, 109	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
111	106, 110	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
112	53, 91, 111	3jaoi 1430	. . 3 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
113	10, 112	sylbi 217	. 2 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
114	8, 113	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  {csn 4578  {cpr 4580  {ctp 4582   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  2c2 12198  3c3 12199  4c4 12200  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ℝ⁺crp 12903  ⌊cfl 13708   mod cmo 13787  ↑cexp 13982  ℙcprime 16596   /_L clgs 27259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-phi 16691  df-pc 16763  df-lgs 27260

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  27339