Theorem gausslemma2dlem0i 26060

Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 26070. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0i	⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12066	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		gausslemma2dlem0.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4	3	gausslemma2dlem0a 26052	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12138	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		lgscl1 26016	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
8	1, 6, 7	sylancr 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9		ovex 7189	. . . 4 ⊢ (2 /L 𝑃) ∈ V
10	9	eltp 4586	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
11		gausslemma2dlem0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
12		gausslemma2dlem0.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
13		gausslemma2dlem0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
14	2, 11, 12, 13	gausslemma2dlem0h 26059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		m1expcl2 13514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18		ovex 7189	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑𝑁) ∈ V
19	18	elpr 4548	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
20		eqcom 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
21	20	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
22	21	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
23		eldifi 4034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		prmnn 16083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	nnred 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
26		prmgt1 16106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
27	25, 26	jca 515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
29		1mod 13333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
30	2, 28, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
31	30	eqeq2d 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
32		oddprmge3 16109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
33		m1modge3gt1 13348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
34		breq2 5040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
35		1re 10692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
36	35	ltnri 10800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
37	36	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → -1 = 1)
38	34, 37	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
39	33, 38	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
40	2, 32, 39	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
41	31, 40	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
42		oveq1 7163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
43	42	eqeq2d 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
44		eqeq2 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
45	43, 44	imbi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
46	41, 45	syl5ibr 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
47	22, 46	jaoi 854	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
48	19, 47	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
49	17, 48	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
50		oveq1 7163	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
51	50	eqeq1d 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
52		eqeq1 2762	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
53	51, 52	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
54	49, 53	syl5ibr 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
55	2	gausslemma2dlem0a 26052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
56	55	nnrpd 12483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
57		0mod 13332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
59	58	eqeq1d 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
60		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
61	60	eqeq2d 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
62	61	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
63		negmod0 13308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
64		eqcom 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
65	63, 64	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
66	35, 56, 65	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
67	30	eqeq1d 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
68		ax-1ne0 10657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
69		eqneqall 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
70	68, 69	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
71	67, 70	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
72	66, 71	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
73	72	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
74	62, 73	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
75	74	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
76	42	eqeq2d 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
77	76	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
78		eqcom 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
79	78, 67	syl5bb 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
80	79, 70	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
81	80	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
82	77, 81	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
83	82	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
84	75, 83	jaoi 854	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
85	19, 84	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
86	17, 85	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
87	59, 86	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
88		oveq1 7163	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
89	88	eqeq1d 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
90		eqeq1 2762	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
91	89, 90	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
92	87, 91	syl5ibr 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
93	30	eqeq1d 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
94		eqcom 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
95		eqcom 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = -1 ↔ -1 = 1)
96	40, 94, 95	3imtr4g 299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
97	60	eqeq2d 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
98		eqeq2 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
99	97, 98	imbi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
100	96, 99	syl5ibr 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
101		eqcom 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
102	101	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
103	102	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
104	100, 103	jaoi 854	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
105	19, 104	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
106	17, 105	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
107	93, 106	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
108		oveq1 7163	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
109	108	eqeq1d 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
110		eqeq1 2762	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
111	109, 110	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
112	107, 111	syl5ibr 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
113	54, 92, 112	3jaoi 1424	. . 3 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
114	10, 113	sylbi 220	. 2 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
115	8, 114	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3857  {csn 4525  {cpr 4527  {ctp 4529   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   < clt 10726   − cmin 10921  -cneg 10922   / cdiv 11348  2c2 11742  3c3 11743  4c4 11744  ℤcz 12033  ℤ_≥cuz 12295  ℝ⁺crp 12443  ⌊cfl 13222   mod cmo 13299  ↑cexp 13492  ℙcprime 16080   /_L clgs 25990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16081  df-phi 16171  df-pc 16242  df-lgs 25991

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  26070