Theorem gausslemma2dlem0i 27706

Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 27716. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0i	⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12741	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		gausslemma2dlem0.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4	3	gausslemma2dlem0a 27698	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12732	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		lgscl1 27662	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ { -1, 0, 1})
8	1, 6, 7	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ { -1, 0, 1})
9		ovex 7463	. . . 4 ⊢ (2 /L 𝑃) ∈ V
10	9	eltp 4650	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ { -1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
11		gausslemma2dlem0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
12		gausslemma2dlem0.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
13		gausslemma2dlem0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
14	2, 11, 12, 13	gausslemma2dlem0h 27705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		m1expcl2 14241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})
18		ovex 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1↑𝑁) ∈ V
19	18	elpr 4609	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1} ↔ (( -1↑𝑁) = -1 ∨ ( -1↑𝑁) = 1))
20		eqcom 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = ( -1↑𝑁))
21	20	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → -1 = ( -1↑𝑁))
22	21	2a1d 27	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = ( -1↑𝑁))))
23		eldifi 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		prmnn 16864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	nnred 12363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
26		prmgt1 16888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
27	25, 26	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
28		1mod 14056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
29	2, 23, 27, 28	4syl 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
30	29	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (( -1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ ( -1 mod 𝑃) = 1))
31		oddprmge3 16891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
32		m1modge3gt1 14074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < ( -1 mod 𝑃))
33		breq2 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 mod 𝑃) = 1 → (1 < ( -1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
34		1re 11321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
35	34	ltnri 11432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
36	35	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → -1 = 1)
37	33, 36	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1 mod 𝑃) = 1 → (1 < ( -1 mod 𝑃) → -1 = 1))
38	32, 37	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → (( -1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
39	2, 31, 38	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (( -1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
40	30, 39	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( -1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
41		oveq1 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → (( -1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
42	41	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → (( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ( -1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
43		eqeq2 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → ( -1 = ( -1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
44	42, 43	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → ((( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = ( -1↑𝑁)) ↔ (( -1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
45	40, 44	imbitrrid 249	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = ( -1↑𝑁))))
46	22, 45	jaoi 871	. . . . . . 7 ⊢ ((( -1↑𝑁) = -1 ∨ ( -1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = ( -1↑𝑁))))
47	19, 46	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1} → (𝜑 → (( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = ( -1↑𝑁))))
48	17, 47	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = ( -1↑𝑁)))
49		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
50	49	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃)))
51		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁) ↔ -1 = ( -1↑𝑁)))
52	50, 51	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)) ↔ (( -1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = ( -1↑𝑁))))
53	48, 52	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁))))
54	2	gausslemma2dlem0a 27698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 13175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
56		0mod 14055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
57	55, 56	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
58	57	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃)))
59		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (( -1↑𝑁) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
60	59	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ( -1 mod 𝑃)))
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( -1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ( -1 mod 𝑃)))
62		negmod0 14031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ ( -1 mod 𝑃) = 0))
63		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = ( -1 mod 𝑃))
64	62, 63	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = ( -1 mod 𝑃)))
65	34, 55, 64	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = ( -1 mod 𝑃)))
66	29	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
67		ax-1ne0 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
68		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = ( -1↑𝑁)))
69	67, 68	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 0 → 0 = ( -1↑𝑁))
70	66, 69	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = ( -1↑𝑁)))
71	65, 70	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = ( -1 mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁)))
72	71	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( -1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ( -1 mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁)))
73	61, 72	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( -1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁)))
74	73	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁))))
75	41	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
76	75	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( -1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
77		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
78	77, 66	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
79	78, 69	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁)))
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( -1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁)))
81	76, 80	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( -1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁)))
82	81	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁))))
83	74, 82	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((( -1↑𝑁) = -1 ∨ ( -1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁))))
84	19, 83	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1} → (𝜑 → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁))))
85	17, 84	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁)))
86	58, 85	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁)))
87		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
88	87	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃)))
89		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁) ↔ 0 = ( -1↑𝑁)))
90	88, 89	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = ( -1↑𝑁))))
91	86, 90	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁))))
92	29	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃)))
93		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = ( -1 mod 𝑃) ↔ ( -1 mod 𝑃) = 1)
94		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = -1 ↔ -1 = 1)
95	39, 93, 94	3imtr4g 299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 = ( -1 mod 𝑃) → 1 = -1))
96	59	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (1 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ( -1 mod 𝑃)))
97		eqeq2 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (1 = ( -1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
98	96, 97	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → ((1 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = ( -1↑𝑁)) ↔ (1 = ( -1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
99	95, 98	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = ( -1↑𝑁))))
100		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = ( -1↑𝑁))
101	100	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → 1 = ( -1↑𝑁))
102	101	2a1d 27	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = ( -1↑𝑁))))
103	99, 102	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((( -1↑𝑁) = -1 ∨ ( -1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = ( -1↑𝑁))))
104	19, 103	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1} → (𝜑 → (1 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = ( -1↑𝑁))))
105	17, 104	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = ( -1↑𝑁)))
106	92, 105	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = ( -1↑𝑁)))
107		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
108	107	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃)))
109		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁) ↔ 1 = ( -1↑𝑁)))
110	108, 109	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = ( -1↑𝑁))))
111	106, 110	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁))))
112	53, 91, 111	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁))))
113	10, 112	sylbi 220	. 2 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ { -1, 0, 1} → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁))))
114	8, 113	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   < clt 11356   − cmin 11554   -cneg 11555   / cdiv 11986  2c2 12410  3c3 12411  4c4 12412  ℤcz 12706  ℤ_≥cuz 12978  ℝ⁺crp 13133  ⌊cfl 13943   mod cmo 14022  ↑cexp 14217  ℙcprime 16861   /_L clgs 27636

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-dvds 16438  df-gcd 16680  df-prm 16862  df-phi 16958  df-pc 17030  df-lgs 27637

This theorem is used by:  gausslemma2d  27716