MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0i 27101
Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 27111. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0i (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i
StepHypRef Expression
1 2z 12600 . . 3 2 ∈ ℤ
2 gausslemma2dlem0.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3 id 22 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
43gausslemma2dlem0a 27093 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
54nnzd 12591 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7 lgscl1 27057 . . 3 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
81, 6, 7sylancr 585 . 2 (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9 ovex 7446 . . . 4 (2 /L 𝑃) ∈ V
109eltp 4693 . . 3 ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
11 gausslemma2dlem0.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
12 gausslemma2dlem0.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
13 gausslemma2dlem0.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝐻𝑀)
142, 11, 12, 13gausslemma2dlem0h 27100 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 12590 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
16 m1expcl2 14057 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18 ovex 7446 . . . . . . . 8 (-1↑𝑁) ∈ V
1918elpr 4652 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
20 eqcom 2737 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
2120biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
22212a1d 26 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
23 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmnn 16617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2524nnred 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
26 prmgt1 16640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2725, 26jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
29 1mod 13874 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
302, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
3130eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
32 oddprmge3 16643 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
33 m1modge3gt1 13889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
34 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
35 1re 11220 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3635ltnri 11329 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 1 < 1
3736pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 1 → -1 = 1)
3834, 37syl6bi 252 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
3933, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
402, 32, 393syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
4131, 40sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
42 oveq1 7420 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
4342eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
44 eqeq2 2742 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
4543, 44imbi12d 343 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
4641, 45imbitrrid 245 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4722, 46jaoi 853 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4819, 47sylbi 216 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4917, 48mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
50 oveq1 7420 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5150eqeq1d 2732 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
52 eqeq1 2734 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
5351, 52imbi12d 343 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
5449, 53imbitrrid 245 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
552gausslemma2dlem0a 27093 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5655nnrpd 13020 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
57 0mod 13873 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
5958eqeq1d 2732 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
60 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
6160eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6261adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
63 negmod0 13849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
64 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
6563, 64bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6635, 56, 65sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6730eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
68 ax-1ne0 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
69 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
7068, 69mpi 20 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
7167, 70syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
7266, 71sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7372adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7462, 73sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7574ex 411 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
7642eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
7776adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
78 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
7978, 67bitrid 282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
8079, 70syl6bi 252 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8180adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8277, 81sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8382ex 411 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8475, 83jaoi 853 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8519, 84sylbi 216 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8617, 85mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8759, 86sylbid 239 . . . . 5 (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
88 oveq1 7420 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
8988eqeq1d 2732 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
90 eqeq1 2734 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
9189, 90imbi12d 343 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
9287, 91imbitrrid 245 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
9330eqeq1d 2732 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
94 eqcom 2737 . . . . . . . . . . 11 (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
95 eqcom 2737 . . . . . . . . . . 11 (1 = -1 ↔ -1 = 1)
9640, 94, 953imtr4g 295 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
9760eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
98 eqeq2 2742 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
9997, 98imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
10096, 99imbitrrid 245 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
101 eqcom 2737 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
102101biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
1031022a1d 26 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
104100, 103jaoi 853 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
10519, 104sylbi 216 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
10617, 105mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
10793, 106sylbid 239 . . . . 5 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
108 oveq1 7420 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
109108eqeq1d 2732 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
110 eqeq1 2734 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
111109, 110imbi12d 343 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
112107, 111imbitrrid 245 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
11354, 92, 1123jaoi 1425 . . 3 (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
11410, 113sylbi 216 . 2 ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
1158, 114mpcom 38 1 (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3o 1084   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7413  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   < clt 11254  cmin 11450  -cneg 11451   / cdiv 11877  2c2 12273  3c3 12274  4c4 12275  cz 12564  cuz 12828  +crp 12980  cfl 13761   mod cmo 13840  cexp 14033  cprime 16614   /L clgs 27031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615  df-phi 16705  df-pc 16776  df-lgs 27032
This theorem is referenced by:  gausslemma2d  27111
  Copyright terms: Public domain W3C validator