MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0i 25867
Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 25877. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0i (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i
StepHypRef Expression
1 2z 12002 . . 3 2 ∈ ℤ
2 gausslemma2dlem0.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3 id 22 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
43gausslemma2dlem0a 25859 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
54nnzd 12074 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7 lgscl1 25823 . . 3 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
81, 6, 7sylancr 587 . 2 (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9 ovex 7178 . . . 4 (2 /L 𝑃) ∈ V
109eltp 4618 . . 3 ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
11 gausslemma2dlem0.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
12 gausslemma2dlem0.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
13 gausslemma2dlem0.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝐻𝑀)
142, 11, 12, 13gausslemma2dlem0h 25866 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 12073 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
16 m1expcl2 13439 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18 ovex 7178 . . . . . . . 8 (-1↑𝑁) ∈ V
1918elpr 4580 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
20 eqcom 2825 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
2120biimpi 217 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
22212a1d 26 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
23 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmnn 16006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2524nnred 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
26 prmgt1 16029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2725, 26jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
29 1mod 13259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
302, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
3130eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
32 oddprmge3 16032 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
33 m1modge3gt1 13274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
34 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
35 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3635ltnri 10737 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 1 < 1
3736pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 1 → -1 = 1)
3834, 37syl6bi 254 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
3933, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
402, 32, 393syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
4131, 40sylbid 241 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
42 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
4342eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
44 eqeq2 2830 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
4543, 44imbi12d 346 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
4641, 45syl5ibr 247 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4722, 46jaoi 851 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4819, 47sylbi 218 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4917, 48mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
50 oveq1 7152 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5150eqeq1d 2820 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
52 eqeq1 2822 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
5351, 52imbi12d 346 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
5449, 53syl5ibr 247 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
552gausslemma2dlem0a 25859 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5655nnrpd 12417 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
57 0mod 13258 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
5958eqeq1d 2820 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
60 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
6160eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
63 negmod0 13234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
64 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
6563, 64syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6635, 56, 65sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6730eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
68 ax-1ne0 10594 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
69 eqneqall 3024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
7068, 69mpi 20 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
7167, 70syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
7266, 71sylbird 261 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7462, 73sylbid 241 . . . . . . . . . 10 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7574ex 413 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
7642eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
78 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
7978, 67syl5bb 284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
8079, 70syl6bi 254 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8180adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8277, 81sylbid 241 . . . . . . . . . 10 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8382ex 413 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8475, 83jaoi 851 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8519, 84sylbi 218 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8617, 85mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8759, 86sylbid 241 . . . . 5 (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
88 oveq1 7152 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
8988eqeq1d 2820 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
90 eqeq1 2822 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
9189, 90imbi12d 346 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
9287, 91syl5ibr 247 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
9330eqeq1d 2820 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
94 eqcom 2825 . . . . . . . . . . 11 (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
95 eqcom 2825 . . . . . . . . . . 11 (1 = -1 ↔ -1 = 1)
9640, 94, 953imtr4g 297 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
9760eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
98 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
9997, 98imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
10096, 99syl5ibr 247 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
101 eqcom 2825 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
102101biimpi 217 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
1031022a1d 26 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
104100, 103jaoi 851 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
10519, 104sylbi 218 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
10617, 105mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
10793, 106sylbid 241 . . . . 5 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
108 oveq1 7152 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
109108eqeq1d 2820 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
110 eqeq1 2822 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
111109, 110imbi12d 346 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
112107, 111syl5ibr 247 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
11354, 92, 1123jaoi 1419 . . 3 (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
11410, 113sylbi 218 . 2 ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
1158, 114mpcom 38 1 (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  {csn 4557  {cpr 4559  {ctp 4561   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  cfl 13148   mod cmo 13225  cexp 13417  cprime 16003   /L clgs 25797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-phi 16091  df-pc 16162  df-lgs 25798
This theorem is referenced by:  gausslemma2d  25877
  Copyright terms: Public domain W3C validator