Theorem gausslemma2dlem0i 27426

Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 27436. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0i	⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12675	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		gausslemma2dlem0.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4	3	gausslemma2dlem0a 27418	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12666	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		lgscl1 27382	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
8	1, 6, 7	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9		ovex 7481	. . . 4 ⊢ (2 /L 𝑃) ∈ V
10	9	eltp 4712	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
11		gausslemma2dlem0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
12		gausslemma2dlem0.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
13		gausslemma2dlem0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
14	2, 11, 12, 13	gausslemma2dlem0h 27425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		m1expcl2 14136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18		ovex 7481	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑𝑁) ∈ V
19	18	elpr 4672	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
20		eqcom 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
21	20	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
22	21	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
23		eldifi 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		prmnn 16721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
26		prmgt1 16744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
27	25, 26	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
28		1mod 13954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
29	2, 23, 27, 28	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
30	29	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
31		oddprmge3 16747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
32		m1modge3gt1 13969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
33		breq2 5170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
34		1re 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
35	34	ltnri 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
36	35	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 1 → -1 = 1)
37	33, 36	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
38	32, 37	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
39	2, 31, 38	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
40	30, 39	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
41		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
42	41	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
43		eqeq2 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
44	42, 43	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
45	40, 44	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
46	22, 45	jaoi 856	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
47	19, 46	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
48	17, 47	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
49		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
50	49	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
51		eqeq1 2744	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
52	50, 51	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
53	48, 52	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
54	2	gausslemma2dlem0a 27418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 13097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
56		0mod 13953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
58	57	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
59		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
60	59	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
62		negmod0 13929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
63		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
64	62, 63	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
65	34, 55, 64	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
66	29	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
67		ax-1ne0 11253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
68		eqneqall 2957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
69	67, 68	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
70	66, 69	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
71	65, 70	sylbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
73	61, 72	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
74	73	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
75	41	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
77		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
78	77, 66	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
79	78, 69	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
81	76, 80	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
82	81	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
83	74, 82	jaoi 856	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
84	19, 83	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
85	17, 84	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
86	58, 85	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
87		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
88	87	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
89		eqeq1 2744	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
90	88, 89	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
91	86, 90	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
92	29	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
93		eqcom 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
94		eqcom 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = -1 ↔ -1 = 1)
95	39, 93, 94	3imtr4g 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
96	59	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
97		eqeq2 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
98	96, 97	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
99	95, 98	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
100		eqcom 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
101	100	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
102	101	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
103	99, 102	jaoi 856	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
104	19, 103	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
105	17, 104	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
106	92, 105	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
107		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
108	107	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
109		eqeq1 2744	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
110	108, 109	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
111	106, 110	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
112	53, 91, 111	3jaoi 1428	. . 3 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
113	10, 112	sylbi 217	. 2 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
114	8, 113	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ⌊cfl 13841   mod cmo 13920  ↑cexp 14112  ℙcprime 16718   /_L clgs 27356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-phi 16813  df-pc 16884  df-lgs 27357

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  27436