MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0i 27423
Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 27433. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0i (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i
StepHypRef Expression
1 2z 12647 . . 3 2 ∈ ℤ
2 gausslemma2dlem0.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3 id 22 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
43gausslemma2dlem0a 27415 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
54nnzd 12638 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7 lgscl1 27379 . . 3 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
81, 6, 7sylancr 587 . 2 (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9 ovex 7464 . . . 4 (2 /L 𝑃) ∈ V
109eltp 4694 . . 3 ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
11 gausslemma2dlem0.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
12 gausslemma2dlem0.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
13 gausslemma2dlem0.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝐻𝑀)
142, 11, 12, 13gausslemma2dlem0h 27422 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 12637 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
16 m1expcl2 14123 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18 ovex 7464 . . . . . . . 8 (-1↑𝑁) ∈ V
1918elpr 4655 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
20 eqcom 2742 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
2120biimpi 216 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
22212a1d 26 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
23 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2524nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
26 prmgt1 16731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2725, 26jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
28 1mod 13940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
292, 23, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
3029eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
31 oddprmge3 16734 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
32 m1modge3gt1 13956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
33 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
34 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3534ltnri 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 1 < 1
3635pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 1 → -1 = 1)
3733, 36biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
3832, 37syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
392, 31, 383syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
4030, 39sylbid 240 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
41 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
4241eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
43 eqeq2 2747 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
4442, 43imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
4540, 44imbitrrid 246 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4622, 45jaoi 857 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4719, 46sylbi 217 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
4817, 47mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
49 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5049eqeq1d 2737 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
51 eqeq1 2739 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
5250, 51imbi12d 344 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
5348, 52imbitrrid 246 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
542gausslemma2dlem0a 27415 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5554nnrpd 13073 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
56 0mod 13939 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
5857eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
59 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
6059eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
62 negmod0 13915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
63 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
6462, 63bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6534, 55, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
6629eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
67 ax-1ne0 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
68 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
6967, 68mpi 20 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
7066, 69biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
7165, 70sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7361, 72sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
7473ex 412 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
7541eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
77 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
7877, 66bitrid 283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
7978, 69biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8079adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8176, 80sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8281ex 412 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8374, 82jaoi 857 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8419, 83sylbi 217 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
8517, 84mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
8658, 85sylbid 240 . . . . 5 (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
87 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
8887eqeq1d 2737 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
89 eqeq1 2739 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
9088, 89imbi12d 344 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
9186, 90imbitrrid 246 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
9229eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
93 eqcom 2742 . . . . . . . . . . 11 (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
94 eqcom 2742 . . . . . . . . . . 11 (1 = -1 ↔ -1 = 1)
9539, 93, 943imtr4g 296 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
9659eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
97 eqeq2 2747 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
9896, 97imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
9995, 98imbitrrid 246 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
100 eqcom 2742 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
101100biimpi 216 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
1021012a1d 26 . . . . . . . . 9 ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
10399, 102jaoi 857 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
10419, 103sylbi 217 . . . . . . 7 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
10517, 104mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
10692, 105sylbid 240 . . . . 5 (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
107 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
108107eqeq1d 2737 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
109 eqeq1 2739 . . . . . 6 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
110108, 109imbi12d 344 . . . . 5 ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
111106, 110imbitrrid 246 . . . 4 ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
11253, 91, 1113jaoi 1427 . . 3 (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
11310, 112sylbi 217 . 2 ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
1148, 113mpcom 38 1 (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  cfl 13827   mod cmo 13906  cexp 14099  cprime 16705   /L clgs 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354
This theorem is referenced by:  gausslemma2d  27433
  Copyright terms: Public domain W3C validator