MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnnn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnnn0b 11944
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0b (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0b
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11907 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nngt0 11671 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
31, 2jca 514 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
4 elnn0 11902 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
5 breq2 5073 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < 0))
6 0re 10646 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
76ltnri 10752 . . . . . . 7 ¬ 0 < 0
87pm2.21i 119 . . . . . 6 (0 < 0 → 𝑁 ∈ ℕ)
95, 8syl6bi 255 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
109jao1i 854 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
114, 10sylbi 219 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1211imp 409 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
133, 12impbii 211 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1536  wcel 2113   class class class wbr 5069  0cc0 10540   < clt 10678  cn 11641  0cn0 11900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901
This theorem is referenced by:  elnnnn0c  11945  nn0p1elfzo  13083  bccl2  13686  ccatfv0  13940  ccat2s1fvw  14001  ccat2s1fvwOLD  14002  swrdswrd  14070  cycpmfv2  30760  eulerpartlems  31622  rmxnn  39554  fsumnncl  41858  ioodvbdlimc1lem2  42223  ioodvbdlimc2lem  42225
  Copyright terms: Public domain W3C validator