Theorem elnnnn0b 12567

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12530	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nngt0 12294	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
4		elnn0 12525	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
5		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < 0))
6		0re 11260	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	6	ltnri 11367	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 < 0
8	7	pm2.21i 119	. . . . . 6 ⊢ (0 < 0 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	5, 8	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
10	9	jao1i 858	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
11	4, 10	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
12	11	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	3, 12	impbii 209	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  0cc0 11152   < clt 11292  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  12568  nn0p1elfzo  13738  bccl2  14358  ccatfv0  14617  ccat2s1fvw  14672  swrdswrd  14739  cycpmfv2  33116  eulerpartlems  34341  rmxnn  42939  fsumnncl  45527  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889