MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnnn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnnn0b 11671
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0b (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0b
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11633 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nngt0 11390 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
31, 2jca 507 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
4 elnn0 11627 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
5 ax-1 6 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
6 breq2 4879 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < 0))
7 0re 10365 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
87ltnri 10472 . . . . . . 7 ¬ 0 < 0
98pm2.21i 117 . . . . . 6 (0 < 0 → 𝑁 ∈ ℕ)
106, 9syl6bi 245 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
115, 10jaoi 888 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
124, 11sylbi 209 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1312imp 397 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
143, 13impbii 201 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  0cc0 10259   < clt 10398  cn 11357  0cn0 11625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626
This theorem is referenced by:  elnnnn0c  11672  nn0p1elfzo  12813  bccl2  13410  ccatfv0  13650  ccat2s1fvw  13705  swrdswrd  13791  eulerpartlems  30963  rmxnn  38356  fsumnncl  40592  ioodvbdlimc1lem2  40936  ioodvbdlimc2lem  40938
  Copyright terms: Public domain W3C validator