MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dscopn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dscopn 24081
Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dscmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ = 𝑦, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
dscopn (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (MetOpenβ€˜π·) = 𝒫 𝑋)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem dscopn
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dscmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ = 𝑦, 0, 1))
21dscmet 24080 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 metxmet 23839 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 eqid 2732 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
65elmopn 23947 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑒 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ↔ (𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ↔ (𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))))
8 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 ssel2 3977 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
109adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
118, 10jca 512 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋))
12 velsn 4644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ {𝑣} ↔ 𝑀 = 𝑣)
13 eleq1a 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 = 𝑣 β†’ 𝑀 ∈ 𝑋))
14 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋))
16 eqeq12 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ 𝑣 = 𝑀))
1716ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ if(π‘₯ = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑀, 0, 1))
18 0re 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
19 1re 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
2018, 19ifcli 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) ∈ ℝ
2120elexi 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) ∈ V
2217, 1, 21ovmpoa 7562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣𝐷𝑀) = if(𝑣 = 𝑀, 0, 1))
2322breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑣𝐷𝑀) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1))
2419ltnri 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Β¬ 1 < 1
25 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ 𝑣 = 𝑀 β†’ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) = 1)
2625breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ 𝑣 = 𝑀 β†’ (if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
2724, 26mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ 𝑣 = 𝑀 β†’ Β¬ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1)
2827con4i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1 β†’ 𝑣 = 𝑀)
29 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑀 β†’ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) = 0)
30 0lt1 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
3129, 30eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑀 β†’ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1)
3228, 31impbii 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑀)
33 equcom 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 𝑣)
3432, 33bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1 ↔ 𝑀 = 𝑣)
3523, 34bitr2di 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑀) < 1))
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
3736biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑣𝐷𝑀) < 1 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
3835, 37bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
3938ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1))))
4013, 15, 39pm5.21ndd 380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
42 1xr 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ*
43 elbl 23893 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
4442, 43mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
454, 44sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
4641, 45bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ 𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1)))
4712, 46bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ {𝑣} ↔ 𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1)))
4847eqrdv 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ {𝑣} = (𝑣(ballβ€˜π·)1))
49 blelrn 23922 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (ballβ€˜π·))
5042, 49mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (ballβ€˜π·))
514, 50sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (ballβ€˜π·))
5248, 51eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ {𝑣} ∈ ran (ballβ€˜π·))
53 snssi 4811 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ 𝑒 β†’ {𝑣} βŠ† 𝑒)
54 vsnid 4665 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ {𝑣}
5553, 54jctil 520 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ 𝑒 β†’ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} βŠ† 𝑒))
56 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = {𝑣} β†’ (𝑣 ∈ 𝑀 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
57 sseq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = {𝑣} β†’ (𝑀 βŠ† 𝑒 ↔ {𝑣} βŠ† 𝑒))
5856, 57anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = {𝑣} β†’ ((𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} βŠ† 𝑒)))
5958rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (({𝑣} ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
6052, 55, 59syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
6111, 60sylancom 588 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
6261ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
6362ex 413 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 βŠ† 𝑋 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)))
6463pm4.71d 562 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))))
657, 64bitr4d 281 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ↔ 𝑒 βŠ† 𝑋))
66 velpw 4607 . . 3 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑒 βŠ† 𝑋)
6765, 66bitr4di 288 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ↔ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑋))
6867eqrdv 2730 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (MetOpenβ€˜π·) = 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  π’« cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  β„*cxr 11246   < clt 11247  βˆžMetcxmet 20928  Metcmet 20929  ballcbl 20930  MetOpencmopn 20933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-bases 22448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator