MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dscopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dscopn 24602
Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dscmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
dscopn (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dscmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
21dscmet 24601 . . . . . 6 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 24360 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2735 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
65elmopn 24468 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
8 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑋𝑉)
9 ssel2 3990 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑋𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
109adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
118, 10jca 511 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → (𝑋𝑉𝑣𝑋))
12 velsn 4647 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13 eleq1a 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣𝑤𝑋))
14 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋))
16 eqeq12 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦𝑣 = 𝑤))
1716ifbid 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18 0re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
19 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
2018, 19ifcli 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
2120elexi 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
2217, 1, 21ovmpoa 7588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
2322breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
2419ltnri 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¬ 1 < 1
25 iffalse 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
2625breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
2724, 26mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
2827con4i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29 iftrue 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30 0lt1 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
3129, 30eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
3228, 31impbii 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33 equcom 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤𝑤 = 𝑣)
3432, 33bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
3523, 34bitr2di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
3736biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3835, 37bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3938ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
4013, 15, 39pm5.21ndd 379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42 1xr 11318 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ*
43 elbl 24414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4442, 43mp3an3 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
454, 44sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4641, 45bitr4d 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4712, 46bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4847eqrdv 2733 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49 blelrn 24443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5042, 49mp3an3 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
514, 50sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5248, 51eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53 snssi 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54 vsnid 4668 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ {𝑣}
5553, 54jctil 519 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56 eleq2 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑣𝑤𝑣 ∈ {𝑣}))
57 sseq1 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑤𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
5856, 57anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣𝑤𝑤𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
5958rspcev 3622 . . . . . . . . 9 (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6052, 55, 59syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑣𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6111, 60sylancom 588 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6261ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑢𝑋) → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6362ex 412 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢)))
6463pm4.71d 561 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
657, 64bitr4d 282 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢𝑋))
66 velpw 4610 . . 3 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
6765, 66bitr4di 289 . 2 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
6867eqrdv 2733 1 (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  ballcbl 21369  MetOpencmopn 21372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-bases 22969
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator