Theorem dscopn 23929

Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dscmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
dscopn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dscmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
2	1	dscmet 23928	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 23687	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6	5	elmopn 23795	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
8		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ssel2 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
10	9	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
11	8, 10	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋))
12		velsn 4602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13		eleq1a 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 → 𝑤 ∈ 𝑋))
14		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋))
16		eqeq12 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	16	ifbid 4509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18		0re 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		1re 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	18, 19	ifcli 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
21	20	elexi 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
22	17, 1, 21	ovmpoa 7510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
23	22	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
24	19	ltnri 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 1 < 1
25		iffalse 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
26	25	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
27	24, 26	mtbiri 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
28	27	con4i 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29		iftrue 4492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30		0lt1 11677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
32	28, 31	impbii 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33		equcom 2021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑣)
34	32, 33	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
35	23, 34	bitr2di 287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
37	36	biantrurd 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
38	35, 37	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
39	38	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
40	13, 15, 39	pm5.21ndd 380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42		1xr 11214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ*
43		elbl 23741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
44	42, 43	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
45	4, 44	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
46	41, 45	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
47	12, 46	bitrid 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
48	47	eqrdv 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49		blelrn 23770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
50	42, 49	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
51	4, 50	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
52	48, 51	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53		snssi 4768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54		vsnid 4623	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
55	53, 54	jctil 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56		eleq2 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
57		sseq1 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑤 ⊆ 𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
58	56, 57	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
59	58	rspcev 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
60	52, 55, 59	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
61	11, 60	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
62	61	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
63	62	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢)))
64	63	pm4.71d 562	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
65	7, 64	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋))
66		velpw 4565	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋)
67	65, 66	bitr4di 288	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
68	67	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  ran crn 5634  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-bases 22296

This theorem is referenced by: (None)