Theorem dscopn 24607

Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dscmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
dscopn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dscmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
2	1	dscmet 24606	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24365	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6	5	elmopn 24473	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
8		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ssel2 4003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
10	9	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
11	8, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋))
12		velsn 4664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13		eleq1a 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 → 𝑤 ∈ 𝑋))
14		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋))
16		eqeq12 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	16	ifbid 4571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18		0re 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		1re 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	18, 19	ifcli 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
21	20	elexi 3511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
22	17, 1, 21	ovmpoa 7605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
23	22	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
24	19	ltnri 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 1 < 1
25		iffalse 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
26	25	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
27	24, 26	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
28	27	con4i 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29		iftrue 4554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30		0lt1 11812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
32	28, 31	impbii 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33		equcom 2017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑣)
34	32, 33	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
35	23, 34	bitr2di 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
37	36	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
38	35, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
40	13, 15, 39	pm5.21ndd 379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42		1xr 11349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ*
43		elbl 24419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
44	42, 43	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
45	4, 44	sylan 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
46	41, 45	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
47	12, 46	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
48	47	eqrdv 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49		blelrn 24448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
50	42, 49	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
51	4, 50	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
52	48, 51	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53		snssi 4833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54		vsnid 4685	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
55	53, 54	jctil 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56		eleq2 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
57		sseq1 4034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑤 ⊆ 𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
58	56, 57	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
59	58	rspcev 3635	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
60	52, 55, 59	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
61	11, 60	sylancom 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
62	61	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
63	62	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢)))
64	63	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
65	7, 64	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋))
66		velpw 4627	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋)
67	65, 66	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
68	67	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  ∞Metcxmet 21372  Metcmet 21373  ballcbl 21374  MetOpencmopn 21377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-bases 22974

This theorem is referenced by: (None)