Theorem dscopn 24538

Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dscmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
dscopn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dscmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
2	1	dscmet 24537	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24299	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6	5	elmopn 24407	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
8		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ssel2 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
10	9	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
11	8, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋))
12		velsn 4584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13		eleq1a 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 → 𝑤 ∈ 𝑋))
14		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋))
16		eqeq12 2754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	16	ifbid 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18		0re 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	18, 19	ifcli 4515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
21	20	elexi 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
22	17, 1, 21	ovmpoa 7522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
23	22	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
24	19	ltnri 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 1 < 1
25		iffalse 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
26	25	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
27	24, 26	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
28	27	con4i 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29		iftrue 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30		0lt1 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
32	28, 31	impbii 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33		equcom 2020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑣)
34	32, 33	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
35	23, 34	bitr2di 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
37	36	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
38	35, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
40	13, 15, 39	pm5.21ndd 379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42		1xr 11204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ*
43		elbl 24353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
44	42, 43	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
45	4, 44	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
46	41, 45	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
47	12, 46	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
48	47	eqrdv 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49		blelrn 24382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
50	42, 49	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
51	4, 50	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
52	48, 51	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53		snssi 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54		vsnid 4608	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
55	53, 54	jctil 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56		eleq2 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
57		sseq1 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑤 ⊆ 𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
58	56, 57	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
59	58	rspcev 3565	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
60	52, 55, 59	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
61	11, 60	sylancom 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
62	61	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
63	62	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢)))
64	63	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
65	7, 64	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋))
66		velpw 4547	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋)
67	65, 66	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
68	67	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   class class class wbr 5086  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  ∞Metcxmet 21337  Metcmet 21338  ballcbl 21339  MetOpencmopn 21342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-bases 22911

This theorem is referenced by: (None)