Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dscopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dscopn 23184
 Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dscmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
dscopn (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dscmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
21dscmet 23183 . . . . . 6 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 22945 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2801 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
65elmopn 23053 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
8 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑋𝑉)
9 ssel2 3913 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑋𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
109adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
118, 10jca 515 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → (𝑋𝑉𝑣𝑋))
12 velsn 4544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13 eleq1a 2888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣𝑤𝑋))
14 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋))
16 eqeq12 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦𝑣 = 𝑤))
1716ifbid 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
19 1re 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
2018, 19ifcli 4474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
2120elexi 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
2217, 1, 21ovmpoa 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
2322breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
2419ltnri 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¬ 1 < 1
25 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
2625breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
2724, 26mtbiri 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
2827con4i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30 0lt1 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
3129, 30eqbrtrdi 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
3228, 31impbii 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33 equcom 2025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤𝑤 = 𝑣)
3432, 33bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
3523, 34syl6rbb 291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
3736biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3835, 37bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3938ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
4013, 15, 39pm5.21ndd 384 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4140adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42 1xr 10693 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ*
43 elbl 22999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4442, 43mp3an3 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
454, 44sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4641, 45bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4712, 46syl5bb 286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4847eqrdv 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49 blelrn 23028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5042, 49mp3an3 1447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
514, 50sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5248, 51eqeltrd 2893 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53 snssi 4704 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54 vsnid 4565 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ {𝑣}
5553, 54jctil 523 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56 eleq2 2881 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑣𝑤𝑣 ∈ {𝑣}))
57 sseq1 3943 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑤𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
5856, 57anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣𝑤𝑤𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
5958rspcev 3574 . . . . . . . . 9 (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6052, 55, 59syl2an 598 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑣𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6111, 60sylancom 591 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6261ralrimiva 3152 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑢𝑋) → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6362ex 416 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢)))
6463pm4.71d 565 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
657, 64bitr4d 285 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢𝑋))
66 velpw 4505 . . 3 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
6765, 66syl6bbr 292 . 2 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
6867eqrdv 2799 1 (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ⊆ wss 3884  ifcif 4428  𝒫 cpw 4500  {csn 4528   class class class wbr 5033  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ℝ*cxr 10667   < clt 10668  ∞Metcxmet 20080  Metcmet 20081  ballcbl 20082  MetOpencmopn 20085 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-topgen 16713  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-bases 21555 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator