MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dscopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dscopn 24570
Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dscmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
dscopn (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dscmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
21dscmet 24569 . . . . . 6 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 24328 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2726 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
65elmopn 24436 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
8 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑋𝑉)
9 ssel2 3973 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑋𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
109adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
118, 10jca 510 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → (𝑋𝑉𝑣𝑋))
12 velsn 4639 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13 eleq1a 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣𝑤𝑋))
14 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋))
16 eqeq12 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦𝑣 = 𝑤))
1716ifbid 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18 0re 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
19 1re 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
2018, 19ifcli 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
2120elexi 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
2217, 1, 21ovmpoa 7573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
2322breq1d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
2419ltnri 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¬ 1 < 1
25 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
2625breq1d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
2724, 26mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
2827con4i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30 0lt1 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
3129, 30eqbrtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
3228, 31impbii 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33 equcom 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤𝑤 = 𝑣)
3432, 33bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
3523, 34bitr2di 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
3736biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3835, 37bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3938ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
4013, 15, 39pm5.21ndd 378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4140adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42 1xr 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ*
43 elbl 24382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4442, 43mp3an3 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
454, 44sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4641, 45bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4712, 46bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4847eqrdv 2724 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49 blelrn 24411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5042, 49mp3an3 1447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
514, 50sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5248, 51eqeltrd 2826 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53 snssi 4807 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54 vsnid 4660 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ {𝑣}
5553, 54jctil 518 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56 eleq2 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑣𝑤𝑣 ∈ {𝑣}))
57 sseq1 4004 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑤𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
5856, 57anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣𝑤𝑤𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
5958rspcev 3607 . . . . . . . . 9 (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6052, 55, 59syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑣𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6111, 60sylancom 586 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6261ralrimiva 3136 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑢𝑋) → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6362ex 411 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢)))
6463pm4.71d 560 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
657, 64bitr4d 281 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢𝑋))
66 velpw 4602 . . 3 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
6765, 66bitr4di 288 . 2 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
6867eqrdv 2724 1 (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3946  ifcif 4523  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5145  ran crn 5675  cfv 6546  (class class class)co 7416  cmpo 7418  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150  *cxr 11288   < clt 11289  ∞Metcxmet 21324  Metcmet 21325  ballcbl 21326  MetOpencmopn 21329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-topgen 17453  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-bases 22937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator