MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dscopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dscopn 22886
Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dscmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
dscopn (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dscmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
21dscmet 22885 . . . . . 6 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 22647 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2778 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
65elmopn 22755 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
8 simpll 754 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑋𝑉)
9 ssel2 3853 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑋𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
109adantll 701 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
118, 10jca 504 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → (𝑋𝑉𝑣𝑋))
12 velsn 4457 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13 eleq1a 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣𝑤𝑋))
14 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋))
16 eqeq12 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦𝑣 = 𝑤))
1716ifbid 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18 0re 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
19 1re 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
2018, 19ifcli 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
2120elexi 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
2217, 1, 21ovmpoa 7121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
2322breq1d 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
2419ltnri 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¬ 1 < 1
25 iffalse 4359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
2625breq1d 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
2724, 26mtbiri 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
2827con4i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29 iftrue 4356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30 0lt1 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
3129, 30syl6eqbr 4968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
3228, 31impbii 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33 equcom 1975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤𝑤 = 𝑣)
3432, 33bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
3523, 34syl6rbb 280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
3736biantrurd 525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3835, 37bitrd 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3938ex 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
4013, 15, 39pm5.21ndd 372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4140adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42 1xr 10500 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ*
43 elbl 22701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4442, 43mp3an3 1429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
454, 44sylan 572 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4641, 45bitr4d 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4712, 46syl5bb 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4847eqrdv 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49 blelrn 22730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5042, 49mp3an3 1429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
514, 50sylan 572 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5248, 51eqeltrd 2866 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53 snssi 4615 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54 vsnid 4474 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ {𝑣}
5553, 54jctil 512 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56 eleq2 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑣𝑤𝑣 ∈ {𝑣}))
57 sseq1 3882 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑤𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
5856, 57anbi12d 621 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣𝑤𝑤𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
5958rspcev 3535 . . . . . . . . 9 (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6052, 55, 59syl2an 586 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑣𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6111, 60sylancom 579 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6261ralrimiva 3132 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑢𝑋) → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6362ex 405 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢)))
6463pm4.71d 554 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
657, 64bitr4d 274 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢𝑋))
66 selpw 4429 . . 3 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
6765, 66syl6bbr 281 . 2 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
6867eqrdv 2776 1 (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  wss 3829  ifcif 4350  𝒫 cpw 4422  {csn 4441   class class class wbr 4929  ran crn 5408  cfv 6188  (class class class)co 6976  cmpo 6978  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336  *cxr 10473   < clt 10474  ∞Metcxmet 20232  Metcmet 20233  ballcbl 20234  MetOpencmopn 20237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-topgen 16573  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-bases 21258
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator