Theorem dscopn 24468

Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dscmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
dscopn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dscmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
2	1	dscmet 24467	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24229	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6	5	elmopn 24337	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
8		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ssel2 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
10	9	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
11	8, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋))
12		velsn 4608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13		eleq1a 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 → 𝑤 ∈ 𝑋))
14		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋))
16		eqeq12 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	16	ifbid 4515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18		0re 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		1re 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	18, 19	ifcli 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
21	20	elexi 3473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
22	17, 1, 21	ovmpoa 7547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
23	22	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
24	19	ltnri 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 1 < 1
25		iffalse 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
26	25	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
27	24, 26	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
28	27	con4i 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29		iftrue 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30		0lt1 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
32	28, 31	impbii 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33		equcom 2018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑣)
34	32, 33	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
35	23, 34	bitr2di 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
37	36	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
38	35, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
40	13, 15, 39	pm5.21ndd 379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42		1xr 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ*
43		elbl 24283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
44	42, 43	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
45	4, 44	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
46	41, 45	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
47	12, 46	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
48	47	eqrdv 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49		blelrn 24312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
50	42, 49	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
51	4, 50	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
52	48, 51	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53		snssi 4775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54		vsnid 4630	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
55	53, 54	jctil 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56		eleq2 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
57		sseq1 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑤 ⊆ 𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
58	56, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
59	58	rspcev 3591	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
60	52, 55, 59	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
61	11, 60	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
62	61	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
63	62	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢)))
64	63	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
65	7, 64	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋))
66		velpw 4571	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋)
67	65, 66	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
68	67	eqrdv 2728	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  𝒫 cpw 4566  {csn 4592   class class class wbr 5110  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  ∞Metcxmet 21256  Metcmet 21257  ballcbl 21258  MetOpencmopn 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-bases 22840

This theorem is referenced by: (None)