MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dscopn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dscopn 24495
Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dscmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ = 𝑦, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
dscopn (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (MetOpenβ€˜π·) = 𝒫 𝑋)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem dscopn
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dscmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ = 𝑦, 0, 1))
21dscmet 24494 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 metxmet 24253 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 eqid 2728 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
65elmopn 24361 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑒 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ↔ (𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ↔ (𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))))
8 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 ssel2 3975 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
109adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
118, 10jca 511 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋))
12 velsn 4645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ {𝑣} ↔ 𝑀 = 𝑣)
13 eleq1a 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 = 𝑣 β†’ 𝑀 ∈ 𝑋))
14 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋))
16 eqeq12 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ 𝑣 = 𝑀))
1716ifbid 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ if(π‘₯ = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑀, 0, 1))
18 0re 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
19 1re 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
2018, 19ifcli 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) ∈ ℝ
2120elexi 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) ∈ V
2217, 1, 21ovmpoa 7576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣𝐷𝑀) = if(𝑣 = 𝑀, 0, 1))
2322breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑣𝐷𝑀) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1))
2419ltnri 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Β¬ 1 < 1
25 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ 𝑣 = 𝑀 β†’ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) = 1)
2625breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ 𝑣 = 𝑀 β†’ (if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
2724, 26mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ 𝑣 = 𝑀 β†’ Β¬ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1)
2827con4i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1 β†’ 𝑣 = 𝑀)
29 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑀 β†’ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) = 0)
30 0lt1 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
3129, 30eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑀 β†’ if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1)
3228, 31impbii 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑀)
33 equcom 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 𝑣)
3432, 33bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑣 = 𝑀, 0, 1) < 1 ↔ 𝑀 = 𝑣)
3523, 34bitr2di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑀) < 1))
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
3736biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑣𝐷𝑀) < 1 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
3835, 37bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
3938ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1))))
4013, 15, 39pm5.21ndd 379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
42 1xr 11304 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ*
43 elbl 24307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
4442, 43mp3an3 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
454, 44sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑀) < 1)))
4641, 45bitr4d 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 = 𝑣 ↔ 𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1)))
4712, 46bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ {𝑣} ↔ 𝑀 ∈ (𝑣(ballβ€˜π·)1)))
4847eqrdv 2726 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ {𝑣} = (𝑣(ballβ€˜π·)1))
49 blelrn 24336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (ballβ€˜π·))
5042, 49mp3an3 1447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (ballβ€˜π·))
514, 50sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (ballβ€˜π·))
5248, 51eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ {𝑣} ∈ ran (ballβ€˜π·))
53 snssi 4812 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ 𝑒 β†’ {𝑣} βŠ† 𝑒)
54 vsnid 4666 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ {𝑣}
5553, 54jctil 519 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ 𝑒 β†’ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} βŠ† 𝑒))
56 eleq2 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = {𝑣} β†’ (𝑣 ∈ 𝑀 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
57 sseq1 4005 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = {𝑣} β†’ (𝑀 βŠ† 𝑒 ↔ {𝑣} βŠ† 𝑒))
5856, 57anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = {𝑣} β†’ ((𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} βŠ† 𝑒)))
5958rspcev 3609 . . . . . . . . 9 (({𝑣} ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
6052, 55, 59syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
6111, 60sylancom 587 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
6261ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
6362ex 412 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 βŠ† 𝑋 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)))
6463pm4.71d 561 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))))
657, 64bitr4d 282 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ↔ 𝑒 βŠ† 𝑋))
66 velpw 4608 . . 3 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑒 βŠ† 𝑋)
6765, 66bitr4di 289 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (MetOpenβ€˜π·) ↔ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑋))
6867eqrdv 2726 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (MetOpenβ€˜π·) = 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5148  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  β„*cxr 11278   < clt 11279  βˆžMetcxmet 21264  Metcmet 21265  ballcbl 21266  MetOpencmopn 21269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-bases 22862
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator