Theorem ltrec1 12098

Description: Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltrec1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐴) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐴))

Proof of Theorem ltrec1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 11676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
2		rereccl 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		recgt0 12057	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
5	3, 4	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)))
6		ltrec 12093	. . 3 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐴) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < (1 / (1 / 𝐴))))
7	5, 6	sylan 579	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐴) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < (1 / (1 / 𝐴))))
8		recn 11196	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		recrec 11908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
10	8, 9	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
11	1, 10	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
13	12	breq2d 5150	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐵) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝐵) < 𝐴))
14	7, 13	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐴) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11245   / cdiv 11868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869

This theorem is referenced by:  recreclt  12110  rpnnen1lem5  12962  ltrec1d  13033  expnlbnd  14193  lmnn  25113  rlimcnp  26813  emcllem2  26845