MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxplim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxplim 26949
Description: A power to a negative exponent goes to zero as the base becomes large. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxplim (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxplim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 13017 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
21adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 rpge0 13022 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
43adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
5 rpre 13017 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
65renegcld 11673 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
8 rpcn 13019 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
9 rpne0 13025 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
108, 9negne0d 11601 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ≠ 0)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → -𝐴 ≠ 0)
127, 11rereccld 12074 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / -𝐴) ∈ ℝ)
132, 4, 12recxpcld 26702 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) ∈ ℝ)
14 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
155ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1614, 15rpcxpcld 26712 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
1716rpreccld 13061 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (1 / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℝ+)
1817rprege0d 13058 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → ((1 / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝑛𝑐𝐴))))
19 absid 15279 . . . . . . . 8 (((1 / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝑛𝑐𝐴))) → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) = (1 / (𝑛𝑐𝐴)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) = (1 / (𝑛𝑐𝐴)))
21 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
22 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)
23 rpreccl 13035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
2524rpcnd 13053 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2621, 25cxprecd 26711 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → ((1 / 𝑥)↑𝑐(1 / 𝐴)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 𝐴))))
27 rpcn 13019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
2827ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 rpne0 13025 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 𝑥 ≠ 0)
3128, 30, 25cxpnegd 26694 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝑥𝑐-(1 / 𝐴)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 𝐴))))
32 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 1 ∈ ℂ)
338ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
349ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 𝐴 ≠ 0)
3532, 33, 34divneg2d 12037 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
3635oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝑥𝑐-(1 / 𝐴)) = (𝑥𝑐(1 / -𝐴)))
3726, 31, 363eqtr2d 2771 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → ((1 / 𝑥)↑𝑐(1 / 𝐴)) = (𝑥𝑐(1 / -𝐴)))
3833, 34recidd 12018 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
3938oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝑛𝑐(𝐴 · (1 / 𝐴))) = (𝑛𝑐1))
4014, 15, 25cxpmuld 26716 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝑛𝑐(𝐴 · (1 / 𝐴))) = ((𝑛𝑐𝐴)↑𝑐(1 / 𝐴)))
4114rpcnd 13053 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
4241cxp1d 26685 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝑛𝑐1) = 𝑛)
4339, 40, 423eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → ((𝑛𝑐𝐴)↑𝑐(1 / 𝐴)) = 𝑛)
4422, 37, 433brtr4d 5181 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → ((1 / 𝑥)↑𝑐(1 / 𝐴)) < ((𝑛𝑐𝐴)↑𝑐(1 / 𝐴)))
45 rpreccl 13035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
4746rpred 13051 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
4846rpge0d 13055 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
4916rpred 13051 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ)
5016rpge0d 13055 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛𝑐𝐴))
5147, 48, 49, 50, 24cxplt2d 26705 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → ((1 / 𝑥) < (𝑛𝑐𝐴) ↔ ((1 / 𝑥)↑𝑐(1 / 𝐴)) < ((𝑛𝑐𝐴)↑𝑐(1 / 𝐴))))
5244, 51mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (1 / 𝑥) < (𝑛𝑐𝐴))
5321, 16, 52ltrec1d 13071 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (1 / (𝑛𝑐𝐴)) < 𝑥)
5420, 53eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛)) → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)
5554expr 455 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛 → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
5655ralrimiva 3135 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛 → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
57 breq1 5152 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) → (𝑦 < 𝑛 ↔ (𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛))
5857rspceaimv 3612 . . . 4 (((𝑥𝑐(1 / -𝐴)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑐(1 / -𝐴)) < 𝑛 → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
5913, 56, 58syl2anc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6059ralrimiva 3135 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
61 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+)
62 rpcxpcl 26655 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
6361, 5, 62syl2anr 595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
6463rpreccld 13061 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℝ+)
6564rpcnd 13053 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
6665ralrimiva 3135 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (1 / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
67 rpssre 13016 . . . 4 + ⊆ ℝ
6867a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
6966, 68rlim0lt 15489 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘(1 / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7060, 69mpbird 256 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  -cneg 11477   / cdiv 11903  +crp 13009  abscabs 15217  𝑟 crli 15465  𝑐ccxp 26534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536
This theorem is referenced by:  sqrtlim  26950  signsplypnf  34310
  Copyright terms: Public domain W3C validator