MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxplim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxplim 26922
Description: A power to a negative exponent goes to zero as the base becomes large. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxplim (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem cxplim
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 13020 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
21adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
3 rpge0 13025 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
43adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
5 rpre 13020 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65renegcld 11677 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
76adantr 479 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
8 rpcn 13022 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 rpne0 13028 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โ‰  0)
108, 9negne0d 11605 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ -๐ด โ‰  0)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ -๐ด โ‰  0)
127, 11rereccld 12077 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / -๐ด) โˆˆ โ„)
132, 4, 12recxpcld 26675 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) โˆˆ โ„)
14 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
155ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1614, 15rpcxpcld 26685 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
1716rpreccld 13064 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„+)
1817rprege0d 13061 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))))
19 absid 15281 . . . . . . . 8 (((1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) = (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) = (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)))
21 simplr 767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
22 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)
23 rpreccl 13038 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„+)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„+)
2524rpcnd 13056 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2621, 25cxprecd 26684 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) = (1 / (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / ๐ด))))
27 rpcn 13022 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2827ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
29 rpne0 13028 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
3128, 30, 25cxpnegd 26667 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘-(1 / ๐ด)) = (1 / (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / ๐ด))))
32 1cnd 11245 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
338ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
349ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
3532, 33, 34divneg2d 12040 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ -(1 / ๐ด) = (1 / -๐ด))
3635oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘-(1 / ๐ด)) = (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)))
3726, 31, 363eqtr2d 2773 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) = (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)))
3833, 34recidd 12021 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
3938oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘(๐ด ยท (1 / ๐ด))) = (๐‘›โ†‘๐‘1))
4014, 15, 25cxpmuld 26689 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘(๐ด ยท (1 / ๐ด))) = ((๐‘›โ†‘๐‘๐ด)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)))
4114rpcnd 13056 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4241cxp1d 26658 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘1) = ๐‘›)
4339, 40, 423eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘๐ด)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) = ๐‘›)
4422, 37, 433brtr4d 5182 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) < ((๐‘›โ†‘๐‘๐ด)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)))
45 rpreccl 13038 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
4746rpred 13054 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4846rpge0d 13058 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘ฅ))
4916rpred 13054 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„)
5016rpge0d 13058 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))
5147, 48, 49, 50, 24cxplt2d 26678 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ) < (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โ†” ((1 / ๐‘ฅ)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) < ((๐‘›โ†‘๐‘๐ด)โ†‘๐‘(1 / ๐ด))))
5244, 51mpbird 256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) < (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))
5321, 16, 52ltrec1d 13074 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) < ๐‘ฅ)
5420, 53eqbrtrd 5172 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)
5554expr 455 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
5655ralrimiva 3142 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ ((๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
57 breq1 5153 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†” (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›))
5857rspceaimv 3615 . . . 4 (((๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ ((๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
5913, 56, 58syl2anc 582 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6059ralrimiva 3142 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
61 id 22 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
62 rpcxpcl 26628 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
6361, 5, 62syl2anr 595 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
6463rpreccld 13064 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„+)
6564rpcnd 13056 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6665ralrimiva 3142 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
67 rpssre 13019 . . . 4 โ„+ โІ โ„
6867a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โ„+ โІ โ„)
6966, 68rlim0lt 15491 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
7060, 69mpbird 256 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936  โˆ€wral 3057  โˆƒwrex 3066   โІ wss 3947   class class class wbr 5150   โ†ฆ cmpt 5233  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  โ„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   ยท cmul 11149   < clt 11284   โ‰ค cle 11285  -cneg 11481   / cdiv 11907  โ„+crp 13012  abscabs 15219   โ‡๐‘Ÿ crli 15467  โ†‘๐‘ccxp 26507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509
This theorem is referenced by:  sqrtlim  26923  signsplypnf  34187
  Copyright terms: Public domain W3C validator