MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxplim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxplim 26855
Description: A power to a negative exponent goes to zero as the base becomes large. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxplim (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem cxplim
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 12985 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
21adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
3 rpge0 12990 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
43adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
5 rpre 12985 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65renegcld 11642 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
76adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
8 rpcn 12987 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 rpne0 12993 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โ‰  0)
108, 9negne0d 11570 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ -๐ด โ‰  0)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ -๐ด โ‰  0)
127, 11rereccld 12042 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / -๐ด) โˆˆ โ„)
132, 4, 12recxpcld 26608 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) โˆˆ โ„)
14 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
155ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1614, 15rpcxpcld 26618 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
1716rpreccld 13029 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„+)
1817rprege0d 13026 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))))
19 absid 15247 . . . . . . . 8 (((1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) = (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) = (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)))
21 simplr 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
22 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)
23 rpreccl 13003 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„+)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„+)
2524rpcnd 13021 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2621, 25cxprecd 26617 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) = (1 / (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / ๐ด))))
27 rpcn 12987 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2827ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
29 rpne0 12993 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
3029ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
3128, 30, 25cxpnegd 26600 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘-(1 / ๐ด)) = (1 / (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / ๐ด))))
32 1cnd 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
338ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
349ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
3532, 33, 34divneg2d 12005 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ -(1 / ๐ด) = (1 / -๐ด))
3635oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘-(1 / ๐ด)) = (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)))
3726, 31, 363eqtr2d 2772 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) = (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)))
3833, 34recidd 11986 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
3938oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘(๐ด ยท (1 / ๐ด))) = (๐‘›โ†‘๐‘1))
4014, 15, 25cxpmuld 26622 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘(๐ด ยท (1 / ๐ด))) = ((๐‘›โ†‘๐‘๐ด)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)))
4114rpcnd 13021 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4241cxp1d 26591 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘1) = ๐‘›)
4339, 40, 423eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘๐ด)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) = ๐‘›)
4422, 37, 433brtr4d 5173 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) < ((๐‘›โ†‘๐‘๐ด)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)))
45 rpreccl 13003 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
4645ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
4746rpred 13019 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4846rpge0d 13023 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘ฅ))
4916rpred 13019 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„)
5016rpge0d 13023 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))
5147, 48, 49, 50, 24cxplt2d 26611 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ) < (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โ†” ((1 / ๐‘ฅ)โ†‘๐‘(1 / ๐ด)) < ((๐‘›โ†‘๐‘๐ด)โ†‘๐‘(1 / ๐ด))))
5244, 51mpbird 257 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) < (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))
5321, 16, 52ltrec1d 13039 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) < ๐‘ฅ)
5420, 53eqbrtrd 5163 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)
5554expr 456 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
5655ralrimiva 3140 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ ((๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
57 breq1 5144 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†” (๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘›))
5857rspceaimv 3612 . . . 4 (((๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ ((๐‘ฅโ†‘๐‘(1 / -๐ด)) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
5913, 56, 58syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6059ralrimiva 3140 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
61 id 22 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
62 rpcxpcl 26561 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
6361, 5, 62syl2anr 596 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
6463rpreccld 13029 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„+)
6564rpcnd 13021 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6665ralrimiva 3140 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
67 rpssre 12984 . . . 4 โ„+ โІ โ„
6867a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โ„+ โІ โ„)
6966, 68rlim0lt 15457 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜(1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
7060, 69mpbird 257 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โІ wss 3943   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250  -cneg 11446   / cdiv 11872  โ„+crp 12977  abscabs 15185   โ‡๐‘Ÿ crli 15433  โ†‘๐‘ccxp 26440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-cxp 26442
This theorem is referenced by:  sqrtlim  26856  signsplypnf  34091
  Copyright terms: Public domain W3C validator