Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem6 46094
Description: A series that converges to log((𝑁 + 1) / 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑗,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
2 eqid 2737 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))
3 eqid 2737 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
4 stirlinglem6.1 . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
5 eqid 2737 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
6 2re 12340 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8 nnre 12273 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 11291 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10 0le2 12368 . . . . . . 7 0 ≤ 2
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
12 0red 11264 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
13 nngt0 12297 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
1412, 8, 13ltled 11409 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
157, 8, 11, 14mulge0d 11840 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
169, 15ge0p1rpd 13107 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
1716rpreccld 13087 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ+)
18 1red 11262 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
1918renegcld 11690 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
2017rpred 13077 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
21 neg1lt0 12383 . . . . . 6 -1 < 0
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
2317rpgt0d 13080 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
2419, 12, 20, 22, 23lttrd 11422 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
25 1rp 13038 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
2625a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
27 1cnd 11256 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2827div1d 12035 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
29 2rp 13039 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31 nnrp 13046 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 13093 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
3318, 32ltaddrp2d 13111 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
3428, 33eqbrtrd 5165 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < ((2 · 𝑁) + 1))
3526, 16, 34ltrec1d 13097 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)
3620, 18absltd 15468 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1 ↔ (-1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)))
3724, 35, 36mpbir2and 713 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1)
381, 2, 3, 4, 5, 17, 37stirlinglem5 46093 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))))
39 2cnd 12344 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
40 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4139, 40mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
4241, 27addcld 11280 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
439, 18readdcld 11290 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
44 2pos 12369 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
467, 8, 45, 13mulgt0d 11416 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
479ltp1d 12198 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) < ((2 · 𝑁) + 1))
4812, 9, 43, 46, 47lttrd 11422 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
4948gt0ne0d 11827 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
5042, 49dividd 12041 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
5150eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5251oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5351oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5452, 53oveq12d 7449 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
5542, 27, 42, 49divdird 12081 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5655eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5742, 27, 42, 49divsubdird 12082 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5857eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5956, 58oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))))
6041, 27, 27addassd 11283 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
61 1p1e2 12391 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
6362oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
6439mulridd 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
6564eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
6665oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6739, 40, 27adddid 11285 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6866, 67eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
6960, 63, 683eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = (2 · (𝑁 + 1)))
7069oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)))
7141, 27pncand 11621 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
7271oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1)))
7370, 72oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
7459, 73eqtrd 2777 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
7540, 27addcld 11280 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7639, 75mulcld 11281 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7746gt0ne0d 11827 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ≠ 0)
7876, 41, 42, 77, 49divcan7d 12071 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
7945gt0ne0d 11827 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
8013gt0ne0d 11827 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8139, 39, 75, 40, 79, 80divmuldivd 12084 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
8281eqcomd 2743 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)) = ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
8339, 79dividd 12041 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 2) = 1)
8483oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
8575, 40, 80divcld 12043 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
8685mullidd 11279 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8784, 86eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8878, 82, 873eqtrd 2781 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8954, 74, 883eqtrd 2781 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
9089fveq2d 6910 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
9138, 90breqtrd 5169 1 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  +crp 13034  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  logclog 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  46095
  Copyright terms: Public domain W3C validator