Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem6 44394
Description: A series that converges to log((๐‘ + 1) / ๐‘). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
Distinct variable group:   ๐‘—,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ป(๐‘—)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)))
2 eqid 2737 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))
3 eqid 2737 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) + (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) + (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)))
4 stirlinglem6.1 . . 3 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
5 eqid 2737 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—) + 1))
6 2re 12234 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
8 nnre 12167 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
97, 8remulcld 11192 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
10 0le2 12262 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
1110a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
12 0red 11165 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
13 nngt0 12191 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
1412, 8, 13ltled 11310 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
157, 8, 11, 14mulge0d 11739 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
169, 15ge0p1rpd 12994 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„+)
1716rpreccld 12974 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„+)
18 1red 11163 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1918renegcld 11589 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„)
2017rpred 12964 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
21 neg1lt0 12277 . . . . . 6 -1 < 0
2221a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < 0)
2317rpgt0d 12967 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
2419, 12, 20, 22, 23lttrd 11323 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
25 1rp 12926 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„+
2625a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
27 1cnd 11157 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2827div1d 11930 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) = 1)
29 2rp 12927 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
31 nnrp 12933 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
3230, 31rpmulcld 12980 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
3318, 32ltaddrp2d 12998 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
3428, 33eqbrtrd 5132 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) < ((2 ยท ๐‘) + 1))
3526, 16, 34ltrec1d 12984 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) < 1)
3620, 18absltd 15321 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((absโ€˜(1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) < 1 โ†” (-1 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆง (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) < 1)))
3724, 35, 36mpbir2and 712 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜(1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) < 1)
381, 2, 3, 4, 5, 17, 37stirlinglem5 44393 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))))
39 2cnd 12238 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
40 nncn 12168 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4139, 40mulcld 11182 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4241, 27addcld 11181 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
439, 18readdcld 11191 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
44 2pos 12263 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 2)
467, 8, 45, 13mulgt0d 11317 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘))
479ltp1d 12092 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4812, 9, 43, 46, 47lttrd 11323 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4948gt0ne0d 11726 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
5042, 49dividd 11936 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = 1)
5150eqcomd 2743 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 = (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5251oveq1d 7377 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5351oveq1d 7377 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5452, 53oveq12d 7380 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))))
5542, 27, 42, 49divdird 11976 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5655eqcomd 2743 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5742, 27, 42, 49divsubdird 11977 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5857eqcomd 2743 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5956, 58oveq12d 7380 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
6041, 27, 27addassd 11184 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
61 1p1e2 12285 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + 1) = 2)
6362oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
6439mulid1d 11179 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) = 2)
6564eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 = (2 ยท 1))
6665oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6739, 40, 27adddid 11186 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6866, 67eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
6960, 63, 683eqtrd 2781 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
7069oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
7141, 27pncand 11520 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘))
7271oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
7370, 72oveq12d 7380 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
7459, 73eqtrd 2777 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
7540, 27addcld 11181 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
7639, 75mulcld 11182 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7746gt0ne0d 11726 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
7876, 41, 42, 77, 49divcan7d 11966 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)))
7945gt0ne0d 11726 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
8013gt0ne0d 11726 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
8139, 39, 75, 40, 79, 80divmuldivd 11979 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)))
8281eqcomd 2743 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)) = ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)))
8339, 79dividd 11936 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 / 2) = 1)
8483oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = (1 ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)))
8575, 40, 80divcld 11938 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
8685mulid2d 11180 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8784, 86eqtrd 2777 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8878, 82, 873eqtrd 2781 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8954, 74, 883eqtrd 2781 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
9089fveq2d 6851 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))) = (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
9138, 90breqtrd 5136 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„+crp 12922  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126   โ‡ cli 15373  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  44395
  Copyright terms: Public domain W3C validator