stirlinglem6 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem6 44310

Description: A series that converges to log((𝑁 + 1) / 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
stirlinglem6.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Distinct variable group: 𝑗,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐻(𝑗)

**Proof of Theorem stirlinglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
4		stirlinglem6.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
6		2re 12227	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 12160	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10		0le2 12255	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
12		0red 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
13		nngt0 12184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	12, 8, 13	ltled 11303	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
15	7, 8, 11, 14	mulge0d 11732	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
16	9, 15	ge0p1rpd 12987	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpreccld 12967	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
18		1red 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
19	18	renegcld 11582	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
20	17	rpred 12957	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
21		neg1lt0 12270	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
23	17	rpgt0d 12960	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
24	19, 12, 20, 22, 23	lttrd 11316	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
25		1rp 12919	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ⁺)
27		1cnd 11150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11923	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
29		2rp 12920	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
31		nnrp 12926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
32	30, 31	rpmulcld 12973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
33	18, 32	ltaddrp2d 12991	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
34	28, 33	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < ((2 · 𝑁) + 1))
35	26, 16, 34	ltrec1d 12977	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)
36	20, 18	absltd 15314	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1 ↔ (-1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)))
37	24, 35, 36	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1)
38	1, 2, 3, 4, 5, 17, 37	stirlinglem5 44309	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))))
39		2cnd 12231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
40		nncn 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41	39, 40	mulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
42	41, 27	addcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
43	9, 18	readdcld 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
44		2pos 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
46	7, 8, 45, 13	mulgt0d 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
47	9	ltp1d 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) < ((2 · 𝑁) + 1))
48	12, 9, 43, 46, 47	lttrd 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
49	48	gt0ne0d 11719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
50	42, 49	dividd 11929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
51	50	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
52	51	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
53	51	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
54	52, 53	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
55	42, 27, 42, 49	divdird 11969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
56	55	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
57	42, 27, 42, 49	divsubdird 11970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
58	57	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
59	56, 58	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))))
60	41, 27, 27	addassd 11177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
61		1p1e2 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
63	62	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
64	39	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
65	64	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
66	65	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
67	39, 40, 27	adddid 11179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
68	66, 67	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = (2 · (𝑁 + 1)))
70	69	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)))
71	41, 27	pncand 11513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
72	71	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1)))
73	70, 72	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
74	59, 73	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
75	40, 27	addcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
76	39, 75	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
77	46	gt0ne0d 11719	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ≠ 0)
78	76, 41, 42, 77, 49	divcan7d 11959	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
79	45	gt0ne0d 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
80	13	gt0ne0d 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
81	39, 39, 75, 40, 79, 80	divmuldivd 11972	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
82	81	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)) = ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
83	39, 79	dividd 11929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 2) = 1)
84	83	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
85	75, 40, 80	divcld 11931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
86	85	mulid2d 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
87	84, 86	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
88	78, 82, 87	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
89	54, 74, 88	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
90	89	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
91	38, 90	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 -cneg 11386 / cdiv 11812 ℕcn 12153 2c2 12208 ℕ₀cn0 12413 ℝ⁺crp 12915 seqcseq 13906 ↑cexp 13967 abscabs 15119 ⇝ cli 15366 logclog 25910

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 ax-addf 11130 ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7617 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8093 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-2o 8413 df-oadd 8416 df-er 8648 df-map 8767 df-pm 8768 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9306 df-fi 9347 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-xnn0 12486 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-xneg 13033 df-xadd 13034 df-xmul 13035 df-ioo 13268 df-ioc 13269 df-ico 13270 df-icc 13271 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-mod 13775 df-seq 13907 df-exp 13968 df-fac 14174 df-bc 14203 df-hash 14231 df-shft 14952 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-limsup 15353 df-clim 15370 df-rlim 15371 df-sum 15571 df-ef 15950 df-sin 15952 df-cos 15953 df-tan 15954 df-pi 15955 df-dvds 16137 df-struct 17019 df-sets 17036 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-ress 17113 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-starv 17148 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-unif 17156 df-hom 17157 df-cco 17158 df-rest 17304 df-topn 17305 df-0g 17323 df-gsum 17324 df-topgen 17325 df-pt 17326 df-prds 17329 df-xrs 17384 df-qtop 17389 df-imas 17390 df-xps 17392 df-mre 17466 df-mrc 17467 df-acs 17469 df-mgm 18497 df-sgrp 18546 df-mnd 18557 df-submnd 18602 df-mulg 18873 df-cntz 19097 df-cmn 19564 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-met 20790 df-bl 20791 df-mopn 20792 df-fbas 20793 df-fg 20794 df-cnfld 20797 df-top 22243 df-topon 22260 df-topsp 22282 df-bases 22296 df-cld 22370 df-ntr 22371 df-cls 22372 df-nei 22449 df-lp 22487 df-perf 22488 df-cn 22578 df-cnp 22579 df-haus 22666 df-cmp 22738 df-tx 22913 df-hmeo 23106 df-fil 23197 df-fm 23289 df-flim 23290 df-flf 23291 df-xms 23673 df-ms 23674 df-tms 23675 df-cncf 24241 df-limc 25230 df-dv 25231 df-ulm 25736 df-log 25912

This theorem is referenced by: stirlinglem7 44311

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