Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem6 44310
Description: A series that converges to log((𝑁 + 1) / 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑗,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
2 eqid 2736 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))
3 eqid 2736 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
4 stirlinglem6.1 . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
5 eqid 2736 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
6 2re 12227 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8 nnre 12160 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 11185 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10 0le2 12255 . . . . . . 7 0 ≤ 2
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
12 0red 11158 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
13 nngt0 12184 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
1412, 8, 13ltled 11303 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
157, 8, 11, 14mulge0d 11732 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
169, 15ge0p1rpd 12987 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
1716rpreccld 12967 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ+)
18 1red 11156 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
1918renegcld 11582 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
2017rpred 12957 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
21 neg1lt0 12270 . . . . . 6 -1 < 0
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
2317rpgt0d 12960 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
2419, 12, 20, 22, 23lttrd 11316 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
25 1rp 12919 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
2625a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
27 1cnd 11150 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2827div1d 11923 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
29 2rp 12920 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31 nnrp 12926 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 12973 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
3318, 32ltaddrp2d 12991 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
3428, 33eqbrtrd 5127 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < ((2 · 𝑁) + 1))
3526, 16, 34ltrec1d 12977 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)
3620, 18absltd 15314 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1 ↔ (-1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)))
3724, 35, 36mpbir2and 711 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1)
381, 2, 3, 4, 5, 17, 37stirlinglem5 44309 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))))
39 2cnd 12231 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
40 nncn 12161 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4139, 40mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
4241, 27addcld 11174 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
439, 18readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
44 2pos 12256 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
467, 8, 45, 13mulgt0d 11310 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
479ltp1d 12085 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) < ((2 · 𝑁) + 1))
4812, 9, 43, 46, 47lttrd 11316 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
4948gt0ne0d 11719 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
5042, 49dividd 11929 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
5150eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5251oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5351oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5452, 53oveq12d 7375 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
5542, 27, 42, 49divdird 11969 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5655eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5742, 27, 42, 49divsubdird 11970 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
5857eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
5956, 58oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))))
6041, 27, 27addassd 11177 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
61 1p1e2 12278 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
6362oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
6439mulid1d 11172 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
6564eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
6665oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6739, 40, 27adddid 11179 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
6866, 67eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
6960, 63, 683eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = (2 · (𝑁 + 1)))
7069oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)))
7141, 27pncand 11513 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
7271oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1)))
7370, 72oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
7459, 73eqtrd 2776 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
7540, 27addcld 11174 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7639, 75mulcld 11175 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7746gt0ne0d 11719 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ≠ 0)
7876, 41, 42, 77, 49divcan7d 11959 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
7945gt0ne0d 11719 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
8013gt0ne0d 11719 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8139, 39, 75, 40, 79, 80divmuldivd 11972 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
8281eqcomd 2742 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)) = ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
8339, 79dividd 11929 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 2) = 1)
8483oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
8575, 40, 80divcld 11931 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
8685mulid2d 11173 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8784, 86eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8878, 82, 873eqtrd 2780 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
8954, 74, 883eqtrd 2780 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
9089fveq2d 6846 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
9138, 90breqtrd 5131 1 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  +crp 12915  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736  df-log 25912
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  44311
  Copyright terms: Public domain W3C validator