stirlinglem6 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem6 46070

Description: A series that converges to log((𝑁 + 1) / 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
stirlinglem6.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Distinct variable group: 𝑗,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐻(𝑗)

**Proof of Theorem stirlinglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
4		stirlinglem6.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
6		2re 12236	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 12169	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11180	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10		0le2 12264	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
12		0red 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
13		nngt0 12193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	12, 8, 13	ltled 11298	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
15	7, 8, 11, 14	mulge0d 11731	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
16	9, 15	ge0p1rpd 13001	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpreccld 12981	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
18		1red 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
19	18	renegcld 11581	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
20	17	rpred 12971	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
21		neg1lt0 12150	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
23	17	rpgt0d 12974	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
24	19, 12, 20, 22, 23	lttrd 11311	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
25		1rp 12931	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ⁺)
27		1cnd 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11926	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
29		2rp 12932	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
31		nnrp 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
32	30, 31	rpmulcld 12987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
33	18, 32	ltaddrp2d 13005	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
34	28, 33	eqbrtrd 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < ((2 · 𝑁) + 1))
35	26, 16, 34	ltrec1d 12991	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)
36	20, 18	absltd 15374	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1 ↔ (-1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)))
37	24, 35, 36	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1)
38	1, 2, 3, 4, 5, 17, 37	stirlinglem5 46069	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))))
39		2cnd 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
40		nncn 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41	39, 40	mulcld 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
42	41, 27	addcld 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
43	9, 18	readdcld 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
44		2pos 12265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
46	7, 8, 45, 13	mulgt0d 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
47	9	ltp1d 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) < ((2 · 𝑁) + 1))
48	12, 9, 43, 46, 47	lttrd 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
49	48	gt0ne0d 11718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
50	42, 49	dividd 11932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
51	50	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
52	51	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
53	51	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
54	52, 53	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
55	42, 27, 42, 49	divdird 11972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
56	55	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
57	42, 27, 42, 49	divsubdird 11973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
58	57	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
59	56, 58	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))))
60	41, 27, 27	addassd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
61		1p1e2 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
63	62	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
64	39	mulridd 11167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
65	64	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
66	65	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
67	39, 40, 27	adddid 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
68	66, 67	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = (2 · (𝑁 + 1)))
70	69	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)))
71	41, 27	pncand 11510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
72	71	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1)))
73	70, 72	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
74	59, 73	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
75	40, 27	addcld 11169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
76	39, 75	mulcld 11170	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
77	46	gt0ne0d 11718	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ≠ 0)
78	76, 41, 42, 77, 49	divcan7d 11962	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
79	45	gt0ne0d 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
80	13	gt0ne0d 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
81	39, 39, 75, 40, 79, 80	divmuldivd 11975	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
82	81	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)) = ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
83	39, 79	dividd 11932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 2) = 1)
84	83	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
85	75, 40, 80	divcld 11934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
86	85	mullidd 11168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
87	84, 86	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
88	78, 82, 87	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
89	54, 74, 88	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
90	89	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
91	38, 90	breqtrd 5128	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5183 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 + caddc 11047 · cmul 11049 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 -cneg 11382 / cdiv 11811 ℕcn 12162 2c2 12217 ℕ₀cn0 12418 ℝ⁺crp 12927 seqcseq 13942 ↑cexp 14002 abscabs 15176 ⇝ cli 15426 logclog 26496

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-inf2 9570 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122 ax-addf 11123

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-of 7633 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-supp 8117 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-oadd 8415 df-er 8648 df-map 8778 df-pm 8779 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9289 df-fi 9338 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-xnn0 12492 df-z 12506 df-dec 12626 df-uz 12770 df-q 12884 df-rp 12928 df-xneg 13048 df-xadd 13049 df-xmul 13050 df-ioo 13286 df-ioc 13287 df-ico 13288 df-icc 13289 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-fl 13730 df-mod 13808 df-seq 13943 df-exp 14003 df-fac 14215 df-bc 14244 df-hash 14272 df-shft 15009 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-limsup 15413 df-clim 15430 df-rlim 15431 df-sum 15629 df-ef 16009 df-sin 16011 df-cos 16012 df-tan 16013 df-pi 16014 df-dvds 16199 df-struct 17093 df-sets 17110 df-slot 17128 df-ndx 17140 df-base 17156 df-ress 17177 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17361 df-topn 17362 df-0g 17380 df-gsum 17381 df-topgen 17382 df-pt 17383 df-prds 17386 df-xrs 17441 df-qtop 17446 df-imas 17447 df-xps 17449 df-mre 17523 df-mrc 17524 df-acs 17526 df-mgm 18549 df-sgrp 18628 df-mnd 18644 df-submnd 18693 df-mulg 18982 df-cntz 19231 df-cmn 19696 df-psmet 21288 df-xmet 21289 df-met 21290 df-bl 21291 df-mopn 21292 df-fbas 21293 df-fg 21294 df-cnfld 21297 df-top 22814 df-topon 22831 df-topsp 22853 df-bases 22866 df-cld 22939 df-ntr 22940 df-cls 22941 df-nei 23018 df-lp 23056 df-perf 23057 df-cn 23147 df-cnp 23148 df-haus 23235 df-cmp 23307 df-tx 23482 df-hmeo 23675 df-fil 23766 df-fm 23858 df-flim 23859 df-flf 23860 df-xms 24241 df-ms 24242 df-tms 24243 df-cncf 24804 df-limc 25800 df-dv 25801 df-ulm 26319 df-log 26498

This theorem is referenced by: stirlinglem7 46071

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