stirlinglem6 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem6 46084

Description: A series that converges to log((𝑁 + 1) / 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
stirlinglem6.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Distinct variable group: 𝑗,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐻(𝑗)

**Proof of Theorem stirlinglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
4		stirlinglem6.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
6		2re 12267	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 12200	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10		0le2 12295	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
12		0red 11184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
13		nngt0 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	12, 8, 13	ltled 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
15	7, 8, 11, 14	mulge0d 11762	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
16	9, 15	ge0p1rpd 13032	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpreccld 13012	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
18		1red 11182	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
19	18	renegcld 11612	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
20	17	rpred 13002	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
21		neg1lt0 12181	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
23	17	rpgt0d 13005	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
24	19, 12, 20, 22, 23	lttrd 11342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
25		1rp 12962	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ⁺)
27		1cnd 11176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11957	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
29		2rp 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
31		nnrp 12970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
32	30, 31	rpmulcld 13018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
33	18, 32	ltaddrp2d 13036	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
34	28, 33	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < ((2 · 𝑁) + 1))
35	26, 16, 34	ltrec1d 13022	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)
36	20, 18	absltd 15405	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1 ↔ (-1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)))
37	24, 35, 36	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1)
38	1, 2, 3, 4, 5, 17, 37	stirlinglem5 46083	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))))
39		2cnd 12271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
40		nncn 12201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41	39, 40	mulcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
42	41, 27	addcld 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
43	9, 18	readdcld 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
44		2pos 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
46	7, 8, 45, 13	mulgt0d 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
47	9	ltp1d 12120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) < ((2 · 𝑁) + 1))
48	12, 9, 43, 46, 47	lttrd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
49	48	gt0ne0d 11749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
50	42, 49	dividd 11963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
51	50	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
52	51	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
53	51	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
54	52, 53	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
55	42, 27, 42, 49	divdird 12003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
56	55	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
57	42, 27, 42, 49	divsubdird 12004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
58	57	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
59	56, 58	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))))
60	41, 27, 27	addassd 11203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
61		1p1e2 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
63	62	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
64	39	mulridd 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
65	64	eqcomd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
66	65	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
67	39, 40, 27	adddid 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
68	66, 67	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = (2 · (𝑁 + 1)))
70	69	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)))
71	41, 27	pncand 11541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
72	71	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1)))
73	70, 72	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
74	59, 73	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
75	40, 27	addcld 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
76	39, 75	mulcld 11201	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
77	46	gt0ne0d 11749	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ≠ 0)
78	76, 41, 42, 77, 49	divcan7d 11993	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
79	45	gt0ne0d 11749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
80	13	gt0ne0d 11749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
81	39, 39, 75, 40, 79, 80	divmuldivd 12006	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
82	81	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)) = ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
83	39, 79	dividd 11963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 2) = 1)
84	83	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
85	75, 40, 80	divcld 11965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
86	85	mullidd 11199	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
87	84, 86	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
88	78, 82, 87	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
89	54, 74, 88	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
90	89	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
91	38, 90	breqtrd 5136	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 -cneg 11413 / cdiv 11842 ℕcn 12193 2c2 12248 ℕ₀cn0 12449 ℝ⁺crp 12958 seqcseq 13973 ↑cexp 14033 abscabs 15207 ⇝ cli 15457 logclog 26470

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-inf2 9601 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-xnn0 12523 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-ioc 13318 df-ico 13319 df-icc 13320 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-fac 14246 df-bc 14275 df-hash 14303 df-shft 15040 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-limsup 15444 df-clim 15461 df-rlim 15462 df-sum 15660 df-ef 16040 df-sin 16042 df-cos 16043 df-tan 16044 df-pi 16045 df-dvds 16230 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17392 df-topn 17393 df-0g 17411 df-gsum 17412 df-topgen 17413 df-pt 17414 df-prds 17417 df-xrs 17472 df-qtop 17477 df-imas 17478 df-xps 17480 df-mre 17554 df-mrc 17555 df-acs 17557 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-submnd 18718 df-mulg 19007 df-cntz 19256 df-cmn 19719 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-fbas 21268 df-fg 21269 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cld 22913 df-ntr 22914 df-cls 22915 df-nei 22992 df-lp 23030 df-perf 23031 df-cn 23121 df-cnp 23122 df-haus 23209 df-cmp 23281 df-tx 23456 df-hmeo 23649 df-fil 23740 df-fm 23832 df-flim 23833 df-flf 23834 df-xms 24215 df-ms 24216 df-tms 24217 df-cncf 24778 df-limc 25774 df-dv 25775 df-ulm 26293 df-log 26472

This theorem is referenced by: stirlinglem7 46085

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