stirlinglem6 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem6 46070

Description: A series that converges to log((𝑁 + 1) / 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
stirlinglem6.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Distinct variable group: 𝑗,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐻(𝑗)

**Proof of Theorem stirlinglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
4		stirlinglem6.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
6		2re 12202	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 12135	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11145	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10		0le2 12230	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
12		0red 11118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
13		nngt0 12159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	12, 8, 13	ltled 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
15	7, 8, 11, 14	mulge0d 11697	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
16	9, 15	ge0p1rpd 12967	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpreccld 12947	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
18		1red 11116	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
19	18	renegcld 11547	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
20	17	rpred 12937	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
21		neg1lt0 12116	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
23	17	rpgt0d 12940	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
24	19, 12, 20, 22, 23	lttrd 11277	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
25		1rp 12897	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ⁺)
27		1cnd 11110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11892	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
29		2rp 12898	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
31		nnrp 12905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
32	30, 31	rpmulcld 12953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
33	18, 32	ltaddrp2d 12971	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
34	28, 33	eqbrtrd 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < ((2 · 𝑁) + 1))
35	26, 16, 34	ltrec1d 12957	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)
36	20, 18	absltd 15339	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1 ↔ (-1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)))
37	24, 35, 36	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1)
38	1, 2, 3, 4, 5, 17, 37	stirlinglem5 46069	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))))
39		2cnd 12206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
40		nncn 12136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41	39, 40	mulcld 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
42	41, 27	addcld 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
43	9, 18	readdcld 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
44		2pos 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
46	7, 8, 45, 13	mulgt0d 11271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
47	9	ltp1d 12055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) < ((2 · 𝑁) + 1))
48	12, 9, 43, 46, 47	lttrd 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
49	48	gt0ne0d 11684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
50	42, 49	dividd 11898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
51	50	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
52	51	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
53	51	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
54	52, 53	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
55	42, 27, 42, 49	divdird 11938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
56	55	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
57	42, 27, 42, 49	divsubdird 11939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
58	57	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
59	56, 58	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))))
60	41, 27, 27	addassd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
61		1p1e2 12248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
63	62	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
64	39	mulridd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
65	64	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
66	65	oveq2d 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
67	39, 40, 27	adddid 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
68	66, 67	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = (2 · (𝑁 + 1)))
70	69	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)))
71	41, 27	pncand 11476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
72	71	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1)))
73	70, 72	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
74	59, 73	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
75	40, 27	addcld 11134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
76	39, 75	mulcld 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
77	46	gt0ne0d 11684	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ≠ 0)
78	76, 41, 42, 77, 49	divcan7d 11928	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
79	45	gt0ne0d 11684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
80	13	gt0ne0d 11684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
81	39, 39, 75, 40, 79, 80	divmuldivd 11941	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
82	81	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)) = ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
83	39, 79	dividd 11898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 2) = 1)
84	83	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
85	75, 40, 80	divcld 11900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
86	85	mullidd 11133	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
87	84, 86	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
88	78, 82, 87	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
89	54, 74, 88	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
90	89	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
91	38, 90	breqtrd 5118	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5092 ↦ cmpt 5173 ‘cfv 6482 (class class class)co 7349 ℝcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 + caddc 11012 · cmul 11014 < clt 11149 ≤ cle 11150 − cmin 11347 -cneg 11348 / cdiv 11777 ℕcn 12128 2c2 12183 ℕ₀cn0 12384 ℝ⁺crp 12893 seqcseq 13908 ↑cexp 13968 abscabs 15141 ⇝ cli 15391 logclog 26461

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5218 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-inf2 9537 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087 ax-addf 11088

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4859 df-int 4897 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-se 5573 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-isom 6491 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-of 7613 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-supp 8094 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-1o 8388 df-2o 8389 df-oadd 8392 df-er 8625 df-map 8755 df-pm 8756 df-ixp 8825 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-fin 8876 df-fsupp 9252 df-fi 9301 df-sup 9332 df-inf 9333 df-oi 9402 df-card 9835 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-4 12193 df-5 12194 df-6 12195 df-7 12196 df-8 12197 df-9 12198 df-n0 12385 df-xnn0 12458 df-z 12472 df-dec 12592 df-uz 12736 df-q 12850 df-rp 12894 df-xneg 13014 df-xadd 13015 df-xmul 13016 df-ioo 13252 df-ioc 13253 df-ico 13254 df-icc 13255 df-fz 13411 df-fzo 13558 df-fl 13696 df-mod 13774 df-seq 13909 df-exp 13969 df-fac 14181 df-bc 14210 df-hash 14238 df-shft 14974 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143 df-limsup 15378 df-clim 15395 df-rlim 15396 df-sum 15594 df-ef 15974 df-sin 15976 df-cos 15977 df-tan 15978 df-pi 15979 df-dvds 16164 df-struct 17058 df-sets 17075 df-slot 17093 df-ndx 17105 df-base 17121 df-ress 17142 df-plusg 17174 df-mulr 17175 df-starv 17176 df-sca 17177 df-vsca 17178 df-ip 17179 df-tset 17180 df-ple 17181 df-ds 17183 df-unif 17184 df-hom 17185 df-cco 17186 df-rest 17326 df-topn 17327 df-0g 17345 df-gsum 17346 df-topgen 17347 df-pt 17348 df-prds 17351 df-xrs 17406 df-qtop 17411 df-imas 17412 df-xps 17414 df-mre 17488 df-mrc 17489 df-acs 17491 df-mgm 18514 df-sgrp 18593 df-mnd 18609 df-submnd 18658 df-mulg 18947 df-cntz 19196 df-cmn 19661 df-psmet 21253 df-xmet 21254 df-met 21255 df-bl 21256 df-mopn 21257 df-fbas 21258 df-fg 21259 df-cnfld 21262 df-top 22779 df-topon 22796 df-topsp 22818 df-bases 22831 df-cld 22904 df-ntr 22905 df-cls 22906 df-nei 22983 df-lp 23021 df-perf 23022 df-cn 23112 df-cnp 23113 df-haus 23200 df-cmp 23272 df-tx 23447 df-hmeo 23640 df-fil 23731 df-fm 23823 df-flim 23824 df-flf 23825 df-xms 24206 df-ms 24207 df-tms 24208 df-cncf 24769 df-limc 25765 df-dv 25766 df-ulm 26284 df-log 26463

This theorem is referenced by: stirlinglem7 46071

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