Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem6 44795
Description: A series that converges to log((๐‘ + 1) / ๐‘). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
Distinct variable group:   ๐‘—,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ป(๐‘—)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)))
2 eqid 2733 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))
3 eqid 2733 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) + (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) + (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)))
4 stirlinglem6.1 . . 3 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
5 eqid 2733 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—) + 1))
6 2re 12286 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
8 nnre 12219 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
97, 8remulcld 11244 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
10 0le2 12314 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
1110a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
12 0red 11217 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
13 nngt0 12243 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
1412, 8, 13ltled 11362 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
157, 8, 11, 14mulge0d 11791 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
169, 15ge0p1rpd 13046 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„+)
1716rpreccld 13026 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„+)
18 1red 11215 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1918renegcld 11641 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„)
2017rpred 13016 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
21 neg1lt0 12329 . . . . . 6 -1 < 0
2221a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < 0)
2317rpgt0d 13019 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
2419, 12, 20, 22, 23lttrd 11375 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
25 1rp 12978 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„+
2625a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
27 1cnd 11209 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2827div1d 11982 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) = 1)
29 2rp 12979 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
31 nnrp 12985 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
3230, 31rpmulcld 13032 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
3318, 32ltaddrp2d 13050 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
3428, 33eqbrtrd 5171 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) < ((2 ยท ๐‘) + 1))
3526, 16, 34ltrec1d 13036 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) < 1)
3620, 18absltd 15376 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((absโ€˜(1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) < 1 โ†” (-1 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆง (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) < 1)))
3724, 35, 36mpbir2and 712 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜(1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) < 1)
381, 2, 3, 4, 5, 17, 37stirlinglem5 44794 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))))
39 2cnd 12290 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
40 nncn 12220 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4139, 40mulcld 11234 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4241, 27addcld 11233 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
439, 18readdcld 11243 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
44 2pos 12315 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 2)
467, 8, 45, 13mulgt0d 11369 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘))
479ltp1d 12144 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4812, 9, 43, 46, 47lttrd 11375 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4948gt0ne0d 11778 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
5042, 49dividd 11988 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = 1)
5150eqcomd 2739 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 = (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5251oveq1d 7424 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5351oveq1d 7424 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5452, 53oveq12d 7427 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))))
5542, 27, 42, 49divdird 12028 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5655eqcomd 2739 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5742, 27, 42, 49divsubdird 12029 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5857eqcomd 2739 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5956, 58oveq12d 7427 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
6041, 27, 27addassd 11236 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
61 1p1e2 12337 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + 1) = 2)
6362oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
6439mulridd 11231 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) = 2)
6564eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 = (2 ยท 1))
6665oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6739, 40, 27adddid 11238 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6866, 67eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
6960, 63, 683eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
7069oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
7141, 27pncand 11572 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘))
7271oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
7370, 72oveq12d 7427 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
7459, 73eqtrd 2773 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
7540, 27addcld 11233 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
7639, 75mulcld 11234 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7746gt0ne0d 11778 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
7876, 41, 42, 77, 49divcan7d 12018 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)))
7945gt0ne0d 11778 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
8013gt0ne0d 11778 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
8139, 39, 75, 40, 79, 80divmuldivd 12031 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)))
8281eqcomd 2739 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)) = ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)))
8339, 79dividd 11988 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 / 2) = 1)
8483oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = (1 ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)))
8575, 40, 80divcld 11990 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
8685mullidd 11232 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8784, 86eqtrd 2773 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8878, 82, 873eqtrd 2777 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8954, 74, 883eqtrd 2777 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
9089fveq2d 6896 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))) = (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
9138, 90breqtrd 5175 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„+crp 12974  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181   โ‡ cli 15428  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  44796
  Copyright terms: Public domain W3C validator