Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem6 45093
Description: A series that converges to log((๐‘ + 1) / ๐‘). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
Distinct variable group:   ๐‘—,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ป(๐‘—)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)))
2 eqid 2730 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))
3 eqid 2730 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) + (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) + (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)))
4 stirlinglem6.1 . . 3 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
5 eqid 2730 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—) + 1))
6 2re 12290 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
8 nnre 12223 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
97, 8remulcld 11248 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
10 0le2 12318 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
1110a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
12 0red 11221 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
13 nngt0 12247 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
1412, 8, 13ltled 11366 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
157, 8, 11, 14mulge0d 11795 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
169, 15ge0p1rpd 13050 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„+)
1716rpreccld 13030 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„+)
18 1red 11219 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1918renegcld 11645 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„)
2017rpred 13020 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
21 neg1lt0 12333 . . . . . 6 -1 < 0
2221a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < 0)
2317rpgt0d 13023 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
2419, 12, 20, 22, 23lttrd 11379 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
25 1rp 12982 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„+
2625a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
27 1cnd 11213 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2827div1d 11986 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) = 1)
29 2rp 12983 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
31 nnrp 12989 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
3230, 31rpmulcld 13036 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
3318, 32ltaddrp2d 13054 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
3428, 33eqbrtrd 5169 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) < ((2 ยท ๐‘) + 1))
3526, 16, 34ltrec1d 13040 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) < 1)
3620, 18absltd 15380 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((absโ€˜(1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) < 1 โ†” (-1 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆง (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) < 1)))
3724, 35, 36mpbir2and 709 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜(1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) < 1)
381, 2, 3, 4, 5, 17, 37stirlinglem5 45092 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))))
39 2cnd 12294 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
40 nncn 12224 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4139, 40mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4241, 27addcld 11237 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
439, 18readdcld 11247 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
44 2pos 12319 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 2)
467, 8, 45, 13mulgt0d 11373 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘))
479ltp1d 12148 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4812, 9, 43, 46, 47lttrd 11379 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4948gt0ne0d 11782 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
5042, 49dividd 11992 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = 1)
5150eqcomd 2736 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 = (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5251oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5351oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5452, 53oveq12d 7429 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))))
5542, 27, 42, 49divdird 12032 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5655eqcomd 2736 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5742, 27, 42, 49divsubdird 12033 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5857eqcomd 2736 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5956, 58oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
6041, 27, 27addassd 11240 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
61 1p1e2 12341 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + 1) = 2)
6362oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
6439mulridd 11235 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) = 2)
6564eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 = (2 ยท 1))
6665oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6739, 40, 27adddid 11242 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6866, 67eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
6960, 63, 683eqtrd 2774 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
7069oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
7141, 27pncand 11576 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘))
7271oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
7370, 72oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
7459, 73eqtrd 2770 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
7540, 27addcld 11237 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
7639, 75mulcld 11238 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7746gt0ne0d 11782 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
7876, 41, 42, 77, 49divcan7d 12022 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)))
7945gt0ne0d 11782 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
8013gt0ne0d 11782 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
8139, 39, 75, 40, 79, 80divmuldivd 12035 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)))
8281eqcomd 2736 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)) = ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)))
8339, 79dividd 11992 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 / 2) = 1)
8483oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = (1 ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)))
8575, 40, 80divcld 11994 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
8685mullidd 11236 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8784, 86eqtrd 2770 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8878, 82, 873eqtrd 2774 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8954, 74, 883eqtrd 2774 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
9089fveq2d 6894 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))) = (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
9138, 90breqtrd 5173 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„+crp 12978  seqcseq 13970  โ†‘cexp 14031  abscabs 15185   โ‡ cli 15432  logclog 26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ulm 26125  df-log 26301
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  45094
  Copyright terms: Public domain W3C validator