stirlinglem6 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem6 43510

Description: A series that converges to log((𝑁 + 1) / 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
stirlinglem6.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Distinct variable group: 𝑗,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐻(𝑗)

**Proof of Theorem stirlinglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)) + (((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑𝑗) / 𝑗)))
4		stirlinglem6.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑((2 · 𝑗) + 1)))))
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑗 ∈ ℕ₀ ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
6		2re 11977	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 11910	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10		0le2 12005	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
12		0red 10909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
13		nngt0 11934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	12, 8, 13	ltled 11053	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
15	7, 8, 11, 14	mulge0d 11482	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
16	9, 15	ge0p1rpd 12731	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpreccld 12711	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ⁺)
18		1red 10907	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
19	18	renegcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
20	17	rpred 12701	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
21		neg1lt0 12020	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
23	17	rpgt0d 12704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
24	19, 12, 20, 22, 23	lttrd 11066	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))
25		1rp 12663	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ⁺)
27		1cnd 10901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11673	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) = 1)
29		2rp 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
31		nnrp 12670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
32	30, 31	rpmulcld 12717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
33	18, 32	ltaddrp2d 12735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
34	28, 33	eqbrtrd 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < ((2 · 𝑁) + 1))
35	26, 16, 34	ltrec1d 12721	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)
36	20, 18	absltd 15069	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1 ↔ (-1 < (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) < 1)))
37	24, 35, 36	mpbir2and 709	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / ((2 · 𝑁) + 1))) < 1)
38	1, 2, 3, 4, 5, 17, 37	stirlinglem5 43509	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))))
39		2cnd 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
40		nncn 11911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41	39, 40	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
42	41, 27	addcld 10925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
43	9, 18	readdcld 10935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
44		2pos 12006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
46	7, 8, 45, 13	mulgt0d 11060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
47	9	ltp1d 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) < ((2 · 𝑁) + 1))
48	12, 9, 43, 46, 47	lttrd 11066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
49	48	gt0ne0d 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
50	42, 49	dividd 11679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
51	50	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
52	51	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
53	51	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
54	52, 53	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))))
55	42, 27, 42, 49	divdird 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
56	55	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
57	42, 27, 42, 49	divsubdird 11720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))
58	57	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)))
59	56, 58	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))))
60	41, 27, 27	addassd 10928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1)))
61		1p1e2 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
63	62	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑁) + 2))
64	39	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
65	64	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
66	65	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
67	39, 40, 27	adddid 10930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1)))
68	66, 67	eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 2) = (2 · (𝑁 + 1)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = (2 · (𝑁 + 1)))
70	69	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)))
71	41, 27	pncand 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
72	71	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) = ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1)))
73	70, 72	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((((2 · 𝑁) + 1) − 1) / ((2 · 𝑁) + 1))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
74	59, 73	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / ((((2 · 𝑁) + 1) / ((2 · 𝑁) + 1)) − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))))
75	40, 27	addcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
76	39, 75	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
77	46	gt0ne0d 11469	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ≠ 0)
78	76, 41, 42, 77, 49	divcan7d 11709	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
79	45	gt0ne0d 11469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
80	13	gt0ne0d 11469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
81	39, 39, 75, 40, 79, 80	divmuldivd 11722	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)))
82	81	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 + 1)) / (2 · 𝑁)) = ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
83	39, 79	dividd 11679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 2) = 1)
84	83	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
85	75, 40, 80	divcld 11681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
86	85	mulid2d 10924	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
87	84, 86	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 2) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
88	78, 82, 87	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · (𝑁 + 1)) / ((2 · 𝑁) + 1)) / ((2 · 𝑁) / ((2 · 𝑁) + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
89	54, 74, 88	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1)))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
90	89	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((1 + (1 / ((2 · 𝑁) + 1))) / (1 − (1 / ((2 · 𝑁) + 1))))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
91	38, 90	breqtrd 5096	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5070 ↦ cmpt 5153 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℝcr 10801 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 -cneg 11136 / cdiv 11562 ℕcn 11903 2c2 11958 ℕ₀cn0 12163 ℝ⁺crp 12659 seqcseq 13649 ↑cexp 13710 abscabs 14873 ⇝ cli 15121 logclog 25615

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-inf2 9329 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880 ax-addf 10881 ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-int 4877 df-iun 4923 df-iin 4924 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-se 5536 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-isom 6427 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-of 7511 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-supp 7949 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-1o 8267 df-2o 8268 df-oadd 8271 df-er 8456 df-map 8575 df-pm 8576 df-ixp 8644 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-fin 8695 df-fsupp 9059 df-fi 9100 df-sup 9131 df-inf 9132 df-oi 9199 df-card 9628 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-4 11968 df-5 11969 df-6 11970 df-7 11971 df-8 11972 df-9 11973 df-n0 12164 df-xnn0 12236 df-z 12250 df-dec 12367 df-uz 12512 df-q 12618 df-rp 12660 df-xneg 12777 df-xadd 12778 df-xmul 12779 df-ioo 13012 df-ioc 13013 df-ico 13014 df-icc 13015 df-fz 13169 df-fzo 13312 df-fl 13440 df-mod 13518 df-seq 13650 df-exp 13711 df-fac 13916 df-bc 13945 df-hash 13973 df-shft 14706 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875 df-limsup 15108 df-clim 15125 df-rlim 15126 df-sum 15326 df-ef 15705 df-sin 15707 df-cos 15708 df-tan 15709 df-pi 15710 df-dvds 15892 df-struct 16776 df-sets 16793 df-slot 16811 df-ndx 16823 df-base 16841 df-ress 16868 df-plusg 16901 df-mulr 16902 df-starv 16903 df-sca 16904 df-vsca 16905 df-ip 16906 df-tset 16907 df-ple 16908 df-ds 16910 df-unif 16911 df-hom 16912 df-cco 16913 df-rest 17050 df-topn 17051 df-0g 17069 df-gsum 17070 df-topgen 17071 df-pt 17072 df-prds 17075 df-xrs 17130 df-qtop 17135 df-imas 17136 df-xps 17138 df-mre 17212 df-mrc 17213 df-acs 17215 df-mgm 18241 df-sgrp 18290 df-mnd 18301 df-submnd 18346 df-mulg 18616 df-cntz 18838 df-cmn 19303 df-psmet 20502 df-xmet 20503 df-met 20504 df-bl 20505 df-mopn 20506 df-fbas 20507 df-fg 20508 df-cnfld 20511 df-top 21951 df-topon 21968 df-topsp 21990 df-bases 22004 df-cld 22078 df-ntr 22079 df-cls 22080 df-nei 22157 df-lp 22195 df-perf 22196 df-cn 22286 df-cnp 22287 df-haus 22374 df-cmp 22446 df-tx 22621 df-hmeo 22814 df-fil 22905 df-fm 22997 df-flim 22998 df-flf 22999 df-xms 23381 df-ms 23382 df-tms 23383 df-cncf 23947 df-limc 24935 df-dv 24936 df-ulm 25441 df-log 25617

This theorem is referenced by: stirlinglem7 43511

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