Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem6 44785
Description: A series that converges to log((๐‘ + 1) / ๐‘). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
Distinct variable group:   ๐‘—,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ป(๐‘—)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)))
2 eqid 2732 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))
3 eqid 2732 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) + (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)) + (((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘๐‘—) / ๐‘—)))
4 stirlinglem6.1 . . 3 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘—) + 1)) ยท ((1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))))
5 eqid 2732 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—) + 1))
6 2re 12285 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
8 nnre 12218 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
97, 8remulcld 11243 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
10 0le2 12313 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
1110a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
12 0red 11216 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
13 nngt0 12242 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
1412, 8, 13ltled 11361 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
157, 8, 11, 14mulge0d 11790 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
169, 15ge0p1rpd 13045 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„+)
1716rpreccld 13025 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„+)
18 1red 11214 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1918renegcld 11640 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„)
2017rpred 13015 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
21 neg1lt0 12328 . . . . . 6 -1 < 0
2221a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < 0)
2317rpgt0d 13018 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
2419, 12, 20, 22, 23lttrd 11374 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
25 1rp 12977 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„+
2625a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
27 1cnd 11208 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2827div1d 11981 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) = 1)
29 2rp 12978 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
31 nnrp 12984 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
3230, 31rpmulcld 13031 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
3318, 32ltaddrp2d 13049 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
3428, 33eqbrtrd 5170 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 1) < ((2 ยท ๐‘) + 1))
3526, 16, 34ltrec1d 13035 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) < 1)
3620, 18absltd 15375 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((absโ€˜(1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) < 1 โ†” (-1 < (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆง (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)) < 1)))
3724, 35, 36mpbir2and 711 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜(1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) < 1)
381, 2, 3, 4, 5, 17, 37stirlinglem5 44784 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))))
39 2cnd 12289 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
40 nncn 12219 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4139, 40mulcld 11233 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4241, 27addcld 11232 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
439, 18readdcld 11242 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
44 2pos 12314 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < 2)
467, 8, 45, 13mulgt0d 11368 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘))
479ltp1d 12143 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4812, 9, 43, 46, 47lttrd 11374 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘) + 1))
4948gt0ne0d 11777 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
5042, 49dividd 11987 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = 1)
5150eqcomd 2738 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 = (((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5251oveq1d 7423 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5351oveq1d 7423 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5452, 53oveq12d 7426 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))))
5542, 27, 42, 49divdird 12027 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5655eqcomd 2738 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5742, 27, 42, 49divsubdird 12028 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
5857eqcomd 2738 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
5956, 58oveq12d 7426 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
6041, 27, 27addassd 11235 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)))
61 1p1e2 12336 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + 1) = 2)
6362oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + 2))
6439mulridd 11230 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) = 2)
6564eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 = (2 ยท 1))
6665oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6739, 40, 27adddid 11237 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) = ((2 ยท ๐‘) + (2 ยท 1)))
6866, 67eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
6960, 63, 683eqtrd 2776 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
7069oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
7141, 27pncand 11571 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘))
7271oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1)))
7370, 72oveq12d 7426 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆ’ 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
7459, 73eqtrd 2772 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / ((((2 ยท ๐‘) + 1) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))))
7540, 27addcld 11232 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
7639, 75mulcld 11233 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
7746gt0ne0d 11777 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
7876, 41, 42, 77, 49divcan7d 12017 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)))
7945gt0ne0d 11777 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
8013gt0ne0d 11777 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
8139, 39, 75, 40, 79, 80divmuldivd 12030 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)))
8281eqcomd 2738 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ + 1)) / (2 ยท ๐‘)) = ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)))
8339, 79dividd 11987 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 / 2) = 1)
8483oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = (1 ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)))
8575, 40, 80divcld 11989 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
8685mullidd 11231 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8784, 86eqtrd 2772 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 / 2) ยท ((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8878, 82, 873eqtrd 2776 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) / ((2 ยท ๐‘) / ((2 ยท ๐‘) + 1))) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
8954, 74, 883eqtrd 2776 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1)))) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
9089fveq2d 6895 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((1 + (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ((2 ยท ๐‘) + 1))))) = (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
9138, 90breqtrd 5174 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ seq0( + , ๐ป) โ‡ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ„+crp 12973  seqcseq 13965  โ†‘cexp 14026  abscabs 15180   โ‡ cli 15427  logclog 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-tan 16014  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-ulm 25888  df-log 26064
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  44786
  Copyright terms: Public domain W3C validator