Theorem ltsub23d 11046

Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltsub23d.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltsub23d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltsub23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsub23d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐶)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		ltsub23 10921	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) < 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) < 𝐵))
7	1, 6	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  ℝcr 10334   < clt 10474   − cmin 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479  df-sub 10672  df-neg 10673

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12700  lebnumii  23273  ivthlem3  23757  uniioombllem3  23889  dvferm2lem  24286  cosne0  24815  lgsquadlem1  25658  sgnsub  31454  mblfinlem3  34378  mblfinlem4  34379  ioodvbdlimc2lem  41655  stoweidlem26  41748  stoweidlem41  41763  fourierdlem107  41935