Theorem ltsub23d 11690

Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltsub23d.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltsub23d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltsub23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsub23d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐶)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		ltsub23 11565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) < 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) < 𝐵))
7	1, 6	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5100  (class class class)co 7346  ℝcr 10980   < clt 11119   − cmin 11315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-ltxr 11124  df-sub 11317  df-neg 11318

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13340  lebnumii  24239  ivthlem3  24727  uniioombllem3  24859  dvferm2lem  25260  cosne0  25795  lgsquadlem1  26638  sgnsub  32875  mblfinlem3  35972  mblfinlem4  35973  ioodvbdlimc2lem  43863  stoweidlem26  43955  stoweidlem41  43970  fourierdlem107  44142