MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosne0 25901
Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part -Ο€ / 2 and Ο€ / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosne0 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)

Proof of Theorem cosne0
StepHypRef Expression
1 halfpire 25837 . . . . . 6 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
21recni 11174 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
3 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 nncan 11435 . . . . 5 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
52, 3, 4sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
65fveq2d 6847 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (cosβ€˜π΄))
7 subcl 11405 . . . . 5 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
82, 3, 7sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
9 coshalfpim 25868 . . . 4 (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
108, 9syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
116, 10eqtr3d 2775 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
125adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
13 picn 25832 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
15 pire 25831 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
16 pipos 25833 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < Ο€
1715, 16gt0ne0ii 11696 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ β‰  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ο€ β‰  0)
198, 14, 18divcan1d 11937 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) = ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
2019adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) = ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
21 zre 12508 . . . . . . . . . . . 12 ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€ β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ)
23 remulcl 11141 . . . . . . . . . . 11 (((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) ∈ ℝ)
2422, 15, 23sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) ∈ ℝ)
2520, 24eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
26 resubcl 11470 . . . . . . . . 9 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
271, 25, 26sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
2812, 27eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2928rered 15115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (β„œβ€˜π΄) = 𝐴)
30 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
3129, 30eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
32 0zd 12516 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ∈ β„€)
33 elioore 13300 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
34 resubcl 11470 . . . . . . . 8 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
351, 33, 34sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
3615a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
37 eliooord 13329 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
3837simprd 497 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
39 posdif 11653 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) ↔ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
4033, 1, 39sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) ↔ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
4216a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < Ο€)
4335, 36, 41, 42divgt0d 12095 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€))
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
452negcli 11474 . . . . . . . . . . . 12 -(Ο€ / 2) ∈ β„‚
4613, 2negsubi 11484 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ + -(Ο€ / 2)) = (Ο€ βˆ’ (Ο€ / 2))
47 pidiv2halves 25840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ο€ / 2) + (Ο€ / 2)) = Ο€
4813, 2, 2, 47subaddrii 11495 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ βˆ’ (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
4946, 48eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ + -(Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
502, 13, 45, 49subaddrii 11495 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ / 2) βˆ’ Ο€) = -(Ο€ / 2)
5137simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ -(Ο€ / 2) < 𝐴)
5250, 51eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ Ο€) < 𝐴)
5344, 36, 33, 52ltsub23d 11765 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < Ο€)
5413mulid1i 11164 . . . . . . . . 9 (Ο€ Β· 1) = Ο€
5553, 54breqtrrdi 5148 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1))
56 1red 11161 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 1 ∈ ℝ)
57 ltdivmul 12035 . . . . . . . . 9 ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 < Ο€)) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1 ↔ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1)))
5835, 56, 36, 42, 57syl112anc 1375 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1 ↔ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1)))
5955, 58mpbird 257 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1)
60 1e0p1 12665 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
6159, 60breqtrdi 5147 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < (0 + 1))
62 btwnnz 12584 . . . . . 6 ((0 ∈ β„€ ∧ 0 < (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < (0 + 1)) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6332, 43, 61, 62syl3anc 1372 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6431, 63syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6564pm2.01da 798 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
66 sineq0 25896 . . . . 5 (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 0 ↔ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
678, 66syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 0 ↔ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
6867necon3abid 2977 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) β‰  0 ↔ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
6965, 68mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) β‰  0)
7011, 69eqnetrd 3008 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  β„€cz 12504  (,)cioo 13270  β„œcre 14988  sincsin 15951  cosccos 15952  Ο€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  tanord  25910  tanregt0  25911  atantan  26289  tan2h  36116  fourierdlem62  44495
  Copyright terms: Public domain W3C validator