MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosne0 26038
Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part -Ο€ / 2 and Ο€ / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosne0 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)

Proof of Theorem cosne0
StepHypRef Expression
1 halfpire 25974 . . . . . 6 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
21recni 11228 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
3 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 nncan 11489 . . . . 5 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
52, 3, 4sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
65fveq2d 6896 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (cosβ€˜π΄))
7 subcl 11459 . . . . 5 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
82, 3, 7sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
9 coshalfpim 26005 . . . 4 (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
108, 9syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
116, 10eqtr3d 2775 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
125adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
13 picn 25969 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
15 pire 25968 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
16 pipos 25970 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < Ο€
1715, 16gt0ne0ii 11750 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ β‰  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ο€ β‰  0)
198, 14, 18divcan1d 11991 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) = ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
2019adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) = ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
21 zre 12562 . . . . . . . . . . . 12 ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€ β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ)
23 remulcl 11195 . . . . . . . . . . 11 (((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) ∈ ℝ)
2422, 15, 23sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) ∈ ℝ)
2520, 24eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
26 resubcl 11524 . . . . . . . . 9 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
271, 25, 26sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
2812, 27eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2928rered 15171 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (β„œβ€˜π΄) = 𝐴)
30 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
3129, 30eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
32 0zd 12570 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ∈ β„€)
33 elioore 13354 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
34 resubcl 11524 . . . . . . . 8 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
351, 33, 34sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
3615a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
37 eliooord 13383 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
3837simprd 497 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
39 posdif 11707 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) ↔ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
4033, 1, 39sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) ↔ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
4216a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < Ο€)
4335, 36, 41, 42divgt0d 12149 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€))
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
452negcli 11528 . . . . . . . . . . . 12 -(Ο€ / 2) ∈ β„‚
4613, 2negsubi 11538 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ + -(Ο€ / 2)) = (Ο€ βˆ’ (Ο€ / 2))
47 pidiv2halves 25977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ο€ / 2) + (Ο€ / 2)) = Ο€
4813, 2, 2, 47subaddrii 11549 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ βˆ’ (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
4946, 48eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ + -(Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
502, 13, 45, 49subaddrii 11549 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ / 2) βˆ’ Ο€) = -(Ο€ / 2)
5137simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ -(Ο€ / 2) < 𝐴)
5250, 51eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ Ο€) < 𝐴)
5344, 36, 33, 52ltsub23d 11819 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < Ο€)
5413mulridi 11218 . . . . . . . . 9 (Ο€ Β· 1) = Ο€
5553, 54breqtrrdi 5191 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1))
56 1red 11215 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 1 ∈ ℝ)
57 ltdivmul 12089 . . . . . . . . 9 ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 < Ο€)) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1 ↔ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1)))
5835, 56, 36, 42, 57syl112anc 1375 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1 ↔ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1)))
5955, 58mpbird 257 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1)
60 1e0p1 12719 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
6159, 60breqtrdi 5190 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < (0 + 1))
62 btwnnz 12638 . . . . . 6 ((0 ∈ β„€ ∧ 0 < (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < (0 + 1)) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6332, 43, 61, 62syl3anc 1372 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6431, 63syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6564pm2.01da 798 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
66 sineq0 26033 . . . . 5 (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 0 ↔ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
678, 66syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 0 ↔ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
6867necon3abid 2978 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) β‰  0 ↔ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
6965, 68mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) β‰  0)
7011, 69eqnetrd 3009 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  β„œcre 15044  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  tanord  26047  tanregt0  26048  atantan  26428  tan2h  36480  fourierdlem62  44884
  Copyright terms: Public domain W3C validator