MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosne0 26274
Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part -Ο€ / 2 and Ο€ / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosne0 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)

Proof of Theorem cosne0
StepHypRef Expression
1 halfpire 26210 . . . . . 6 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
21recni 11232 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
3 simpl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 nncan 11493 . . . . 5 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
52, 3, 4sylancr 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
65fveq2d 6894 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (cosβ€˜π΄))
7 subcl 11463 . . . . 5 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
82, 3, 7sylancr 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
9 coshalfpim 26241 . . . 4 (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
108, 9syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
116, 10eqtr3d 2772 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) = (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
125adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 𝐴)
13 picn 26205 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
15 pire 26204 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
16 pipos 26206 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < Ο€
1715, 16gt0ne0ii 11754 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ β‰  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ο€ β‰  0)
198, 14, 18divcan1d 11995 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) = ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
2019adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) = ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
21 zre 12566 . . . . . . . . . . . 12 ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€ β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ)
2221adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ)
23 remulcl 11197 . . . . . . . . . . 11 (((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) ∈ ℝ)
2422, 15, 23sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) Β· Ο€) ∈ ℝ)
2520, 24eqeltrrd 2832 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
26 resubcl 11528 . . . . . . . . 9 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
271, 25, 26sylancr 585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
2812, 27eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2928rered 15175 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (β„œβ€˜π΄) = 𝐴)
30 simplr 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
3129, 30eqeltrrd 2832 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
32 0zd 12574 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ∈ β„€)
33 elioore 13358 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
34 resubcl 11528 . . . . . . . 8 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
351, 33, 34sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
3615a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
37 eliooord 13387 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
3837simprd 494 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
39 posdif 11711 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) ↔ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
4033, 1, 39sylancl 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) ↔ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴))
4216a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < Ο€)
4335, 36, 41, 42divgt0d 12153 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€))
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
452negcli 11532 . . . . . . . . . . . 12 -(Ο€ / 2) ∈ β„‚
4613, 2negsubi 11542 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ + -(Ο€ / 2)) = (Ο€ βˆ’ (Ο€ / 2))
47 pidiv2halves 26213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ο€ / 2) + (Ο€ / 2)) = Ο€
4813, 2, 2, 47subaddrii 11553 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ βˆ’ (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
4946, 48eqtri 2758 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ + -(Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
502, 13, 45, 49subaddrii 11553 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ / 2) βˆ’ Ο€) = -(Ο€ / 2)
5137simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ -(Ο€ / 2) < 𝐴)
5250, 51eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ Ο€) < 𝐴)
5344, 36, 33, 52ltsub23d 11823 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < Ο€)
5413mulridi 11222 . . . . . . . . 9 (Ο€ Β· 1) = Ο€
5553, 54breqtrrdi 5189 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1))
56 1red 11219 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 1 ∈ ℝ)
57 ltdivmul 12093 . . . . . . . . 9 ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 < Ο€)) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1 ↔ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1)))
5835, 56, 36, 42, 57syl112anc 1372 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1 ↔ ((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) < (Ο€ Β· 1)))
5955, 58mpbird 256 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < 1)
60 1e0p1 12723 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
6159, 60breqtrdi 5188 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < (0 + 1))
62 btwnnz 12642 . . . . . 6 ((0 ∈ β„€ ∧ 0 < (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) < (0 + 1)) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6332, 43, 61, 62syl3anc 1369 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6431, 63syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) ∧ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
6564pm2.01da 795 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€)
66 sineq0 26269 . . . . 5 (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 0 ↔ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
678, 66syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) = 0 ↔ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
6867necon3abid 2975 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) β‰  0 ↔ Β¬ (((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴) / Ο€) ∈ β„€))
6965, 68mpbird 256 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) βˆ’ 𝐴)) β‰  0)
7011, 69eqnetrd 3006 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  (,)cioo 13328  β„œcre 15048  sincsin 16011  cosccos 16012  Ο€cpi 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  tanord  26283  tanregt0  26284  atantan  26664  tan2h  36783  fourierdlem62  45182
  Copyright terms: Public domain W3C validator