Theorem mhpsubg 22040

Description: Homogeneous polynomials form a subgroup of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpsubg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpsubg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem mhpsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpsubg.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
5	1, 2, 3, 4	mhpmpl 22031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃)))
7	6	ssrdv 3952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃))
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		mhpsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		mhpsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12		mhpsubg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	1, 8, 9, 10, 11, 12	mhp0cl 22033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (𝐻‘𝑁))
14	13	ne0d 4305	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ≠ ∅)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
16	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
18		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
20	1, 2, 15, 17, 18, 19	mhpaddcl 22038	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
21	20	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
23	1, 2, 22, 16, 4	mhpinvcl 22039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁))
24	21, 23	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))
25	24	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))
26	2	mplgrp 21926	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
27	10, 11, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
28	3, 15, 22	issubg2 19073	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻‘𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))))
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻‘𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))))
30	7, 14, 25, 29	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  SubGrpcsubg 19052   mPoly cmpl 21815   mHomP cmhp 22016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-psr 21818  df-mpl 21820  df-mhp 22023

This theorem is referenced by:  mhplss  22042