Theorem mhpsubg 22435

Description: Homogeneous polynomials form a subgroup of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpsubg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpsubg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem mhpsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpsubg.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
5	1, 2, 3, 4	mhpmpl 22426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
6	5	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃)))
7	6	ssrdv 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃))
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		mhpsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		mhpsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12		mhpsubg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	1, 8, 9, 10, 11, 12	mhp0cl 22428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (𝐻‘𝑁))
14	13	ne0d 4287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ≠ ∅)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
16	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
18		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
20	1, 2, 15, 17, 18, 19	mhpaddcl 22433	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
21	20	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
22		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
23	1, 2, 22, 16, 4	mhpinvcl 22434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁))
24	21, 23	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))
25	24	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))
26	2	mplgrp 22285	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
27	10, 11, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
28	3, 15, 22	issubg2 19313	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻‘𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))))
29	27, 28	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻‘𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))))
30	7, 14, 25, 29	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  {csn 4583   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8951  ℕcn 12304  ℕ₀cn0 12575  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  0_gc0g 17571  Grpcgrp 19105  inv_gcminusg 19106  SubGrpcsubg 19291   mPoly cmpl 22175   mHomP cmhp 22415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-subg 19294  df-psr 22178  df-mpl 22180  df-mhp 22418

This theorem is used by:  mhplss  22437