Theorem mhpsubg 22287

Description: Homogeneous polynomials form a subgroup of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpsubg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpsubg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem mhpsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpsubg.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
5	1, 2, 3, 4	mhpmpl 22278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
6	5	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃)))
7	6	ssrdv 3951	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃))
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		mhpsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		mhpsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12		mhpsubg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	1, 8, 9, 10, 11, 12	mhp0cl 22280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (𝐻‘𝑁))
14	13	ne0d 4303	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ≠ ∅)
15		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
16	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
18		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
19		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
20	1, 2, 15, 17, 18, 19	mhpaddcl 22285	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
21	20	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
22		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
23	1, 2, 22, 16, 4	mhpinvcl 22286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁))
24	21, 23	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))
25	24	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))
26	2	mplgrp 22137	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
27	10, 11, 26	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
28	3, 15, 22	issubg2 19210	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻‘𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))))
29	27, 28	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻‘𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))))
30	7, 14, 25, 29	mpbir3and 1359	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4594   × cxp 5662  ^◡ccnv 5663   “ cima 5667  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  ℕcn 12235  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17271  +_gcplusg 17312  0_gc0g 17494  Grpcgrp 19002  inv_gcminusg 19003  SubGrpcsubg 19188   mPoly cmpl 22027   mHomP cmhp 22267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-subg 19191  df-psr 22030  df-mpl 22032  df-mhp 22270

This theorem is referenced by:  mhplss  22289