MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpsubg 21098
Description: Homogeneous polynomials form a subgroup of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpsubg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsubg.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpsubg.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mhpsubg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
mhpsubg (𝜑 → (𝐻𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem mhpsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpsubg.h . . . . 5 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpsubg.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 mhpsubg.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝐼𝑉)
6 mhpsubg.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
8 mhpsubg.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑁))
111, 2, 3, 5, 7, 9, 10mhpmpl 21089 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
1211ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃)))
1312ssrdv 3912 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑁) ⊆ (Base‘𝑃))
14 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
15 eqid 2737 . . . 4 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
161, 14, 15, 4, 6, 8mhp0cl 21091 . . 3 (𝜑 → ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) ∈ (𝐻𝑁))
1716ne0d 4255 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑁) ≠ ∅)
18 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑃)
195adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝐼𝑉)
207adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
219adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑁))
23 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝐻𝑁))
241, 2, 18, 19, 20, 21, 22, 23mhpaddcl 21096 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝑁)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ (𝐻𝑁))
2524ralrimiva 3105 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝐻𝑁)(𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ (𝐻𝑁))
26 eqid 2737 . . . . 5 (invg𝑃) = (invg𝑃)
271, 2, 26, 5, 7, 9, 10mhpinvcl 21097 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) → ((invg𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻𝑁))
2825, 27jca 515 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐻𝑁)) → (∀𝑦 ∈ (𝐻𝑁)(𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ (𝐻𝑁) ∧ ((invg𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻𝑁)))
2928ralrimiva 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻𝑁)(𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ (𝐻𝑁) ∧ ((invg𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻𝑁)))
302mplgrp 20983 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
314, 6, 30syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
323, 18, 26issubg2 18563 . . 3 (𝑃 ∈ Grp → ((𝐻𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻𝑁)(𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ (𝐻𝑁) ∧ ((invg𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻𝑁)))))
3331, 32syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻𝑁)(𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ (𝐻𝑁) ∧ ((invg𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻𝑁)))))
3413, 17, 29, 33mpbir3and 1344 1 (𝜑 → (𝐻𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  {crab 3065  wss 3871  c0 4242  {csn 4546   × cxp 5554  ccnv 5555  cima 5559  cfv 6385  (class class class)co 7218  m cmap 8513  Fincfn 8631  cn 11835  0cn0 12095  Basecbs 16765  +gcplusg 16807  0gc0g 16949  Grpcgrp 18370  invgcminusg 18371  SubGrpcsubg 18542   mPoly cmpl 20870   mHomP cmhp 21074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-of 7474  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-supp 7909  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-er 8396  df-map 8515  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-fsupp 8991  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-nn 11836  df-2 11898  df-3 11899  df-4 11900  df-5 11901  df-6 11902  df-7 11903  df-8 11904  df-9 11905  df-n0 12096  df-z 12182  df-uz 12444  df-fz 13101  df-struct 16705  df-sets 16722  df-slot 16740  df-ndx 16750  df-base 16766  df-ress 16790  df-plusg 16820  df-mulr 16821  df-sca 16823  df-vsca 16824  df-tset 16826  df-0g 16951  df-mgm 18119  df-sgrp 18168  df-mnd 18179  df-grp 18373  df-minusg 18374  df-subg 18545  df-psr 20873  df-mpl 20875  df-mhp 21078
This theorem is referenced by:  mhplss  21100
  Copyright terms: Public domain W3C validator