Theorem mhpsubg 22382

Description: Homogeneous polynomials form a subgroup of the polynomials. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpsubg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpsubg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem mhpsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpsubg.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
5	1, 2, 3, 4	mhpmpl 22373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
6	5	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃)))
7	6	ssrdv 3940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃))
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		mhpsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		mhpsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12		mhpsubg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	1, 8, 9, 10, 11, 12	mhp0cl 22375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (𝐻‘𝑁))
14	13	ne0d 4291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ≠ ∅)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
16	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
18		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
20	1, 2, 15, 17, 18, 19	mhpaddcl 22380	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
21	20	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
23	1, 2, 22, 16, 4	mhpinvcl 22381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁))
24	21, 23	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))
25	24	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))
26	2	mplgrp 22232	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
27	10, 11, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
28	3, 15, 22	issubg2 19266	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻‘𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))))
29	27, 28	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ ((𝐻‘𝑁) ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (𝐻‘𝑁) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁)(∀𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁)(𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁) ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑥) ∈ (𝐻‘𝑁)))))
30	7, 14, 25, 29	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (SubGrp‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  inv_gcminusg 19059  SubGrpcsubg 19244   mPoly cmpl 22122   mHomP cmhp 22362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-mhp 22365

This theorem is used by:  mhplss  22384