![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divneg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Move negative sign inside of a division. (Contributed by NM, 17-Sep-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
divneg | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ -(๐ด / ๐ต) = (-๐ด / ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | reccl 11903 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (1 / ๐ต) โ โ) | |
2 | mulneg1 11674 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (1 / ๐ต) โ โ) โ (-๐ด ยท (1 / ๐ต)) = -(๐ด ยท (1 / ๐ต))) | |
3 | 1, 2 | sylan2 592 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (-๐ด ยท (1 / ๐ต)) = -(๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
4 | 3 | 3impb 1113 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (-๐ด ยท (1 / ๐ต)) = -(๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
5 | negcl 11484 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -๐ด โ โ) | |
6 | divrec 11912 | . . 3 โข ((-๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (-๐ด / ๐ต) = (-๐ด ยท (1 / ๐ต))) | |
7 | 5, 6 | syl3an1 1161 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (-๐ด / ๐ต) = (-๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
8 | divrec 11912 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) | |
9 | 8 | negeqd 11478 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ -(๐ด / ๐ต) = -(๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
10 | 4, 7, 9 | 3eqtr4rd 2779 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ -(๐ด / ๐ต) = (-๐ด / ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2936 (class class class)co 7414 โcc 11130 0cc0 11132 1c1 11133 ยท cmul 11137 -cneg 11469 / cdiv 11895 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 |
This theorem is referenced by: divsubdir 11932 divsubdiv 11954 div2neg 11961 divneg2 11962 divnegd 12027 zeo 12672 efi4p 16107 sinneg 16116 tanneg 16118 cos2bnd 16158 cxpsqrtlem 26629 1cubrlem 26766 atancj 26835 efiatan 26837 atantan 26848 atanbndlem 26850 log2cnv 26869 ppiub 27130 quad3 35268 cos2h 37078 tan2h 37079 lhe4.4ex1a 43760 dirkertrigeqlem3 45482 fourierdlem62 45550 fourierdlem103 45591 fourierswlem 45612 enege 46979 onego 46980 0nodd 47226 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |