Theorem divneg 12009

Description: Move negative sign inside of a division. (Contributed by NM, 17-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
divneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccl 11982	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
2		mulneg1 11753	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℂ) → ( -𝐴 · (1 / 𝐵)) = -(𝐴 · (1 / 𝐵)))
3	1, 2	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ( -𝐴 · (1 / 𝐵)) = -(𝐴 · (1 / 𝐵)))
4	3	3impb 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ( -𝐴 · (1 / 𝐵)) = -(𝐴 · (1 / 𝐵)))
5		negcl 11558	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
6		divrec 11991	. . 3 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ( -𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 · (1 / 𝐵)))
7	5, 6	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ( -𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 · (1 / 𝐵)))
8		divrec 11991	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
9	8	negeqd 11552	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = -(𝐴 · (1 / 𝐵)))
10	4, 7, 9	3eqtr4rd 2807	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  0cc0 11201  1c1 11202   · cmul 11206   -cneg 11543   / cdiv 11974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975

This theorem is used by:  divsubdir  12011  divsubdiv  12034  div2neg  12041  divneg2  12042  divnegd  12107  zeo  12786  efi4p  16306  sinneg  16315  tanneg  16317  cos2bnd  16357  cxpsqrtlem  27031  1cubrlem  27170  atancj  27239  efiatan  27241  atantan  27252  atanbndlem  27254  log2cnv  27273  ppiub  27532  quad3  36436  cos2h  38536  tan2h  38537  lhe4.4ex1a  45314  dirkertrigeqlem3  47111  fourierdlem62  47179  fourierdlem103  47220  fourierswlem  47241  enege  48744  onego  48745  0nodd  49268  dvcot  50859