Theorem divneg 12048

Description: Move negative sign inside of a division. (Contributed by NM, 17-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
divneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccl 12021	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
2		mulneg1 11791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℂ) → ( -𝐴 · (1 / 𝐵)) = -(𝐴 · (1 / 𝐵)))
3	1, 2	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ( -𝐴 · (1 / 𝐵)) = -(𝐴 · (1 / 𝐵)))
4	3	3impb 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ( -𝐴 · (1 / 𝐵)) = -(𝐴 · (1 / 𝐵)))
5		negcl 11596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
6		divrec 12030	. . 3 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ( -𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 · (1 / 𝐵)))
7	5, 6	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ( -𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 · (1 / 𝐵)))
8		divrec 12030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
9	8	negeqd 11590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = -(𝐴 · (1 / 𝐵)))
10	4, 7, 9	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = ( -𝐴 / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   -cneg 11581   / cdiv 12013

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014

This theorem is used by:  divsubdir  12050  divsubdiv  12073  div2neg  12080  divneg2  12081  divnegd  12146  zeo  12825  efi4p  16349  sinneg  16358  tanneg  16360  cos2bnd  16400  cxpsqrtlem  27087  1cubrlem  27226  atancj  27295  efiatan  27297  atantan  27308  atanbndlem  27310  log2cnv  27329  ppiub  27588  quad3  36643  cos2h  38802  tan2h  38803  lhe4.4ex1a  45574  dirkertrigeqlem3  47383  fourierdlem62  47451  fourierdlem103  47492  fourierswlem  47513  enege  49016  onego  49017  0nodd  49540  bru3eq  49756  dvcot  51286