MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfleoddlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfleoddlt 16310
Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
halfleoddlt ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))

Proof of Theorem halfleoddlt
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16289 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2 0xr 11266 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„*
3 1xr 11278 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„*
4 halfre 12431 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) โˆˆ โ„
54rexri 11277 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) โˆˆ โ„*
62, 3, 53pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*)
7 halfgt0 12433 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
8 halflt1 12435 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) < 1
97, 8pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)
10 elioo3g 13358 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)))
116, 9, 10mpbir2an 708 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ (0(,)1)
12 zltaddlt1le 13487 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (1 / 2) โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
1311, 12mp3an3 1449 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
14 zcn 12568 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
16 1cnd 11214 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17 2cnne0 12427 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
19 muldivdir 11912 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
2120breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€))
2220breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
2313, 21, 223bitr4rd 312 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€))
24 oveq1 7419 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘ / 2))
2524breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€))
2624breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))
2725, 26bibi12d 345 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€) โ†” ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€)))
2823, 27syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€)))
2928ex 412 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3029adantl 481 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3130com23 86 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3231rexlimdva 3154 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
331, 32sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
34333imp 1110 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   / cdiv 11876  2c2 12272  โ„คcz 12563  (,)cioo 13329   โˆฅ cdvds 16202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-rp 12980  df-ioo 13333  df-dvds 16203
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  27105
  Copyright terms: Public domain W3C validator