MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfleoddlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfleoddlt 16178
Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
halfleoddlt ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))

Proof of Theorem halfleoddlt
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16157 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2 0xr 11135 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„*
3 1xr 11147 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„*
4 halfre 12300 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) โˆˆ โ„
54rexri 11146 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) โˆˆ โ„*
62, 3, 53pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*)
7 halfgt0 12302 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
8 halflt1 12304 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) < 1
97, 8pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)
10 elioo3g 13221 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)))
116, 9, 10mpbir2an 709 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ (0(,)1)
12 zltaddlt1le 13350 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (1 / 2) โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
1311, 12mp3an3 1450 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
14 zcn 12437 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
16 1cnd 11083 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17 2cnne0 12296 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
19 muldivdir 11781 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
2120breq1d 5113 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€))
2220breq1d 5113 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
2313, 21, 223bitr4rd 311 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€))
24 oveq1 7356 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘ / 2))
2524breq1d 5113 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€))
2624breq1d 5113 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))
2725, 26bibi12d 345 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€) โ†” ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€)))
2823, 27syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€)))
2928ex 413 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3029adantl 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3130com23 86 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3231rexlimdva 3150 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
331, 32sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
34333imp 1111 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989  โ„*cxr 11121   < clt 11122   โ‰ค cle 11123   / cdiv 11745  2c2 12141  โ„คcz 12432  (,)cioo 13192   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-z 12433  df-rp 12844  df-ioo 13196  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  26635
  Copyright terms: Public domain W3C validator