Theorem halfleoddlt 16309

Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
halfleoddlt	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))

Proof of Theorem halfleoddlt

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16288	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2		0xr 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		1xr 11277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4		halfre 12430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5	4	rexri 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
6	2, 3, 5	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
7		halfgt0 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
8		halflt1 12434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) < 1
9	7, 8	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
10		elioo3g 13357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
11	6, 9, 10	mpbir2an 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ (0(,)1)
12		zltaddlt1le 13486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ (0(,)1)) → ((𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
13	11, 12	mp3an3 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
14		zcn 12567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
15	14	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
16		1cnd 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
17		2cnne0 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
19		muldivdir 11911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
21	20	breq1d 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀))
22	20	breq1d 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
23	13, 21, 22	3bitr4rd 311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀))
24		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
25	24	breq1d 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) ≤ 𝑀))
26	24	breq1d 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))
27	25, 26	bibi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀) ↔ ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀)))
28	23, 27	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀)))
29	28	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
30	29	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
31	30	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
32	31	rexlimdva 3153	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
33	1, 32	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
34	33	3imp 1109	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  ℤcz 12562  (,)cioo 13328   ∥ cdvds 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-dvds 16202

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  27104