MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfleoddlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfleoddlt 16179
Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
halfleoddlt ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))

Proof of Theorem halfleoddlt
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16158 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2 0xr 11136 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„*
3 1xr 11148 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„*
4 halfre 12301 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) โˆˆ โ„
54rexri 11147 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) โˆˆ โ„*
62, 3, 53pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*)
7 halfgt0 12303 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
8 halflt1 12305 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) < 1
97, 8pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)
10 elioo3g 13222 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)))
116, 9, 10mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ (0(,)1)
12 zltaddlt1le 13351 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (1 / 2) โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
1311, 12mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
14 zcn 12438 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
1514adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
16 1cnd 11084 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17 2cnne0 12297 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
19 muldivdir 11782 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
2120breq1d 5114 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) < ๐‘€))
2220breq1d 5114 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘› + (1 / 2)) โ‰ค ๐‘€))
2313, 21, 223bitr4rd 312 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€))
24 oveq1 7357 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘ / 2))
2524breq1d 5114 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€))
2624breq1d 5114 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))
2725, 26bibi12d 346 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) < ๐‘€) โ†” ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€)))
2823, 27syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€)))
2928ex 414 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3029adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3130com23 86 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
3231rexlimdva 3151 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
331, 32sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))))
34333imp 1112 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  โ„*cxr 11122   < clt 11123   โ‰ค cle 11124   / cdiv 11746  2c2 12142  โ„คcz 12433  (,)cioo 13193   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-rp 12845  df-ioo 13197  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  26635
  Copyright terms: Public domain W3C validator