MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfleoddlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfleoddlt 16396
Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
halfleoddlt ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))

Proof of Theorem halfleoddlt
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16375 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 0xr 11306 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
3 1xr 11318 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ*
4 halfre 12478 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
54rexri 11317 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ*
62, 3, 53pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
7 halfgt0 12480 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
8 halflt1 12482 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) < 1
97, 8pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
10 elioo3g 13413 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
116, 9, 10mpbir2an 711 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ (0(,)1)
12 zltaddlt1le 13542 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ (0(,)1)) → ((𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
1311, 12mp3an3 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
14 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
16 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
17 2cnne0 12474 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
19 muldivdir 11958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
2120breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀))
2220breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
2313, 21, 223bitr4rd 312 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀))
24 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
2524breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) ≤ 𝑀))
2624breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))
2725, 26bibi12d 345 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀) ↔ ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀)))
2823, 27syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀)))
2928ex 412 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
3029adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
3130com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
3231rexlimdva 3153 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
331, 32sylbid 240 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
34333imp 1110 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  cz 12611  (,)cioo 13384  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  27424
  Copyright terms: Public domain W3C validator