MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt1OLD 12124
Description: Obsolete version of mulgt1 12127 as of 29-Jun-2025. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulgt1OLD (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt1OLD
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴)
21a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴))
3 0lt1 11783 . . . . . . . . 9 0 < 1
4 0re 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
5 1re 11259 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6 lttr 11335 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1450 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
83, 7mpani 696 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
10 ltmul2 12116 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
1110biimpd 229 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
125, 11mp3an1 1447 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
1312exp32 420 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))))
1413impcom 407 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
159, 14syld 47 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
1615impd 410 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
17 ax-1rid 11223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1918breq1d 5158 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
2016, 19sylibd 239 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
212, 20jcad 512 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐴𝐴 < (𝐴 · 𝐵))))
22 remulcl 11238 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23 lttr 11335 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
245, 23mp3an1 1447 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
2522, 24syldan 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
2621, 25syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
2726imp 406 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator