Theorem mulgt1OLD 12048

Description: Obsolete version of mulgt1 12051 as of 29-Jun-2025. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulgt1OLD	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴))
3		0lt1 11707	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
4		0re 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		lttr 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
10		ltmul2 12040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
11	10	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
12	5, 11	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
13	12	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))))
14	13	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
15	9, 14	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
16	15	impd 410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
17		ax-1rid 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
19	18	breq1d 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
20	16, 19	sylibd 239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
21	2, 20	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))))
22		remulcl 11160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23		lttr 11257	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
24	5, 23	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
25	22, 24	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
26	21, 25	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
27	26	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by: (None)