MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0neg1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt0neg1d 11197
Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lt0neg1d (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))

Proof of Theorem lt0neg1d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt0neg1 11134 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wcel 2105   class class class wbr 5057  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663  -cneg 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  recgt0  11474  prodge0rd  12484  expneg  13425  discr1  13588  bitsfzo  15772  subgmulg  18231  xrhmeo  23477  mbfmulc2lem  24175  mbfposr  24180  dvferm2lem  24510  dvferm2  24511  sincosq4sgn  25014  tanabsge  25019  sinq34lt0t  25022  tanord  25049  argimlt0  25123  logdmnrp  25151  atanlogsub  25421  atantan  25428  lgsdilem  25827  ostth3  26141  sgnmul  31699  fdvneggt  31770  oexpreposd  39057  elpell14qr2  39337  jm2.24  39438  mulltgt0  41156  lt0neg1dd  41535  fourierdlem43  42312  fourierdlem44  42313  fourierdlem92  42360  fourierdlem109  42377  requad01  43663
  Copyright terms: Public domain W3C validator