MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0neg1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt0neg1d 11202
Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lt0neg1d (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))

Proof of Theorem lt0neg1d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt0neg1 11139 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2112   class class class wbr 5033  cr 10529  0cc0 10530   < clt 10668  -cneg 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866
This theorem is referenced by:  recgt0  11479  prodge0rd  12488  expneg  13437  discr1  13600  bitsfzo  15777  subgmulg  18288  xrhmeo  23554  mbfmulc2lem  24254  mbfposr  24259  dvferm2lem  24592  dvferm2  24593  sincosq4sgn  25097  tanabsge  25102  sinq34lt0t  25105  tanord  25133  argimlt0  25207  logdmnrp  25235  atanlogsub  25505  atantan  25512  lgsdilem  25911  ostth3  26225  sgnmul  31908  fdvneggt  31979  oexpreposd  39474  elpell14qr2  39790  jm2.24  39891  mulltgt0  41638  lt0neg1dd  42010  fourierdlem43  42779  fourierdlem44  42780  fourierdlem92  42827  fourierdlem109  42844  requad01  44126
  Copyright terms: Public domain W3C validator