Theorem fsumcnf 45455

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous, without disjoint var constraint x ph. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcnf.1	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcnf.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsumcnf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fsumcnf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfcsb1v 3862	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
4	2, 3	nfsum 15615	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
5		csbeq1a 3852	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	sumeq2sdv 15627	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
7	1, 4, 6	cbvmpt 5188	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
8		fsumcnf.1	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
9		fsumcnf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		fsumcnf.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
12	11, 3, 5	cbvmpt 5188	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13		fsumcnf.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
14	12, 13	eqeltrrid 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
15	8, 9, 10, 14	fsumcn 24815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16	7, 15	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3838   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  Σcsu 15610  TopOpenctopn 17342  ℂ_fldccnfld 21311  TopOnctopon 22853   Cn ccn 23167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-sum 15611  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265

This theorem is referenced by:  refsumcn  45464  fsumcncf  46310