Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumcnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcnf 41507
 Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous, without disjoint var constraint x ph. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcnf.1 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcnf.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcnf.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcnf.4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcnf (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fsumcnf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2982 . . 3 𝑦Σ𝑘𝐴 𝐵
2 nfcv 2982 . . . 4 𝑥𝐴
3 nfcsb1v 3890 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
42, 3nfsum 15043 . . 3 𝑥Σ𝑘𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
5 csbeq1a 3880 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
65sumeq2sdv 15057 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
71, 4, 6cbvmpt 5153 . 2 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
8 fsumcnf.1 . . 3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
9 fsumcnf.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 fsumcnf.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 nfcv 2982 . . . . 5 𝑦𝐵
1211, 3, 5cbvmpt 5153 . . . 4 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
13 fsumcnf.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1412, 13eqeltrrid 2921 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
158, 9, 10, 14fsumcn 23471 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
167, 15eqeltrid 2920 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ⦋csb 3866   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  Fincfn 8499  Σcsu 15038  TopOpenctopn 16691  ℂfldccnfld 20538  TopOnctopon 21511   Cn ccn 21825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-cnfld 20539  df-top 21495  df-topon 21512  df-topsp 21534  df-bases 21547  df-cn 21828  df-cnp 21829  df-tx 22163  df-hmeo 22356  df-xms 22923  df-ms 22924  df-tms 22925 This theorem is referenced by:  refsumcn  41516  fsumcncf  42383
 Copyright terms: Public domain W3C validator