MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulneg1d 11081
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulneg1d (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 mulneg1 11064 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523   · cmul 10530  -cneg 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  divsubdiv  11344  recgt0  11474  xmulneg1  12650  expmulz  13463  discr1  13588  iseraltlem3  15028  incexclem  15179  incexc  15180  mulgass  18202  cphipval  23773  mbfmulc2lem  24175  mbfmulc2  24191  itg2monolem1  24278  itgmulc2  24361  dvrecg  24497  dvmptdiv  24498  dvexp3  24502  dvfsumlem2  24551  aaliou3lem2  24859  advlogexp  25165  logtayl2  25172  dcubic2  25349  dcubic  25351  ftalem5  25581  lgsdilem  25827  2sqlem4  25924  pntrsumo1  26068  pntrlog2bndlem4  26083  brbtwn2  26618  colinearalglem4  26622  axeuclidlem  26675  logdivsqrle  31820  fwddifnp1  33523  itgmulc2nc  34841  3cubeslem3r  39162  pellexlem6  39309  jm2.19lem1  39464  jm2.19lem4  39467  jm2.19  39468  binomcxplemnotnn0  40565  sineq0ALT  41148  mulltgt0  41156  fperiodmul  41447  cosknegpi  42026  itgsinexplem1  42115  stoweidlem13  42175  stoweidlem42  42204  fourierdlem39  42308  fourierdlem41  42310  fourierdlem48  42316  fourierdlem49  42317  fourierdlem64  42332  etransclem46  42442  eenglngeehlnmlem1  44652  eenglngeehlnmlem2  44653  rrx2linest  44657  rrx2linest2  44659  line2  44667  itscnhlc0yqe  44674  itschlc0yqe  44675  itsclc0yqsol  44679  itsclinecirc0b  44689  itsclquadb  44691
  Copyright terms: Public domain W3C validator