Theorem mulneg1d 11705

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11688	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   · cmul 11151  -cneg 11483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11968  recgt0  12098  xmulneg1  13288  expmulz  14113  discr1  14241  iseraltlem3  15670  incexclem  15822  incexc  15823  mulgass  19073  cphipval  25191  mbfmulc2lem  25596  mbfmulc2  25612  itg2monolem1  25700  itgmulc2  25783  dvrecg  25925  dvmptdiv  25926  dvexp3  25930  dvfsumlem2  25981  dvfsumlem2OLD  25982  aaliou3lem2  26298  advlogexp  26609  logtayl2  26616  dcubic2  26796  dcubic  26798  ftalem5  27029  lgsdilem  27277  2sqlem4  27374  pntrsumo1  27518  pntrlog2bndlem4  27533  brbtwn2  28736  colinearalglem4  28740  axeuclidlem  28793  logdivsqrle  34315  fwddifnp1  35794  itgmulc2nc  37194  lcmineqlem10  41541  3cubeslem3r  42138  pellexlem6  42285  jm2.19lem1  42441  jm2.19lem4  42444  jm2.19  42445  binomcxplemnotnn0  43824  sineq0ALT  44407  mulltgt0  44415  fperiodmul  44715  cosknegpi  45286  itgsinexplem1  45371  stoweidlem13  45430  stoweidlem42  45459  fourierdlem39  45563  fourierdlem41  45565  fourierdlem48  45571  fourierdlem49  45572  fourierdlem64  45587  etransclem46  45697  eenglngeehlnmlem1  47888  eenglngeehlnmlem2  47889  rrx2linest  47893  rrx2linest2  47895  line2  47903  itscnhlc0yqe  47910  itschlc0yqe  47911  itsclc0yqsol  47915  itsclinecirc0b  47925  itsclquadb  47927