Theorem mulneg1d 11690

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11673	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   · cmul 11134  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11957  recgt0  12087  xmulneg1  13285  expmulz  14126  discr1  14257  iseraltlem3  15700  incexclem  15852  incexc  15853  mulgass  19094  cphipval  25195  mbfmulc2lem  25600  mbfmulc2  25616  itg2monolem1  25703  itgmulc2  25787  dvrecg  25929  dvmptdiv  25930  dvexp3  25934  dvfsumlem2  25985  dvfsumlem2OLD  25986  aaliou3lem2  26303  advlogexp  26616  logtayl2  26623  dcubic2  26806  dcubic  26808  ftalem5  27039  lgsdilem  27287  2sqlem4  27384  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem4  27543  brbtwn2  28884  colinearalglem4  28888  axeuclidlem  28941  constrrtcc  33769  constrreinvcl  33806  cos9thpiminplylem1  33816  cos9thpiminplylem2  33817  logdivsqrle  34682  fwddifnp1  36183  itgmulc2nc  37712  lcmineqlem10  42051  3cubeslem3r  42710  pellexlem6  42857  jm2.19lem1  43013  jm2.19lem4  43016  jm2.19  43017  binomcxplemnotnn0  44380  sineq0ALT  44961  mulltgt0  45046  fperiodmul  45333  cosknegpi  45898  itgsinexplem1  45983  stoweidlem13  46042  stoweidlem42  46071  fourierdlem39  46175  fourierdlem41  46177  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem64  46199  etransclem46  46309  eenglngeehlnmlem1  48717  eenglngeehlnmlem2  48718  rrx2linest  48722  rrx2linest2  48724  line2  48732  itscnhlc0yqe  48739  itschlc0yqe  48740  itsclc0yqsol  48744  itsclinecirc0b  48754  itsclquadb  48756