Theorem mulneg1d 11713

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11696	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   · cmul 11157  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11980  recgt0  12110  xmulneg1  13307  expmulz  14145  discr1  14274  iseraltlem3  15716  incexclem  15868  incexc  15869  mulgass  19141  cphipval  25290  mbfmulc2lem  25695  mbfmulc2  25711  itg2monolem1  25799  itgmulc2  25883  dvrecg  26025  dvmptdiv  26026  dvexp3  26030  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  aaliou3lem2  26399  advlogexp  26711  logtayl2  26718  dcubic2  26901  dcubic  26903  ftalem5  27134  lgsdilem  27382  2sqlem4  27479  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem4  27638  brbtwn2  28934  colinearalglem4  28938  axeuclidlem  28991  constrrtcc  33740  logdivsqrle  34643  fwddifnp1  36146  itgmulc2nc  37674  lcmineqlem10  42019  3cubeslem3r  42674  pellexlem6  42821  jm2.19lem1  42977  jm2.19lem4  42980  jm2.19  42981  binomcxplemnotnn0  44351  sineq0ALT  44934  mulltgt0  44959  fperiodmul  45254  cosknegpi  45824  itgsinexplem1  45909  stoweidlem13  45968  stoweidlem42  45997  fourierdlem39  46101  fourierdlem41  46103  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem64  46125  etransclem46  46235  eenglngeehlnmlem1  48586  eenglngeehlnmlem2  48587  rrx2linest  48591  rrx2linest2  48593  line2  48601  itscnhlc0yqe  48608  itschlc0yqe  48609  itsclc0yqsol  48613  itsclinecirc0b  48623  itsclquadb  48625