Theorem mulneg1d 11594

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11577	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   · cmul 11034  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11862  recgt0  11992  xmulneg1  13212  expmulz  14061  discr1  14192  iseraltlem3  15637  incexclem  15792  incexc  15793  mulgass  19078  cphipval  25220  mbfmulc2lem  25624  mbfmulc2  25640  itg2monolem1  25727  itgmulc2  25811  dvrecg  25950  dvmptdiv  25951  dvexp3  25955  dvfsumlem2  26004  aaliou3lem2  26320  advlogexp  26632  logtayl2  26639  dcubic2  26821  dcubic  26823  ftalem5  27054  lgsdilem  27301  2sqlem4  27398  pntrsumo1  27542  pntrlog2bndlem4  27557  brbtwn2  28988  colinearalglem4  28992  axeuclidlem  29045  constrrtcc  33895  constrreinvcl  33932  cos9thpiminplylem1  33942  cos9thpiminplylem2  33943  logdivsqrle  34810  fwddifnp1  36363  itgmulc2nc  38023  lcmineqlem10  42491  3cubeslem3r  43133  pellexlem6  43280  jm2.19lem1  43435  jm2.19lem4  43438  jm2.19  43439  binomcxplemnotnn0  44801  sineq0ALT  45381  mulltgt0  45471  fperiodmul  45755  cosknegpi  46315  itgsinexplem1  46400  stoweidlem13  46459  stoweidlem42  46488  fourierdlem39  46592  fourierdlem41  46594  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem64  46616  etransclem46  46726  eenglngeehlnmlem1  49225  eenglngeehlnmlem2  49226  rrx2linest  49230  rrx2linest2  49232  line2  49240  itscnhlc0yqe  49247  itschlc0yqe  49248  itsclc0yqsol  49252  itsclinecirc0b  49262  itsclquadb  49264