Theorem mulneg1d 11667

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11650	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   · cmul 11115  -cneg 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11930  recgt0  12060  xmulneg1  13248  expmulz  14074  discr1  14202  iseraltlem3  15630  incexclem  15782  incexc  15783  mulgass  18991  cphipval  24760  mbfmulc2lem  25164  mbfmulc2  25180  itg2monolem1  25268  itgmulc2  25351  dvrecg  25490  dvmptdiv  25491  dvexp3  25495  dvfsumlem2  25544  aaliou3lem2  25856  advlogexp  26163  logtayl2  26170  dcubic2  26349  dcubic  26351  ftalem5  26581  lgsdilem  26827  2sqlem4  26924  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem4  27083  brbtwn2  28163  colinearalglem4  28167  axeuclidlem  28220  logdivsqrle  33662  fwddifnp1  35137  gg-dvfsumlem2  35183  itgmulc2nc  36556  lcmineqlem10  40903  3cubeslem3r  41425  pellexlem6  41572  jm2.19lem1  41728  jm2.19lem4  41731  jm2.19  41732  binomcxplemnotnn0  43115  sineq0ALT  43698  mulltgt0  43706  fperiodmul  44014  cosknegpi  44585  itgsinexplem1  44670  stoweidlem13  44729  stoweidlem42  44758  fourierdlem39  44862  fourierdlem41  44864  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem64  44886  etransclem46  44996  eenglngeehlnmlem1  47423  eenglngeehlnmlem2  47424  rrx2linest  47428  rrx2linest2  47430  line2  47438  itscnhlc0yqe  47445  itschlc0yqe  47446  itsclc0yqsol  47450  itsclinecirc0b  47460  itsclquadb  47462