Theorem mulneg1d 11762

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11745	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   · cmul 11198  -cneg 11535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  divsubdiv  12026  recgt0  12156  xmulneg1  13392  expmulz  14244  discr1  14376  iseraltlem3  15844  incexclem  15998  incexc  15999  mulgass  19314  cphipval  25557  mbfmulc2lem  25961  mbfmulc2  25977  itg2monolem1  26064  itgmulc2  26147  dvrecg  26286  dvmptdiv  26287  dvexp3  26291  dvfsumlem2  26340  aaliou3lem2  26663  advlogexp  26976  logtayl2  26983  dcubic2  27165  dcubic  27167  ftalem5  27397  lgsdilem  27644  2sqlem4  27741  pntrsumo1  27885  pntrlog2bndlem4  27900  brbtwn2  29476  colinearalglem4  29480  axeuclidlem  29533  constrrtcc  34360  constrreinvcl  34397  cos9thpiminplylem1  34407  cos9thpiminplylem2  34408  logdivsqrle  35272  fwddifnp1  36910  itgmulc2nc  38586  lcmineqlem10  43068  quadfac  43235  3cubeslem3r  43677  pellexlem6  43820  jm2.19lem1  43975  jm2.19lem4  43978  jm2.19  43979  binomcxplemnotnn0  45325  sineq0ALT  45904  mulltgt0  46008  fperiodmul  46289  cosknegpi  46848  itgsinexplem1  46933  stoweidlem13  46992  stoweidlem42  47021  fourierdlem39  47125  fourierdlem41  47127  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem64  47149  etransclem46  47259  eenglngeehlnmlem1  49818  eenglngeehlnmlem2  49819  rrx2linest  49823  rrx2linest2  49825  line2  49833  itscnhlc0yqe  49840  itschlc0yqe  49841  itsclc0yqsol  49845  itsclinecirc0b  49855  itsclquadb  49857  dvcsc  50826  dvcot  50827