Theorem mulneg1d 11773

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → ( -𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11756	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   · cmul 11209   -cneg 11546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  divsubdiv  12037  recgt0  12167  xmulneg1  13403  expmulz  14255  discr1  14387  iseraltlem3  15857  incexclem  16011  incexc  16012  mulgass  19327  cphipval  25570  mbfmulc2lem  25974  mbfmulc2  25990  itg2monolem1  26077  itgmulc2  26160  dvrecg  26299  dvmptdiv  26300  dvexp3  26304  dvfsumlem2  26353  aaliou3lem2  26676  advlogexp  26989  logtayl2  26996  dcubic2  27178  dcubic  27180  ftalem5  27410  lgsdilem  27657  2sqlem4  27754  pntrsumo1  27898  pntrlog2bndlem4  27913  brbtwn2  29489  colinearalglem4  29493  axeuclidlem  29546  constrrtcc  34414  constrreinvcl  34451  cos9thpiminplylem1  34461  cos9thpiminplylem2  34462  logdivsqrle  35326  fwddifnp1  37023  itgmulc2nc  38700  lcmineqlem10  43182  quadfac  43349  3cubeslem3r  43791  pellexlem6  43935  jm2.19lem1  44090  jm2.19lem4  44093  jm2.19  44094  binomcxplemnotnn0  45434  sineq0ALT  46013  mulltgt0  46133  fperiodmul  46414  cosknegpi  46973  itgsinexplem1  47058  stoweidlem13  47117  stoweidlem42  47146  fourierdlem39  47250  fourierdlem41  47252  fourierdlem48  47258  fourierdlem49  47259  fourierdlem64  47274  etransclem46  47384  eenglngeehlnmlem1  49944  eenglngeehlnmlem2  49945  rrx2linest  49948  rrx2linest2  49950  line2  49958  itscnhlc0yqe  49965  itschlc0yqe  49966  itsclc0yqsol  49970  itsclinecirc0b  49980  itsclquadb  49982  dvcsc  51026  dvcot  51027