Theorem mulneg1d 11601

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   · cmul 11041  -cneg 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11869  recgt0  11999  xmulneg1  13219  expmulz  14068  discr1  14199  iseraltlem3  15644  incexclem  15799  incexc  15800  mulgass  19085  cphipval  25235  mbfmulc2lem  25639  mbfmulc2  25655  itg2monolem1  25742  itgmulc2  25826  dvrecg  25965  dvmptdiv  25966  dvexp3  25970  dvfsumlem2  26019  aaliou3lem2  26334  advlogexp  26644  logtayl2  26651  dcubic2  26833  dcubic  26835  ftalem5  27065  lgsdilem  27312  2sqlem4  27409  pntrsumo1  27553  pntrlog2bndlem4  27568  brbtwn2  28999  colinearalglem4  29003  axeuclidlem  29056  constrrtcc  33926  constrreinvcl  33963  cos9thpiminplylem1  33973  cos9thpiminplylem2  33974  logdivsqrle  34841  fwddifnp1  36400  itgmulc2nc  38062  lcmineqlem10  42530  3cubeslem3r  43143  pellexlem6  43286  jm2.19lem1  43441  jm2.19lem4  43444  jm2.19  43445  binomcxplemnotnn0  44807  sineq0ALT  45387  mulltgt0  45477  fperiodmul  45759  cosknegpi  46319  itgsinexplem1  46404  stoweidlem13  46463  stoweidlem42  46492  fourierdlem39  46596  fourierdlem41  46598  fourierdlem48  46604  fourierdlem49  46605  fourierdlem64  46620  etransclem46  46730  eenglngeehlnmlem1  49235  eenglngeehlnmlem2  49236  rrx2linest  49240  rrx2linest2  49242  line2  49250  itscnhlc0yqe  49257  itschlc0yqe  49258  itsclc0yqsol  49262  itsclinecirc0b  49272  itsclquadb  49274