MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulneg1d 11613
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
mulnegd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mulneg1d (๐œ‘ โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulneg1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 mulnegd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mulneg1 11596 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
41, 2, 3syl2anc 585 1 (๐œ‘ โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   ยท cmul 11061  -cneg 11391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  divsubdiv  11876  recgt0  12006  xmulneg1  13194  expmulz  14020  discr1  14148  iseraltlem3  15574  incexclem  15726  incexc  15727  mulgass  18918  cphipval  24623  mbfmulc2lem  25027  mbfmulc2  25043  itg2monolem1  25131  itgmulc2  25214  dvrecg  25353  dvmptdiv  25354  dvexp3  25358  dvfsumlem2  25407  aaliou3lem2  25719  advlogexp  26026  logtayl2  26033  dcubic2  26210  dcubic  26212  ftalem5  26442  lgsdilem  26688  2sqlem4  26785  pntrsumo1  26929  pntrlog2bndlem4  26944  brbtwn2  27896  colinearalglem4  27900  axeuclidlem  27953  logdivsqrle  33320  fwddifnp1  34796  itgmulc2nc  36192  lcmineqlem10  40541  3cubeslem3r  41053  pellexlem6  41200  jm2.19lem1  41356  jm2.19lem4  41359  jm2.19  41360  binomcxplemnotnn0  42724  sineq0ALT  43307  mulltgt0  43315  fperiodmul  43625  cosknegpi  44196  itgsinexplem1  44281  stoweidlem13  44340  stoweidlem42  44369  fourierdlem39  44473  fourierdlem41  44475  fourierdlem48  44481  fourierdlem49  44482  fourierdlem64  44497  etransclem46  44607  eenglngeehlnmlem1  46909  eenglngeehlnmlem2  46910  rrx2linest  46914  rrx2linest2  46916  line2  46924  itscnhlc0yqe  46931  itschlc0yqe  46932  itsclc0yqsol  46936  itsclinecirc0b  46946  itsclquadb  46948
  Copyright terms: Public domain W3C validator