Theorem mulneg1d 11716

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11699	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   · cmul 11160  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11983  recgt0  12113  xmulneg1  13311  expmulz  14149  discr1  14278  iseraltlem3  15720  incexclem  15872  incexc  15873  mulgass  19129  cphipval  25277  mbfmulc2lem  25682  mbfmulc2  25698  itg2monolem1  25785  itgmulc2  25869  dvrecg  26011  dvmptdiv  26012  dvexp3  26016  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  aaliou3lem2  26385  advlogexp  26697  logtayl2  26704  dcubic2  26887  dcubic  26889  ftalem5  27120  lgsdilem  27368  2sqlem4  27465  pntrsumo1  27609  pntrlog2bndlem4  27624  brbtwn2  28920  colinearalglem4  28924  axeuclidlem  28977  constrrtcc  33776  logdivsqrle  34665  fwddifnp1  36166  itgmulc2nc  37695  lcmineqlem10  42039  3cubeslem3r  42698  pellexlem6  42845  jm2.19lem1  43001  jm2.19lem4  43004  jm2.19  43005  binomcxplemnotnn0  44375  sineq0ALT  44957  mulltgt0  45027  fperiodmul  45316  cosknegpi  45884  itgsinexplem1  45969  stoweidlem13  46028  stoweidlem42  46057  fourierdlem39  46161  fourierdlem41  46163  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem64  46185  etransclem46  46295  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659  rrx2linest  48663  rrx2linest2  48665  line2  48673  itscnhlc0yqe  48680  itschlc0yqe  48681  itsclc0yqsol  48685  itsclinecirc0b  48695  itsclquadb  48697