Theorem mulneg1d 11602

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   · cmul 11043  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11869  recgt0  11999  xmulneg1  13196  expmulz  14043  discr1  14174  iseraltlem3  15619  incexclem  15771  incexc  15772  mulgass  19053  cphipval  25211  mbfmulc2lem  25616  mbfmulc2  25632  itg2monolem1  25719  itgmulc2  25803  dvrecg  25945  dvmptdiv  25946  dvexp3  25950  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  aaliou3lem2  26319  advlogexp  26632  logtayl2  26639  dcubic2  26822  dcubic  26824  ftalem5  27055  lgsdilem  27303  2sqlem4  27400  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem4  27559  brbtwn2  28990  colinearalglem4  28994  axeuclidlem  29047  constrrtcc  33912  constrreinvcl  33949  cos9thpiminplylem1  33959  cos9thpiminplylem2  33960  logdivsqrle  34827  fwddifnp1  36378  itgmulc2nc  37936  lcmineqlem10  42405  3cubeslem3r  43041  pellexlem6  43188  jm2.19lem1  43343  jm2.19lem4  43346  jm2.19  43347  binomcxplemnotnn0  44709  sineq0ALT  45289  mulltgt0  45379  fperiodmul  45663  cosknegpi  46224  itgsinexplem1  46309  stoweidlem13  46368  stoweidlem42  46397  fourierdlem39  46501  fourierdlem41  46503  fourierdlem48  46509  fourierdlem49  46510  fourierdlem64  46525  etransclem46  46635  eenglngeehlnmlem1  49094  eenglngeehlnmlem2  49095  rrx2linest  49099  rrx2linest2  49101  line2  49109  itscnhlc0yqe  49116  itschlc0yqe  49117  itsclc0yqsol  49121  itsclinecirc0b  49131  itsclquadb  49133