Theorem mulneg1d 11570

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11553	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   · cmul 11011  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11837  recgt0  11967  xmulneg1  13168  expmulz  14015  discr1  14146  iseraltlem3  15591  incexclem  15743  incexc  15744  mulgass  19024  cphipval  25171  mbfmulc2lem  25576  mbfmulc2  25592  itg2monolem1  25679  itgmulc2  25763  dvrecg  25905  dvmptdiv  25906  dvexp3  25910  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  aaliou3lem2  26279  advlogexp  26592  logtayl2  26599  dcubic2  26782  dcubic  26784  ftalem5  27015  lgsdilem  27263  2sqlem4  27360  pntrsumo1  27504  pntrlog2bndlem4  27519  brbtwn2  28884  colinearalglem4  28888  axeuclidlem  28941  constrrtcc  33746  constrreinvcl  33783  cos9thpiminplylem1  33793  cos9thpiminplylem2  33794  logdivsqrle  34661  fwddifnp1  36205  itgmulc2nc  37734  lcmineqlem10  42077  3cubeslem3r  42726  pellexlem6  42873  jm2.19lem1  43028  jm2.19lem4  43031  jm2.19  43032  binomcxplemnotnn0  44395  sineq0ALT  44975  mulltgt0  45065  fperiodmul  45351  cosknegpi  45913  itgsinexplem1  45998  stoweidlem13  46057  stoweidlem42  46086  fourierdlem39  46190  fourierdlem41  46192  fourierdlem48  46198  fourierdlem49  46199  fourierdlem64  46214  etransclem46  46324  eenglngeehlnmlem1  48775  eenglngeehlnmlem2  48776  rrx2linest  48780  rrx2linest2  48782  line2  48790  itscnhlc0yqe  48797  itschlc0yqe  48798  itsclc0yqsol  48802  itsclinecirc0b  48812  itsclquadb  48814