Theorem mulneg1d 11521

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11504	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7329  ℂcc 10962   · cmul 10969  -cneg 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-ltxr 11107  df-sub 11300  df-neg 11301

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11784  recgt0  11914  xmulneg1  13096  expmulz  13922  discr1  14047  iseraltlem3  15486  incexclem  15639  incexc  15640  mulgass  18828  cphipval  24505  mbfmulc2lem  24909  mbfmulc2  24925  itg2monolem1  25013  itgmulc2  25096  dvrecg  25235  dvmptdiv  25236  dvexp3  25240  dvfsumlem2  25289  aaliou3lem2  25601  advlogexp  25908  logtayl2  25915  dcubic2  26092  dcubic  26094  ftalem5  26324  lgsdilem  26570  2sqlem4  26667  pntrsumo1  26811  pntrlog2bndlem4  26826  brbtwn2  27475  colinearalglem4  27479  axeuclidlem  27532  logdivsqrle  32843  fwddifnp1  34558  itgmulc2nc  35943  lcmineqlem10  40293  3cubeslem3r  40759  pellexlem6  40906  jm2.19lem1  41062  jm2.19lem4  41065  jm2.19  41066  binomcxplemnotnn0  42284  sineq0ALT  42867  mulltgt0  42875  fperiodmul  43167  cosknegpi  43735  itgsinexplem1  43820  stoweidlem13  43879  stoweidlem42  43908  fourierdlem39  44012  fourierdlem41  44014  fourierdlem48  44020  fourierdlem49  44021  fourierdlem64  44036  etransclem46  44146  eenglngeehlnmlem1  46423  eenglngeehlnmlem2  46424  rrx2linest  46428  rrx2linest2  46430  line2  46438  itscnhlc0yqe  46445  itschlc0yqe  46446  itsclc0yqsol  46450  itsclinecirc0b  46460  itsclquadb  46462