Theorem mulneg1d 11631

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   · cmul 11073  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11898  recgt0  12028  xmulneg1  13229  expmulz  14073  discr1  14204  iseraltlem3  15650  incexclem  15802  incexc  15803  mulgass  19043  cphipval  25143  mbfmulc2lem  25548  mbfmulc2  25564  itg2monolem1  25651  itgmulc2  25735  dvrecg  25877  dvmptdiv  25878  dvexp3  25882  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  aaliou3lem2  26251  advlogexp  26564  logtayl2  26571  dcubic2  26754  dcubic  26756  ftalem5  26987  lgsdilem  27235  2sqlem4  27332  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem4  27491  brbtwn2  28832  colinearalglem4  28836  axeuclidlem  28889  constrrtcc  33725  constrreinvcl  33762  cos9thpiminplylem1  33772  cos9thpiminplylem2  33773  logdivsqrle  34641  fwddifnp1  36153  itgmulc2nc  37682  lcmineqlem10  42026  3cubeslem3r  42675  pellexlem6  42822  jm2.19lem1  42978  jm2.19lem4  42981  jm2.19  42982  binomcxplemnotnn0  44345  sineq0ALT  44926  mulltgt0  45016  fperiodmul  45302  cosknegpi  45867  itgsinexplem1  45952  stoweidlem13  46011  stoweidlem42  46040  fourierdlem39  46144  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem64  46168  etransclem46  46278  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727  rrx2linest  48731  rrx2linest2  48733  line2  48741  itscnhlc0yqe  48748  itschlc0yqe  48749  itsclc0yqsol  48753  itsclinecirc0b  48763  itsclquadb  48765