Theorem mulneg1d 11358

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11341	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   · cmul 10807  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11621  recgt0  11751  xmulneg1  12932  expmulz  13757  discr1  13882  iseraltlem3  15323  incexclem  15476  incexc  15477  mulgass  18655  cphipval  24312  mbfmulc2lem  24716  mbfmulc2  24732  itg2monolem1  24820  itgmulc2  24903  dvrecg  25042  dvmptdiv  25043  dvexp3  25047  dvfsumlem2  25096  aaliou3lem2  25408  advlogexp  25715  logtayl2  25722  dcubic2  25899  dcubic  25901  ftalem5  26131  lgsdilem  26377  2sqlem4  26474  pntrsumo1  26618  pntrlog2bndlem4  26633  brbtwn2  27176  colinearalglem4  27180  axeuclidlem  27233  logdivsqrle  32530  fwddifnp1  34394  itgmulc2nc  35772  lcmineqlem10  39974  3cubeslem3r  40425  pellexlem6  40572  jm2.19lem1  40727  jm2.19lem4  40730  jm2.19  40731  binomcxplemnotnn0  41863  sineq0ALT  42446  mulltgt0  42454  fperiodmul  42733  cosknegpi  43300  itgsinexplem1  43385  stoweidlem13  43444  stoweidlem42  43473  fourierdlem39  43577  fourierdlem41  43579  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem64  43601  etransclem46  43711  eenglngeehlnmlem1  45971  eenglngeehlnmlem2  45972  rrx2linest  45976  rrx2linest2  45978  line2  45986  itscnhlc0yqe  45993  itschlc0yqe  45994  itsclc0yqsol  45998  itsclinecirc0b  46008  itsclquadb  46010