Theorem mulneg1d 11691

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11674	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   · cmul 11129  -cneg 11466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  divsubdiv  11955  recgt0  12085  xmulneg1  13321  expmulz  14172  discr1  14303  iseraltlem3  15771  incexclem  15925  incexc  15926  mulgass  19234  cphipval  25471  mbfmulc2lem  25875  mbfmulc2  25891  itg2monolem1  25978  itgmulc2  26061  dvrecg  26200  dvmptdiv  26201  dvexp3  26205  dvfsumlem2  26254  aaliou3lem2  26579  advlogexp  26892  logtayl2  26899  dcubic2  27081  dcubic  27083  ftalem5  27313  lgsdilem  27560  2sqlem4  27657  pntrsumo1  27801  pntrlog2bndlem4  27816  brbtwn2  29362  colinearalglem4  29366  axeuclidlem  29419  constrrtcc  34245  constrreinvcl  34282  cos9thpiminplylem1  34292  cos9thpiminplylem2  34293  logdivsqrle  35158  fwddifnp1  36745  itgmulc2nc  38437  lcmineqlem10  42904  quadfac  43071  3cubeslem3r  43532  pellexlem6  43675  jm2.19lem1  43830  jm2.19lem4  43833  jm2.19  43834  binomcxplemnotnn0  45180  sineq0ALT  45759  mulltgt0  45856  fperiodmul  46137  cosknegpi  46697  itgsinexplem1  46782  stoweidlem13  46841  stoweidlem42  46870  fourierdlem39  46974  fourierdlem41  46976  fourierdlem48  46982  fourierdlem49  46983  fourierdlem64  46998  etransclem46  47108  eenglngeehlnmlem1  49667  eenglngeehlnmlem2  49668  rrx2linest  49672  rrx2linest2  49674  line2  49682  itscnhlc0yqe  49689  itschlc0yqe  49690  itsclc0yqsol  49694  itsclinecirc0b  49704  itsclquadb  49706  dvcsc  50690  dvcot  50691