Theorem mulneg1d 11428

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   · cmul 10876  -cneg 11206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11691  recgt0  11821  xmulneg1  13003  expmulz  13829  discr1  13954  iseraltlem3  15395  incexclem  15548  incexc  15549  mulgass  18740  cphipval  24407  mbfmulc2lem  24811  mbfmulc2  24827  itg2monolem1  24915  itgmulc2  24998  dvrecg  25137  dvmptdiv  25138  dvexp3  25142  dvfsumlem2  25191  aaliou3lem2  25503  advlogexp  25810  logtayl2  25817  dcubic2  25994  dcubic  25996  ftalem5  26226  lgsdilem  26472  2sqlem4  26569  pntrsumo1  26713  pntrlog2bndlem4  26728  brbtwn2  27273  colinearalglem4  27277  axeuclidlem  27330  logdivsqrle  32630  fwddifnp1  34467  itgmulc2nc  35845  lcmineqlem10  40046  3cubeslem3r  40509  pellexlem6  40656  jm2.19lem1  40811  jm2.19lem4  40814  jm2.19  40815  binomcxplemnotnn0  41974  sineq0ALT  42557  mulltgt0  42565  fperiodmul  42843  cosknegpi  43410  itgsinexplem1  43495  stoweidlem13  43554  stoweidlem42  43583  fourierdlem39  43687  fourierdlem41  43689  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem64  43711  etransclem46  43821  eenglngeehlnmlem1  46083  eenglngeehlnmlem2  46084  rrx2linest  46088  rrx2linest2  46090  line2  46098  itscnhlc0yqe  46105  itschlc0yqe  46106  itsclc0yqsol  46110  itsclinecirc0b  46120  itsclquadb  46122