Theorem mulneg1d 11743

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11726	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   · cmul 11189  -cneg 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  divsubdiv  12010  recgt0  12140  xmulneg1  13331  expmulz  14159  discr1  14288  iseraltlem3  15732  incexclem  15884  incexc  15885  mulgass  19151  cphipval  25296  mbfmulc2lem  25701  mbfmulc2  25717  itg2monolem1  25805  itgmulc2  25889  dvrecg  26031  dvmptdiv  26032  dvexp3  26036  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  aaliou3lem2  26403  advlogexp  26715  logtayl2  26722  dcubic2  26905  dcubic  26907  ftalem5  27138  lgsdilem  27386  2sqlem4  27483  pntrsumo1  27627  pntrlog2bndlem4  27642  brbtwn2  28938  colinearalglem4  28942  axeuclidlem  28995  constrrtcc  33726  logdivsqrle  34627  fwddifnp1  36129  itgmulc2nc  37648  lcmineqlem10  41995  3cubeslem3r  42643  pellexlem6  42790  jm2.19lem1  42946  jm2.19lem4  42949  jm2.19  42950  binomcxplemnotnn0  44325  sineq0ALT  44908  mulltgt0  44922  fperiodmul  45219  cosknegpi  45790  itgsinexplem1  45875  stoweidlem13  45934  stoweidlem42  45963  fourierdlem39  46067  fourierdlem41  46069  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem64  46091  etransclem46  46201  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  rrx2linest  48476  rrx2linest2  48478  line2  48486  itscnhlc0yqe  48493  itschlc0yqe  48494  itsclc0yqsol  48498  itsclinecirc0b  48508  itsclquadb  48510