Theorem mulneg1d 11671

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7405  ℂcc 11110   · cmul 11117  -cneg 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11934  recgt0  12064  xmulneg1  13254  expmulz  14079  discr1  14207  iseraltlem3  15636  incexclem  15788  incexc  15789  mulgass  19038  cphipval  25126  mbfmulc2lem  25531  mbfmulc2  25547  itg2monolem1  25635  itgmulc2  25718  dvrecg  25860  dvmptdiv  25861  dvexp3  25865  dvfsumlem2  25916  dvfsumlem2OLD  25917  aaliou3lem2  26233  advlogexp  26544  logtayl2  26551  dcubic2  26731  dcubic  26733  ftalem5  26964  lgsdilem  27212  2sqlem4  27309  pntrsumo1  27453  pntrlog2bndlem4  27468  brbtwn2  28671  colinearalglem4  28675  axeuclidlem  28728  logdivsqrle  34191  fwddifnp1  35670  itgmulc2nc  37069  lcmineqlem10  41419  3cubeslem3r  42000  pellexlem6  42147  jm2.19lem1  42303  jm2.19lem4  42306  jm2.19  42307  binomcxplemnotnn0  43688  sineq0ALT  44271  mulltgt0  44279  fperiodmul  44583  cosknegpi  45154  itgsinexplem1  45239  stoweidlem13  45298  stoweidlem42  45327  fourierdlem39  45431  fourierdlem41  45433  fourierdlem48  45439  fourierdlem49  45440  fourierdlem64  45455  etransclem46  45565  eenglngeehlnmlem1  47695  eenglngeehlnmlem2  47696  rrx2linest  47700  rrx2linest2  47702  line2  47710  itscnhlc0yqe  47717  itschlc0yqe  47718  itsclc0yqsol  47722  itsclinecirc0b  47732  itsclquadb  47734