Theorem mulneg1d 11250

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11233	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191  ℂcc 10692   · cmul 10699  -cneg 11028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-sub 11029  df-neg 11030

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11513  recgt0  11643  xmulneg1  12824  expmulz  13646  discr1  13771  iseraltlem3  15212  incexclem  15363  incexc  15364  mulgass  18482  cphipval  24094  mbfmulc2lem  24498  mbfmulc2  24514  itg2monolem1  24602  itgmulc2  24685  dvrecg  24824  dvmptdiv  24825  dvexp3  24829  dvfsumlem2  24878  aaliou3lem2  25190  advlogexp  25497  logtayl2  25504  dcubic2  25681  dcubic  25683  ftalem5  25913  lgsdilem  26159  2sqlem4  26256  pntrsumo1  26400  pntrlog2bndlem4  26415  brbtwn2  26950  colinearalglem4  26954  axeuclidlem  27007  logdivsqrle  32296  fwddifnp1  34153  itgmulc2nc  35531  lcmineqlem10  39729  3cubeslem3r  40153  pellexlem6  40300  jm2.19lem1  40455  jm2.19lem4  40458  jm2.19  40459  binomcxplemnotnn0  41588  sineq0ALT  42171  mulltgt0  42179  fperiodmul  42457  cosknegpi  43028  itgsinexplem1  43113  stoweidlem13  43172  stoweidlem42  43201  fourierdlem39  43305  fourierdlem41  43307  fourierdlem48  43313  fourierdlem49  43314  fourierdlem64  43329  etransclem46  43439  eenglngeehlnmlem1  45699  eenglngeehlnmlem2  45700  rrx2linest  45704  rrx2linest2  45706  line2  45714  itscnhlc0yqe  45721  itschlc0yqe  45722  itsclc0yqsol  45726  itsclinecirc0b  45736  itsclquadb  45738