Theorem mulneg1d 11663

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11646	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   · cmul 11101  -cneg 11438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-neg 11440

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11927  recgt0  12057  xmulneg1  13291  expmulz  14140  discr1  14271  iseraltlem3  15731  incexclem  15886  incexc  15887  mulgass  19173  cphipval  25367  mbfmulc2lem  25771  mbfmulc2  25787  itg2monolem1  25874  itgmulc2  25958  dvrecg  26097  dvmptdiv  26098  dvexp3  26102  dvfsumlem2  26151  aaliou3lem2  26469  advlogexp  26782  logtayl2  26789  dcubic2  26971  dcubic  26973  ftalem5  27203  lgsdilem  27450  2sqlem4  27547  pntrsumo1  27691  pntrlog2bndlem4  27706  brbtwn2  29192  colinearalglem4  29196  axeuclidlem  29249  constrrtcc  34066  constrreinvcl  34103  cos9thpiminplylem1  34113  cos9thpiminplylem2  34114  logdivsqrle  34978  fwddifnp1  36552  itgmulc2nc  38222  lcmineqlem10  42690  3cubeslem3r  43303  pellexlem6  43446  jm2.19lem1  43601  jm2.19lem4  43604  jm2.19  43605  binomcxplemnotnn0  44951  sineq0ALT  45530  mulltgt0  45627  fperiodmul  45908  cosknegpi  46468  itgsinexplem1  46553  stoweidlem13  46612  stoweidlem42  46641  fourierdlem39  46745  fourierdlem41  46747  fourierdlem48  46753  fourierdlem49  46754  fourierdlem64  46769  etransclem46  46879  eenglngeehlnmlem1  49395  eenglngeehlnmlem2  49396  rrx2linest  49400  rrx2linest2  49402  line2  49410  itscnhlc0yqe  49417  itschlc0yqe  49418  itsclc0yqsol  49422  itsclinecirc0b  49432  itsclquadb  49434