Theorem mulneg1d 11579

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11562	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℂcc 11013   · cmul 11020  -cneg 11354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160  df-sub 11355  df-neg 11356

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11846  recgt0  11976  xmulneg1  13172  expmulz  14019  discr1  14150  iseraltlem3  15595  incexclem  15747  incexc  15748  mulgass  19028  cphipval  25173  mbfmulc2lem  25578  mbfmulc2  25594  itg2monolem1  25681  itgmulc2  25765  dvrecg  25907  dvmptdiv  25908  dvexp3  25912  dvfsumlem2  25963  dvfsumlem2OLD  25964  aaliou3lem2  26281  advlogexp  26594  logtayl2  26601  dcubic2  26784  dcubic  26786  ftalem5  27017  lgsdilem  27265  2sqlem4  27362  pntrsumo1  27506  pntrlog2bndlem4  27521  brbtwn2  28887  colinearalglem4  28891  axeuclidlem  28944  constrrtcc  33771  constrreinvcl  33808  cos9thpiminplylem1  33818  cos9thpiminplylem2  33819  logdivsqrle  34686  fwddifnp1  36232  itgmulc2nc  37751  lcmineqlem10  42154  3cubeslem3r  42807  pellexlem6  42954  jm2.19lem1  43109  jm2.19lem4  43112  jm2.19  43113  binomcxplemnotnn0  44476  sineq0ALT  45056  mulltgt0  45146  fperiodmul  45432  cosknegpi  45994  itgsinexplem1  46079  stoweidlem13  46138  stoweidlem42  46167  fourierdlem39  46271  fourierdlem41  46273  fourierdlem48  46279  fourierdlem49  46280  fourierdlem64  46295  etransclem46  46405  eenglngeehlnmlem1  48865  eenglngeehlnmlem2  48866  rrx2linest  48870  rrx2linest2  48872  line2  48880  itscnhlc0yqe  48887  itschlc0yqe  48888  itsclc0yqsol  48892  itsclinecirc0b  48902  itsclquadb  48904