Theorem mulneg1d 11638

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11621	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   · cmul 11080  -cneg 11413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11905  recgt0  12035  xmulneg1  13236  expmulz  14080  discr1  14211  iseraltlem3  15657  incexclem  15809  incexc  15810  mulgass  19050  cphipval  25150  mbfmulc2lem  25555  mbfmulc2  25571  itg2monolem1  25658  itgmulc2  25742  dvrecg  25884  dvmptdiv  25885  dvexp3  25889  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  aaliou3lem2  26258  advlogexp  26571  logtayl2  26578  dcubic2  26761  dcubic  26763  ftalem5  26994  lgsdilem  27242  2sqlem4  27339  pntrsumo1  27483  pntrlog2bndlem4  27498  brbtwn2  28839  colinearalglem4  28843  axeuclidlem  28896  constrrtcc  33732  constrreinvcl  33769  cos9thpiminplylem1  33779  cos9thpiminplylem2  33780  logdivsqrle  34648  fwddifnp1  36160  itgmulc2nc  37689  lcmineqlem10  42033  3cubeslem3r  42682  pellexlem6  42829  jm2.19lem1  42985  jm2.19lem4  42988  jm2.19  42989  binomcxplemnotnn0  44352  sineq0ALT  44933  mulltgt0  45023  fperiodmul  45309  cosknegpi  45874  itgsinexplem1  45959  stoweidlem13  46018  stoweidlem42  46047  fourierdlem39  46151  fourierdlem41  46153  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem64  46175  etransclem46  46285  eenglngeehlnmlem1  48730  eenglngeehlnmlem2  48731  rrx2linest  48735  rrx2linest2  48737  line2  48745  itscnhlc0yqe  48752  itschlc0yqe  48753  itsclc0yqsol  48757  itsclinecirc0b  48767  itsclquadb  48769