Theorem mulneg1d 11668

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11651	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   · cmul 11106  -cneg 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11932  recgt0  12062  xmulneg1  13296  expmulz  14146  discr1  14277  iseraltlem3  15737  incexclem  15892  incexc  15893  mulgass  19178  cphipval  25383  mbfmulc2lem  25787  mbfmulc2  25803  itg2monolem1  25890  itgmulc2  25974  dvrecg  26113  dvmptdiv  26114  dvexp3  26118  dvfsumlem2  26167  aaliou3lem2  26487  advlogexp  26801  logtayl2  26808  dcubic2  26990  dcubic  26992  ftalem5  27222  lgsdilem  27469  2sqlem4  27566  pntrsumo1  27710  pntrlog2bndlem4  27725  brbtwn2  29236  colinearalglem4  29240  axeuclidlem  29293  constrrtcc  34106  constrreinvcl  34143  cos9thpiminplylem1  34153  cos9thpiminplylem2  34154  logdivsqrle  35018  fwddifnp1  36638  itgmulc2nc  38320  lcmineqlem10  42786  quadfac  42953  3cubeslem3r  43401  pellexlem6  43544  jm2.19lem1  43699  jm2.19lem4  43702  jm2.19  43703  binomcxplemnotnn0  45049  sineq0ALT  45628  mulltgt0  45725  fperiodmul  46006  cosknegpi  46566  itgsinexplem1  46651  stoweidlem13  46710  stoweidlem42  46739  fourierdlem39  46843  fourierdlem41  46845  fourierdlem48  46851  fourierdlem49  46852  fourierdlem64  46867  etransclem46  46977  eenglngeehlnmlem1  49500  eenglngeehlnmlem2  49501  rrx2linest  49505  rrx2linest2  49507  line2  49515  itscnhlc0yqe  49522  itschlc0yqe  49523  itsclc0yqsol  49527  itsclinecirc0b  49537  itsclquadb  49539