Theorem mulneg1d 11678

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11661	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109   · cmul 11116  -cneg 11453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454  df-neg 11455

This theorem is used by:  divsubdiv  11942  recgt0  12072  xmulneg1  13306  expmulz  14157  discr1  14288  iseraltlem3  15754  incexclem  15908  incexc  15909  mulgass  19200  cphipval  25431  mbfmulc2lem  25835  mbfmulc2  25851  itg2monolem1  25938  itgmulc2  26022  dvrecg  26161  dvmptdiv  26162  dvexp3  26166  dvfsumlem2  26215  aaliou3lem2  26535  advlogexp  26849  logtayl2  26856  dcubic2  27038  dcubic  27040  ftalem5  27270  lgsdilem  27517  2sqlem4  27614  pntrsumo1  27758  pntrlog2bndlem4  27773  brbtwn2  29284  colinearalglem4  29288  axeuclidlem  29341  constrrtcc  34148  constrreinvcl  34185  cos9thpiminplylem1  34195  cos9thpiminplylem2  34196  logdivsqrle  35061  fwddifnp1  36670  itgmulc2nc  38372  lcmineqlem10  42838  quadfac  43005  3cubeslem3r  43451  pellexlem6  43594  jm2.19lem1  43749  jm2.19lem4  43752  jm2.19  43753  binomcxplemnotnn0  45099  sineq0ALT  45678  mulltgt0  45775  fperiodmul  46056  cosknegpi  46616  itgsinexplem1  46701  stoweidlem13  46760  stoweidlem42  46789  fourierdlem39  46893  fourierdlem41  46895  fourierdlem48  46901  fourierdlem49  46902  fourierdlem64  46917  etransclem46  47027  eenglngeehlnmlem1  49550  eenglngeehlnmlem2  49551  rrx2linest  49555  rrx2linest2  49557  line2  49565  itscnhlc0yqe  49572  itschlc0yqe  49573  itsclc0yqsol  49577  itsclinecirc0b  49587  itsclquadb  49589