Theorem mulneg1d 11667

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11650	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098   · cmul 11105  -cneg 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11931  recgt0  12061  xmulneg1  13295  expmulz  14144  discr1  14275  iseraltlem3  15735  incexclem  15890  incexc  15891  mulgass  19177  cphipval  25371  mbfmulc2lem  25775  mbfmulc2  25791  itg2monolem1  25878  itgmulc2  25962  dvrecg  26101  dvmptdiv  26102  dvexp3  26106  dvfsumlem2  26155  aaliou3lem2  26473  advlogexp  26786  logtayl2  26793  dcubic2  26975  dcubic  26977  ftalem5  27207  lgsdilem  27454  2sqlem4  27551  pntrsumo1  27695  pntrlog2bndlem4  27710  brbtwn2  29196  colinearalglem4  29200  axeuclidlem  29253  constrrtcc  34070  constrreinvcl  34107  cos9thpiminplylem1  34117  cos9thpiminplylem2  34118  logdivsqrle  34982  fwddifnp1  36590  itgmulc2nc  38261  lcmineqlem10  42729  quadfac  42896  3cubeslem3r  43344  pellexlem6  43487  jm2.19lem1  43642  jm2.19lem4  43645  jm2.19  43646  binomcxplemnotnn0  44992  sineq0ALT  45571  mulltgt0  45668  fperiodmul  45949  cosknegpi  46509  itgsinexplem1  46594  stoweidlem13  46653  stoweidlem42  46682  fourierdlem39  46786  fourierdlem41  46788  fourierdlem48  46794  fourierdlem49  46795  fourierdlem64  46810  etransclem46  46920  eenglngeehlnmlem1  49436  eenglngeehlnmlem2  49437  rrx2linest  49441  rrx2linest2  49443  line2  49451  itscnhlc0yqe  49458  itschlc0yqe  49459  itsclc0yqsol  49463  itsclinecirc0b  49473  itsclquadb  49475