Theorem mulneg1d 11633

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11616	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390  ℂcc 11064   · cmul 11071  -cneg 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-sub 11409  df-neg 11410

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11900  recgt0  12030  xmulneg1  13265  expmulz  14114  discr1  14245  iseraltlem3  15701  incexclem  15856  incexc  15857  mulgass  19143  cphipval  25292  mbfmulc2lem  25696  mbfmulc2  25712  itg2monolem1  25799  itgmulc2  25883  dvrecg  26022  dvmptdiv  26023  dvexp3  26027  dvfsumlem2  26076  aaliou3lem2  26394  advlogexp  26707  logtayl2  26714  dcubic2  26896  dcubic  26898  ftalem5  27128  lgsdilem  27375  2sqlem4  27472  pntrsumo1  27616  pntrlog2bndlem4  27631  brbtwn2  29062  colinearalglem4  29066  axeuclidlem  29119  constrrtcc  33992  constrreinvcl  34029  cos9thpiminplylem1  34039  cos9thpiminplylem2  34040  logdivsqrle  34904  fwddifnp1  36475  itgmulc2nc  38147  lcmineqlem10  42615  3cubeslem3r  43228  pellexlem6  43371  jm2.19lem1  43526  jm2.19lem4  43529  jm2.19  43530  binomcxplemnotnn0  44892  sineq0ALT  45472  mulltgt0  45562  fperiodmul  45843  cosknegpi  46403  itgsinexplem1  46488  stoweidlem13  46547  stoweidlem42  46576  fourierdlem39  46680  fourierdlem41  46682  fourierdlem48  46688  fourierdlem49  46689  fourierdlem64  46704  etransclem46  46814  eenglngeehlnmlem1  49319  eenglngeehlnmlem2  49320  rrx2linest  49324  rrx2linest2  49326  line2  49334  itscnhlc0yqe  49341  itschlc0yqe  49342  itsclc0yqsol  49346  itsclinecirc0b  49356  itsclquadb  49358