Theorem mulneg1d 11590

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11573	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   · cmul 11031  -cneg 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11857  recgt0  11987  xmulneg1  13184  expmulz  14031  discr1  14162  iseraltlem3  15607  incexclem  15759  incexc  15760  mulgass  19041  cphipval  25199  mbfmulc2lem  25604  mbfmulc2  25620  itg2monolem1  25707  itgmulc2  25791  dvrecg  25933  dvmptdiv  25934  dvexp3  25938  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  aaliou3lem2  26307  advlogexp  26620  logtayl2  26627  dcubic2  26810  dcubic  26812  ftalem5  27043  lgsdilem  27291  2sqlem4  27388  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem4  27547  brbtwn2  28978  colinearalglem4  28982  axeuclidlem  29035  constrrtcc  33892  constrreinvcl  33929  cos9thpiminplylem1  33939  cos9thpiminplylem2  33940  logdivsqrle  34807  fwddifnp1  36359  itgmulc2nc  37889  lcmineqlem10  42292  3cubeslem3r  42929  pellexlem6  43076  jm2.19lem1  43231  jm2.19lem4  43234  jm2.19  43235  binomcxplemnotnn0  44597  sineq0ALT  45177  mulltgt0  45267  fperiodmul  45552  cosknegpi  46113  itgsinexplem1  46198  stoweidlem13  46257  stoweidlem42  46286  fourierdlem39  46390  fourierdlem41  46392  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem64  46414  etransclem46  46524  eenglngeehlnmlem1  48983  eenglngeehlnmlem2  48984  rrx2linest  48988  rrx2linest2  48990  line2  48998  itscnhlc0yqe  49005  itschlc0yqe  49006  itsclc0yqsol  49010  itsclinecirc0b  49020  itsclquadb  49022