Theorem mulneg1d 11580

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1d	⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulneg1 11563	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11014   · cmul 11021  -cneg 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161  df-sub 11356  df-neg 11357

This theorem is referenced by:  divsubdiv  11847  recgt0  11977  xmulneg1  13178  expmulz  14025  discr1  14156  iseraltlem3  15601  incexclem  15753  incexc  15754  mulgass  19034  cphipval  25180  mbfmulc2lem  25585  mbfmulc2  25601  itg2monolem1  25688  itgmulc2  25772  dvrecg  25914  dvmptdiv  25915  dvexp3  25919  dvfsumlem2  25970  dvfsumlem2OLD  25971  aaliou3lem2  26288  advlogexp  26601  logtayl2  26608  dcubic2  26791  dcubic  26793  ftalem5  27024  lgsdilem  27272  2sqlem4  27369  pntrsumo1  27513  pntrlog2bndlem4  27528  brbtwn2  28894  colinearalglem4  28898  axeuclidlem  28951  constrrtcc  33759  constrreinvcl  33796  cos9thpiminplylem1  33806  cos9thpiminplylem2  33807  logdivsqrle  34674  fwddifnp1  36220  itgmulc2nc  37738  lcmineqlem10  42141  3cubeslem3r  42794  pellexlem6  42941  jm2.19lem1  43096  jm2.19lem4  43099  jm2.19  43100  binomcxplemnotnn0  44463  sineq0ALT  45043  mulltgt0  45133  fperiodmul  45419  cosknegpi  45981  itgsinexplem1  46066  stoweidlem13  46125  stoweidlem42  46154  fourierdlem39  46258  fourierdlem41  46260  fourierdlem48  46266  fourierdlem49  46267  fourierdlem64  46282  etransclem46  46392  eenglngeehlnmlem1  48852  eenglngeehlnmlem2  48853  rrx2linest  48857  rrx2linest2  48859  line2  48867  itscnhlc0yqe  48874  itschlc0yqe  48875  itsclc0yqsol  48879  itsclinecirc0b  48889  itsclquadb  48891