Theorem sn-remul0ord 43268

Description: A product is zero iff one of its factors are zero. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-remul0ord.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-remul0ord.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sn-remul0ord	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem sn-remul0ord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-remul0ord.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		remul02 43265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
4	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 · 𝐵) = 0)
5	4	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
6		sn-remul0ord.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0red 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
9	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 8, 9, 10	remulcan2d 43108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0))
12	5, 11	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
13	12	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → 𝐴 = 0))
14	13	impancom 457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 0))
15	14	necon1bd 2975	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
16	15	orrd 877	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
17	16	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
18		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
19	18	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
20	3, 19	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
21		remul01 43267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
22	6, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
23		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
24	23	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
25	22, 24	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
26	20, 25	jaod 873	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
27	17, 26	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7416  ℝcr 11124  0cc0 11125   · cmul 11130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-2 12328  df-3 12329  df-resub 43226

This theorem is used by:  mulltgt0d  43355  mullt0b2d  43357  sn-mullt0d  43358