Theorem sn-remul0ord 42605

Description: A product is zero iff one of its factors are zero. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-remul0ord.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-remul0ord.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sn-remul0ord	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem sn-remul0ord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-remul0ord.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		remul02 42602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 · 𝐵) = 0)
5	4	eqeq2d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
6		sn-remul0ord.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0red 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
9	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 8, 9, 10	remulcan2d 42454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0))
12	5, 11	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
13	12	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → 𝐴 = 0))
14	13	impancom 451	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 0))
15	14	necon1bd 2948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
16	15	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
18		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
19	18	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
20	3, 19	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
21		remul01 42604	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
22	6, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
23		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
24	23	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
25	22, 24	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
26	20, 25	jaod 859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
27	17, 26	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024   · cmul 11029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-2 12206  df-3 12207  df-resub 42563

This theorem is referenced by:  mulltgt0d  42679  mullt0b2d  42681  sn-mullt0d  42682