Theorem sn-remul0ord 42900

Description: A product is zero iff one of its factors are zero. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-remul0ord.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-remul0ord.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sn-remul0ord	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem sn-remul0ord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-remul0ord.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		remul02 42897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
4	3	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 · 𝐵) = 0)
5	4	eqeq2d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
6		sn-remul0ord.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0red 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
9	1	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 8, 9, 10	remulcan2d 42755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0))
12	5, 11	bitr3d 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
13	12	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → 𝐴 = 0))
14	13	impancom 453	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 0))
15	14	necon1bd 2954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
16	15	orrd 870	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
17	16	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
18		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
19	18	eqeq1d 2743	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
20	3, 19	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
21		remul01 42899	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
22	6, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
23		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
24	23	eqeq1d 2743	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
25	22, 24	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
26	20, 25	jaod 866	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
27	17, 26	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033   · cmul 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-2 12239  df-3 12240  df-resub 42858

This theorem is referenced by:  mulltgt0d  42987  mullt0b2d  42989  sn-mullt0d  42990