Theorem sn-remul0ord 42391

Description: A product is zero iff one of its factors are zero. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-remul0ord.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-remul0ord.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sn-remul0ord	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem sn-remul0ord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-remul0ord.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		remul02 42388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 · 𝐵) = 0)
5	4	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
6		sn-remul0ord.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0red 11118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
9	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 8, 9, 10	remulcan2d 42240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0))
12	5, 11	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
13	12	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → 𝐴 = 0))
14	13	impancom 451	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 0))
15	14	necon1bd 2943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
16	15	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
18		oveq1 7356	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
19	18	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
20	3, 19	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
21		remul01 42390	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
22	6, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
23		oveq2 7357	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
24	23	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
25	22, 24	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
26	20, 25	jaod 859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
27	17, 26	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009   · cmul 11014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-2 12191  df-3 12192  df-resub 42349

This theorem is referenced by:  mulltgt0d  42465  mullt0b2d  42467  sn-mullt0d  42468