Theorem sn-remul0ord 43460

Description: A product is zero iff one of its factors are zero. (Contributed by SN, 24-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-remul0ord.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-remul0ord.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sn-remul0ord	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem sn-remul0ord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-remul0ord.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		remul02 43457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
4	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 · 𝐵) = 0)
5	4	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
6		sn-remul0ord.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0red 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
9	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 8, 9, 10	remulcan2d 43308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0))
12	5, 11	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
13	12	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → 𝐴 = 0))
14	13	impancom 457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 0))
15	14	necon1bd 2973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
16	15	orrd 877	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
17	16	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
18		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
19	18	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
20	3, 19	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
21		remul01 43459	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
22	6, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
23		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
24	23	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
25	22, 24	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
26	20, 25	jaod 873	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0))
27	17, 26	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-2 12405  df-3 12406  df-resub 43418

This theorem is used by:  mulltgt0d  43547  mullt0b2d  43549  sn-mullt0d  43550