MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  receu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem receu 11858
Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 29-Jan-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
receu ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem receu
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recex 11845 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)
213adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)
3 simprl 768 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4 simpll 764 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53, 4mulcld 11233 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 oveq1 7409 . . . . . . . 8 ((๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
76ad2antll 726 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
8 simplr 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
98, 3, 4mulassd 11236 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
104mullidd 11231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
117, 9, 103eqtr3d 2772 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)) = ๐ด)
12 oveq2 7410 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
1312eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)) = ๐ด))
1413rspcev 3604 . . . . . 6 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
155, 11, 14syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
1615rexlimdvaa 3148 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
17163adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
182, 17mpd 15 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
19 eqtr3 2750 . . . . . . 7 (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))
20 mulcan 11850 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2119, 20imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
22213expa 1115 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2322expcom 413 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
24233adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
2524ralrimivv 3190 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
26 oveq2 7410 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))
2726eqeq1d 2726 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด))
2827reu4 3720 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
2918, 25, 28sylanbrc 582 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆ€wral 3053  โˆƒwrex 3062  โˆƒ!wreu 3366  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   ยท cmul 11112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446
This theorem is referenced by:  divmul  11874  divcl  11877  rexdiv  32584
  Copyright terms: Public domain W3C validator