Theorem receu 11762

Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 29-Jan-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
receu	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem receu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recex 11749	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1)
2	1	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1)
3		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11132	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
6		oveq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 · 𝑦) = 1 → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
7	6	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
8		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 3, 4	mulassd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
10	4	mullidd 11130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
12		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
13	12	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
14	13	rspcev 3572	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
15	5, 11, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
16	15	rexlimdvaa 3134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
17	16	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18	2, 17	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
19		eqtr3 2753	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
20		mulcan 11754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
21	19, 20	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
22	21	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
23	22	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
24	23	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
25	24	ralrimivv 3173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
26		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
27	26	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
28	27	reu4 3685	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
29	18, 25, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  divmul  11779  divcl  11782  rexdiv  32906