Theorem receu 11800

Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 29-Jan-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
receu	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem receu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recex 11787	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1)
2	1	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1)
3		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
6		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 · 𝑦) = 1 → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
7	6	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
8		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 3, 4	mulassd 11178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
10	4	mulid2d 11173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtr3d 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
12		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
13	12	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
14	13	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
15	5, 11, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
16	15	rexlimdvaa 3153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
17	16	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18	2, 17	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
19		eqtr3 2762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
20		mulcan 11792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
21	19, 20	imbitrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
22	21	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
23	22	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
24	23	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
25	24	ralrimivv 3195	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
26		oveq2 7365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
27	26	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
28	27	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
29	18, 25, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ∃!wreu 3351  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388

This theorem is referenced by:  divmul  11816  divcl  11819  rexdiv  31782