Theorem receu 11855

Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 29-Jan-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
receu	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem receu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recex 11842	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1)
2	1	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1)
3		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
6		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 · 𝑦) = 1 → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
7	6	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
8		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 3, 4	mulassd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
10	4	mullidd 11228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
12		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
13	12	eqeq1d 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
14	13	rspcev 3612	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
15	5, 11, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
16	15	rexlimdvaa 3156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
17	16	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18	2, 17	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
19		eqtr3 2758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
20		mulcan 11847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
21	19, 20	imbitrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
22	21	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
23	22	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
24	23	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
25	24	ralrimivv 3198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
26		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
27	26	eqeq1d 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
28	27	reu4 3726	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
29	18, 25, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3374  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  divmul  11871  divcl  11874  rexdiv  32079