Theorem muls4d 28554

Description: Rearrangement of four surreal factors. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
muls4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
muls4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
muls4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
muls4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
muls4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) ·s (𝐶 ·s 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) ·s (𝐵 ·s 𝐷)))

Proof of Theorem muls4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muls4d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
2		muls4d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
3	1, 2	mulscomd 28526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐵))
4	3	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s 𝐷) = ((𝐶 ·s 𝐵) ·s 𝐷))
5		muls4d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No)
6	1, 2, 5	mulsassd 28553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s 𝐷) = (𝐵 ·s (𝐶 ·s 𝐷)))
7	2, 1, 5	mulsassd 28553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐵) ·s 𝐷) = (𝐶 ·s (𝐵 ·s 𝐷)))
8	4, 6, 7	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐶 ·s 𝐷)) = (𝐶 ·s (𝐵 ·s 𝐷)))
9	8	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 ·s (𝐶 ·s 𝐷))) = (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 ·s 𝐷))))
10		muls4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
11	2, 5	mulscld 28521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐷) ∈ No)
12	10, 1, 11	mulsassd 28553	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) ·s (𝐶 ·s 𝐷)) = (𝐴 ·s (𝐵 ·s (𝐶 ·s 𝐷))))
13	1, 5	mulscld 28521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No)
14	10, 2, 13	mulsassd 28553	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) ·s (𝐵 ·s 𝐷)) = (𝐴 ·s (𝐶 ·s (𝐵 ·s 𝐷))))
15	9, 12, 14	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) ·s (𝐶 ·s 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) ·s (𝐵 ·s 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  Nocsur 27997   ·_s cmuls 28492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-1o 8476  df-2o 8477  df-nadd 8675  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407  df-subs 28408  df-muls 28493

This theorem is used by:  divmuldivsd  28618  pw2recs  28824