MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muls4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muls4d 28061
Description: Rearrangement of four surreal factors. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
muls4d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
muls4d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
muls4d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
muls4d.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
Assertion
Ref Expression
muls4d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) ยทs (๐ถ ยทs ๐ท)) = ((๐ด ยทs ๐ถ) ยทs (๐ต ยทs ๐ท)))

Proof of Theorem muls4d
StepHypRef Expression
1 muls4d.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
2 muls4d.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
31, 2mulscomd 28033 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) = (๐ถ ยทs ๐ต))
43oveq1d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ถ) ยทs ๐ท) = ((๐ถ ยทs ๐ต) ยทs ๐ท))
5 muls4d.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
61, 2, 5mulsassd 28060 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ถ) ยทs ๐ท) = (๐ต ยทs (๐ถ ยทs ๐ท)))
72, 1, 5mulsassd 28060 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐ต) ยทs ๐ท) = (๐ถ ยทs (๐ต ยทs ๐ท)))
84, 6, 73eqtr3d 2775 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs (๐ถ ยทs ๐ท)) = (๐ถ ยทs (๐ต ยทs ๐ท)))
98oveq2d 7430 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs (๐ต ยทs (๐ถ ยทs ๐ท))) = (๐ด ยทs (๐ถ ยทs (๐ต ยทs ๐ท))))
10 muls4d.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
112, 5mulscld 28028 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทs ๐ท) โˆˆ No )
1210, 1, 11mulsassd 28060 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) ยทs (๐ถ ยทs ๐ท)) = (๐ด ยทs (๐ต ยทs (๐ถ ยทs ๐ท))))
131, 5mulscld 28028 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ท) โˆˆ No )
1410, 2, 13mulsassd 28060 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) ยทs (๐ต ยทs ๐ท)) = (๐ด ยทs (๐ถ ยทs (๐ต ยทs ๐ท))))
159, 12, 143eqtr4d 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) ยทs (๐ถ ยทs ๐ท)) = ((๐ด ยทs ๐ถ) ยทs (๐ต ยทs ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414   No csur 27566   ยทs cmuls 27999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8680  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sle 27671  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-0s 27750  df-made 27767  df-old 27768  df-left 27770  df-right 27771  df-norec 27848  df-norec2 27859  df-adds 27870  df-negs 27927  df-subs 27928  df-muls 28000
This theorem is referenced by:  divmuldivsd  28123
  Copyright terms: Public domain W3C validator