MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuldivsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuldivsd 28085
Description: Multiplication of two surreal ratios. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
divmuldivsd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
divmuldivsd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
divmuldivsd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
divmuldivsd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
divmuldivsd.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0s )
divmuldivsd.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0s )
Assertion
Ref Expression
divmuldivsd (๐œ‘ โ†’ ((๐ด /su ๐ต) ยทs (๐ถ /su ๐ท)) = ((๐ด ยทs ๐ถ) /su (๐ต ยทs ๐ท)))

Proof of Theorem divmuldivsd
StepHypRef Expression
1 divmuldivsd.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
2 divmuldivsd.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
3 divmuldivsd.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
4 divmuldivsd.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0s )
53, 1, 4divscld 28077 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด /su ๐ต) โˆˆ No )
6 divmuldivsd.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
7 divmuldivsd.6 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0s )
86, 2, 7divscld 28077 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ /su ๐ท) โˆˆ No )
91, 2, 5, 8muls4d 28023 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) ยทs ((๐ด /su ๐ต) ยทs (๐ถ /su ๐ท))) = ((๐ต ยทs (๐ด /su ๐ต)) ยทs (๐ท ยทs (๐ถ /su ๐ท))))
103, 1, 4divscan2d 28078 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs (๐ด /su ๐ต)) = ๐ด)
116, 2, 7divscan2d 28078 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยทs (๐ถ /su ๐ท)) = ๐ถ)
1210, 11oveq12d 7423 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs (๐ด /su ๐ต)) ยทs (๐ท ยทs (๐ถ /su ๐ท))) = (๐ด ยทs ๐ถ))
139, 12eqtrd 2766 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) ยทs ((๐ด /su ๐ต) ยทs (๐ถ /su ๐ท))) = (๐ด ยทs ๐ถ))
143, 6mulscld 27990 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
155, 8mulscld 27990 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด /su ๐ต) ยทs (๐ถ /su ๐ท)) โˆˆ No )
161, 2mulscld 27990 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ท) โˆˆ No )
171, 2mulsne0bd 28041 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) โ‰  0s โ†” (๐ต โ‰  0s โˆง ๐ท โ‰  0s )))
184, 7, 17mpbir2and 710 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ท) โ‰  0s )
1914, 15, 16, 18divsmuld 28075 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยทs ๐ถ) /su (๐ต ยทs ๐ท)) = ((๐ด /su ๐ต) ยทs (๐ถ /su ๐ท)) โ†” ((๐ต ยทs ๐ท) ยทs ((๐ด /su ๐ต) ยทs (๐ถ /su ๐ท))) = (๐ด ยทs ๐ถ)))
2013, 19mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) /su (๐ต ยทs ๐ท)) = ((๐ด /su ๐ต) ยทs (๐ถ /su ๐ท)))
2120eqcomd 2732 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด /su ๐ต) ยทs (๐ถ /su ๐ท)) = ((๐ด ยทs ๐ถ) /su (๐ต ยทs ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7405   No csur 27528   0s c0s 27710   ยทs cmuls 27961   /su cdivs 28042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-dc 10443
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-nadd 8667  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533  df-sle 27633  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-0s 27712  df-1s 27713  df-made 27729  df-old 27730  df-left 27732  df-right 27733  df-norec 27810  df-norec2 27821  df-adds 27832  df-negs 27889  df-subs 27890  df-muls 27962  df-divs 28043
This theorem is referenced by:  remulscllem1  28183
  Copyright terms: Public domain W3C validator