Theorem divmuldivsd 28403

Description: Multiplication of two surreal ratios. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divmuldivsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divmuldivsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divmuldivsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divmuldivsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
divmuldivsd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divmuldivsd.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divmuldivsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmuldivsd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divmuldivsd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
3		divmuldivsd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		divmuldivsd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
5	3, 1, 4	divscld 28395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
6		divmuldivsd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
7		divmuldivsd.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0s )
8	6, 2, 7	divscld 28395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 /su 𝐷) ∈ No )
9	1, 2, 5, 8	muls4d 28339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = ((𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) ·s (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷))))
10	3, 1, 4	divscan2d 28396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴)
11	6, 2, 7	divscan2d 28396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷)) = 𝐶)
12	10, 11	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) ·s (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶))
13	9, 12	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶))
14	3, 6	mulscld 28306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
15	5, 8	mulscld 28306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) ∈ No )
16	1, 2	mulscld 28306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
17	1, 2	mulsne0bd 28357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐷 ≠ 0s )))
18	4, 7, 17	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ≠ 0s )
19	14, 15, 16, 18	divmulsd 28393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)) = ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) ↔ ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶)))
20	13, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)) = ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)))
21	20	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412   No csur 27782   0_s c0s 27976   ·_s cmuls 28277   /_su cdivs 28358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-dc 10431

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-nadd 8653  df-no 27785  df-lts 27786  df-bday 27787  df-les 27887  df-slts 27929  df-cuts 27931  df-0s 27978  df-1s 27979  df-made 27998  df-old 27999  df-left 28001  df-right 28002  df-norec 28109  df-norec2 28120  df-adds 28131  df-negs 28192  df-subs 28193  df-muls 28278  df-divs 28359

This theorem is referenced by:  remulscllem1  28671