Theorem divmuldivsd 28274

Description: Multiplication of two surreal ratios. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divmuldivsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divmuldivsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divmuldivsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divmuldivsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
divmuldivsd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divmuldivsd.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divmuldivsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmuldivsd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divmuldivsd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
3		divmuldivsd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		divmuldivsd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
5	3, 1, 4	divscld 28266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
6		divmuldivsd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
7		divmuldivsd.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0s )
8	6, 2, 7	divscld 28266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 /su 𝐷) ∈ No )
9	1, 2, 5, 8	muls4d 28212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = ((𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) ·s (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷))))
10	3, 1, 4	divscan2d 28267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴)
11	6, 2, 7	divscan2d 28267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷)) = 𝐶)
12	10, 11	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) ·s (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶))
13	9, 12	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶))
14	3, 6	mulscld 28179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
15	5, 8	mulscld 28179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) ∈ No )
16	1, 2	mulscld 28179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
17	1, 2	mulsne0bd 28230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐷 ≠ 0s )))
18	4, 7, 17	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ≠ 0s )
19	14, 15, 16, 18	divsmuld 28264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)) = ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) ↔ ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶)))
20	13, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)) = ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)))
21	20	eqcomd 2746	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448   No csur 27702   0_s c0s 27885   ·_s cmuls 28150   /_su cdivs 28231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-dc 10515

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-nadd 8722  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sle 27808  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-0s 27887  df-1s 27888  df-made 27904  df-old 27905  df-left 27907  df-right 27908  df-norec 27989  df-norec2 28000  df-adds 28011  df-negs 28071  df-subs 28072  df-muls 28151  df-divs 28232

This theorem is referenced by:  remulscllem1  28450