Theorem divmuldivsd 28150

Description: Multiplication of two surreal ratios. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divmuldivsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divmuldivsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divmuldivsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divmuldivsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
divmuldivsd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divmuldivsd.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divmuldivsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmuldivsd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divmuldivsd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
3		divmuldivsd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		divmuldivsd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
5	3, 1, 4	divscld 28142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
6		divmuldivsd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
7		divmuldivsd.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0s )
8	6, 2, 7	divscld 28142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 /su 𝐷) ∈ No )
9	1, 2, 5, 8	muls4d 28088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = ((𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) ·s (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷))))
10	3, 1, 4	divscan2d 28143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴)
11	6, 2, 7	divscan2d 28143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷)) = 𝐶)
12	10, 11	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) ·s (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶))
13	9, 12	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶))
14	3, 6	mulscld 28055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
15	5, 8	mulscld 28055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) ∈ No )
16	1, 2	mulscld 28055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
17	1, 2	mulsne0bd 28106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐷 ≠ 0s )))
18	4, 7, 17	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ≠ 0s )
19	14, 15, 16, 18	divsmuld 28140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)) = ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) ↔ ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶)))
20	13, 19	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)) = ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)))
21	20	eqcomd 2734	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  (class class class)co 7426   No csur 27593   0_s c0s 27775   ·_s cmuls 28026   /_su cdivs 28107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-dc 10477

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-nadd 8693  df-no 27596  df-slt 27597  df-bday 27598  df-sle 27698  df-sslt 27734  df-scut 27736  df-0s 27777  df-1s 27778  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec 27875  df-norec2 27886  df-adds 27897  df-negs 27954  df-subs 27955  df-muls 28027  df-divs 28108

This theorem is referenced by:  remulscllem1  28248