Theorem divmuldivsd 28226

Description: Multiplication of two surreal ratios. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divmuldivsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divmuldivsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divmuldivsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divmuldivsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
divmuldivsd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divmuldivsd.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divmuldivsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmuldivsd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divmuldivsd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
3		divmuldivsd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		divmuldivsd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
5	3, 1, 4	divscld 28218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
6		divmuldivsd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
7		divmuldivsd.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0s )
8	6, 2, 7	divscld 28218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 /su 𝐷) ∈ No )
9	1, 2, 5, 8	muls4d 28162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = ((𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) ·s (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷))))
10	3, 1, 4	divscan2d 28219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴)
11	6, 2, 7	divscan2d 28219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷)) = 𝐶)
12	10, 11	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) ·s (𝐷 ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶))
13	9, 12	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶))
14	3, 6	mulscld 28129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
15	5, 8	mulscld 28129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) ∈ No )
16	1, 2	mulscld 28129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
17	1, 2	mulsne0bd 28180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐷 ≠ 0s )))
18	4, 7, 17	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ≠ 0s )
19	14, 15, 16, 18	divmulsd 28216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)) = ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) ↔ ((𝐵 ·s 𝐷) ·s ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷))) = (𝐴 ·s 𝐶)))
20	13, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)) = ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)))
21	20	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) ·s (𝐶 /su 𝐷)) = ((𝐴 ·s 𝐶) /su (𝐵 ·s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7369   No csur 27605   0_s c0s 27799   ·_s cmuls 28100   /_su cdivs 28181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-dc 10370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-nadd 8604  df-no 27608  df-lts 27609  df-bday 27610  df-les 27711  df-slts 27752  df-cuts 27754  df-0s 27801  df-1s 27802  df-made 27821  df-old 27822  df-left 27824  df-right 27825  df-norec 27932  df-norec2 27943  df-adds 27954  df-negs 28015  df-subs 28016  df-muls 28101  df-divs 28182

This theorem is referenced by:  remulscllem1  28494