![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulsproplem11 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for surreal multiplication. Under the inductive hypothesis, demonstrate closure of surreal multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 5-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsproplem.1 | โข (๐ โ โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No (((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (( bday โ๐) +no ( bday โ๐))) โช ((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (( bday โ๐) +no ( bday โ๐))))) โ ((( bday โ๐ด) +no ( bday โ๐ต)) โช (((( bday โ๐ถ) +no ( bday โ๐ธ)) โช (( bday โ๐ท) +no ( bday โ๐น))) โช ((( bday โ๐ถ) +no ( bday โ๐น)) โช (( bday โ๐ท) +no ( bday โ๐ธ))))) โ ((๐ ยทs ๐) โ No โง ((๐ <s ๐ โง ๐ <s ๐) โ ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) <s ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))))) |
mulsproplem9.1 | โข (๐ โ ๐ด โ No ) |
mulsproplem9.2 | โข (๐ โ ๐ต โ No ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsproplem11 | โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ต) โ No ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulsproplem.1 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No (((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (( bday โ๐) +no ( bday โ๐))) โช ((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (( bday โ๐) +no ( bday โ๐))))) โ ((( bday โ๐ด) +no ( bday โ๐ต)) โช (((( bday โ๐ถ) +no ( bday โ๐ธ)) โช (( bday โ๐ท) +no ( bday โ๐น))) โช ((( bday โ๐ถ) +no ( bday โ๐น)) โช (( bday โ๐ท) +no ( bday โ๐ธ))))) โ ((๐ ยทs ๐) โ No โง ((๐ <s ๐ โง ๐ <s ๐) โ ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) <s ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))))) | |
2 | mulsproplem9.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ No ) | |
3 | mulsproplem9.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ No ) | |
4 | 1, 2, 3 | mulsproplem10 27941 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยทs ๐ต) โ No โง ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}))) |
5 | 4 | simp1d 1139 | 1 โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ต) โ No ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 {cab 2701 โwral 3053 โwrex 3062 โช cun 3938 {csn 4620 class class class wbr 5138 โcfv 6533 (class class class)co 7401 +no cnadd 8660 No csur 27489 <s cslt 27490 bday cbday 27491 <<s csslt 27629 L cleft 27688 R cright 27689 +s cadds 27792 -s csubs 27849 ยทs cmuls 27922 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-tp 4625 df-op 4627 df-ot 4629 df-uni 4900 df-int 4941 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-se 5622 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-1o 8461 df-2o 8462 df-nadd 8661 df-no 27492 df-slt 27493 df-bday 27494 df-sle 27594 df-sslt 27630 df-scut 27632 df-0s 27673 df-made 27690 df-old 27691 df-left 27693 df-right 27694 df-norec 27771 df-norec2 27782 df-adds 27793 df-negs 27850 df-subs 27851 df-muls 27923 |
This theorem is referenced by: mulsproplem13 27944 mulsproplem14 27945 mulsprop 27946 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |