![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulsproplem11 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for surreal multiplication. Under the inductive hypothesis, demonstrate closure of surreal multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 5-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsproplem.1 | โข (๐ โ โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No (((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (( bday โ๐) +no ( bday โ๐))) โช ((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (( bday โ๐) +no ( bday โ๐))))) โ ((( bday โ๐ด) +no ( bday โ๐ต)) โช (((( bday โ๐ถ) +no ( bday โ๐ธ)) โช (( bday โ๐ท) +no ( bday โ๐น))) โช ((( bday โ๐ถ) +no ( bday โ๐น)) โช (( bday โ๐ท) +no ( bday โ๐ธ))))) โ ((๐ ยทs ๐) โ No โง ((๐ <s ๐ โง ๐ <s ๐) โ ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) <s ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))))) |
mulsproplem9.1 | โข (๐ โ ๐ด โ No ) |
mulsproplem9.2 | โข (๐ โ ๐ต โ No ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsproplem11 | โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ต) โ No ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulsproplem.1 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No โ๐ โ No (((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (( bday โ๐) +no ( bday โ๐))) โช ((( bday โ๐) +no ( bday โ๐)) โช (( bday โ๐) +no ( bday โ๐))))) โ ((( bday โ๐ด) +no ( bday โ๐ต)) โช (((( bday โ๐ถ) +no ( bday โ๐ธ)) โช (( bday โ๐ท) +no ( bday โ๐น))) โช ((( bday โ๐ถ) +no ( bday โ๐น)) โช (( bday โ๐ท) +no ( bday โ๐ธ))))) โ ((๐ ยทs ๐) โ No โง ((๐ <s ๐ โง ๐ <s ๐) โ ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) <s ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))))) | |
2 | mulsproplem9.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ No ) | |
3 | mulsproplem9.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ No ) | |
4 | 1, 2, 3 | mulsproplem10 27494 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยทs ๐ต) โ No โง ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}))) |
5 | 4 | simp1d 1142 | 1 โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ต) โ No ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 {cab 2708 โwral 3060 โwrex 3069 โช cun 3942 {csn 4622 class class class wbr 5141 โcfv 6532 (class class class)co 7393 +no cnadd 8647 No csur 27070 <s cslt 27071 bday cbday 27072 <<s csslt 27208 L cleft 27263 R cright 27264 +s cadds 27359 -s csubs 27411 ยทs cmuls 27476 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2702 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7708 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3774 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4523 df-pw 4598 df-sn 4623 df-pr 4625 df-tp 4627 df-op 4629 df-ot 4631 df-uni 4902 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6289 df-ord 6356 df-on 6357 df-suc 6359 df-iota 6484 df-fun 6534 df-fn 6535 df-f 6536 df-f1 6537 df-fo 6538 df-f1o 6539 df-fv 6540 df-riota 7349 df-ov 7396 df-oprab 7397 df-mpo 7398 df-1st 7957 df-2nd 7958 df-frecs 8248 df-wrecs 8279 df-recs 8353 df-1o 8448 df-2o 8449 df-nadd 8648 df-no 27073 df-slt 27074 df-bday 27075 df-sle 27175 df-sslt 27209 df-scut 27211 df-0s 27251 df-made 27265 df-old 27266 df-left 27268 df-right 27269 df-norec 27338 df-norec2 27349 df-adds 27360 df-negs 27412 df-subs 27413 df-muls 27477 |
This theorem is referenced by: mulsproplem13 27497 mulsproplem14 27498 mulsprop 27499 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |