MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsup0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsup0 13309
Description: The supremum of an empty set under the extended reals is minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsup0 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem xrsup0
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4396 . 2 ∅ ⊆ ℝ*
2 mnfxr 11278 . 2 -∞ ∈ ℝ*
3 ral0 4512 . 2 𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦
4 rexr 11267 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5 nltmnf 13116 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
76pm2.21d 121 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
87rgen 3062 . 2 𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)
9 supxr 13299 . 2 (((∅ ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))) → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
101, 2, 3, 8, 9mp4an 690 1 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  supcsup 9441  cr 11115  -∞cmnf 11253  *cxr 11254   < clt 11255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454
This theorem is referenced by:  mdegcl  25924  mdeg0  25925  suplesup  44507  supxrltinfxr  44617  supminfxr  44632  limsup0  44868
  Copyright terms: Public domain W3C validator