Theorem xrsup0 13217

Description: The supremum of an empty set under the extended reals is minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsup0	⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem xrsup0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4345	. 2 ⊢ ∅ ⊆ ℝ*
2		mnfxr 11164	. 2 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		ral0 4458	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦
4		rexr 11153	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		nltmnf 13023	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
7	6	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
8	7	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)
9		supxr 13207	. 2 ⊢ (((∅ ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))) → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
10	1, 2, 3, 8, 9	mp4an 693	1 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278   class class class wbr 5086  supcsup 9319  ℝcr 11000  -∞cmnf 11139  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  mdegcl  25996  mdeg0  25997  suplesup  45378  supxrltinfxr  45487  supminfxr  45502  limsup0  45732