Theorem xrsup0 13242

Description: The supremum of an empty set under the extended reals is minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsup0	⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem xrsup0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. 2 ⊢ ∅ ⊆ ℝ*
2		mnfxr 11193	. 2 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		ral0 4452	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦
4		rexr 11182	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		nltmnf 13047	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
7	6	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
8	7	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)
9		supxr 13232	. 2 ⊢ (((∅ ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))) → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
10	1, 2, 3, 8, 9	mp4an 694	1 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  supcsup 9347  ℝcr 11029  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  mdegcl  26034  mdeg0  26035  suplesup  45620  supxrltinfxr  45729  supminfxr  45744  limsup0  45974