Theorem xrsup0 12811

Description: The supremum of an empty set under the extended reals is minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsup0	⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem xrsup0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4295	. 2 ⊢ ∅ ⊆ ℝ*
2		mnfxr 10788	. 2 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		ral0 4409	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦
4		rexr 10777	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		nltmnf 12619	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
7	6	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
8	7	rgen 3064	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)
9		supxr 12801	. 2 ⊢ (((∅ ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))) → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
10	1, 2, 3, 8, 9	mp4an 693	1 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∃wrex 3055   ⊆ wss 3853  ∅c0 4221   class class class wbr 5040  supcsup 8989  ℝcr 10626  -∞cmnf 10763  ℝ^*cxr 10764   < clt 10765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963

This theorem is referenced by:  mdegcl  24834  mdeg0  24835  suplesup  42456  supxrltinfxr  42568  supminfxr  42584  limsup0  42817