MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsup0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsup0 13335
Description: The supremum of an empty set under the extended reals is minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsup0 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞

Proof of Theorem xrsup0
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4397 . 2 ∅ ⊆ ℝ*
2 mnfxr 11302 . 2 -∞ ∈ ℝ*
3 ral0 4513 . 2 𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦
4 rexr 11291 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5 nltmnf 13142 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
76pm2.21d 121 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
87rgen 3060 . 2 𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)
9 supxr 13325 . 2 (((∅ ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))) → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
101, 2, 3, 8, 9mp4an 692 1 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wrex 3067  wss 3947  c0 4323   class class class wbr 5148  supcsup 9464  cr 11138  -∞cmnf 11277  *cxr 11278   < clt 11279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478
This theorem is referenced by:  mdegcl  26018  mdeg0  26019  suplesup  44721  supxrltinfxr  44831  supminfxr  44846  limsup0  45082
  Copyright terms: Public domain W3C validator