Theorem om2noseqf1o 28460

Description: 𝐺 is a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqf1o	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqf1o

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqfo 28457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
5		fof 6793	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
7	1, 2, 3	om2noseqlt 28458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧)))
8	1, 2, 3	om2noseqlt 28458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
9	8	ancom2s 662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
10	7, 9	orim12d 979	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
11	10	con3d 153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)) → ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
12	3, 1	noseqssno 28453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
13	6, 12	fssd 6724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
14	13	ffvelcdmda 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ No )
15	14	adantrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑦) ∈ No )
16	13	ffvelcdmda 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑧) ∈ No )
17	16	adantrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑧) ∈ No )
18		ltstrieq2 27880	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ No ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ No ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
19		ioran 999	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
20	18, 19	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ No ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ No ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
21	15, 17, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6398	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	11, 21, 26	3imtr4d 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
28	27	ralrimivva 3214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
29		dff13 7253	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝑍 ↔ (𝐺:ω⟶𝑍 ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
30	6, 28, 29	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝑍)
31		df-f1o 6544	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→𝑍 ↔ (𝐺:ω–1-1→𝑍 ∧ 𝐺:ω–onto→𝑍))
32	30, 4, 31	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   ↾ cres 5664   “ cima 5665  Ord word 6360  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ωcom 7862  reccrdg 8396   No csur 27770   <s clts 27771   1_s c1s 27965   +_s cadds 28118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-nadd 8652  df-no 27773  df-lts 27774  df-bday 27775  df-les 27875  df-slts 27917  df-cuts 27919  df-0s 27966  df-1s 27967  df-made 27986  df-old 27987  df-left 27989  df-right 27990  df-norec2 28108  df-adds 28119

This theorem is referenced by:  om2noseqiso  28461  noseqrdglem  28464  noseqrdgfn  28465  noseqrdgsuc  28467