Theorem om2noseqf1o 28299

Description: 𝐺 is a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqf1o	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqf1o

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqfo 28296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
5		fof 6746	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
7	1, 2, 3	om2noseqlt 28297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧)))
8	1, 2, 3	om2noseqlt 28297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
9	8	ancom2s 650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
10	7, 9	orim12d 966	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
11	10	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)) → ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
12	3, 1	noseqssno 28292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
13	6, 12	fssd 6679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
14	13	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ No )
15	14	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑦) ∈ No )
16	13	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑧) ∈ No )
17	16	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑧) ∈ No )
18		ltstrieq2 27720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ No ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ No ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
19		ioran 985	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
20	18, 19	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ No ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ No ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
21	15, 17, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6353	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	11, 21, 26	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
28	27	ralrimivva 3179	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
29		dff13 7200	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝑍 ↔ (𝐺:ω⟶𝑍 ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
30	6, 28, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝑍)
31		df-f1o 6499	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→𝑍 ↔ (𝐺:ω–1-1→𝑍 ∧ 𝐺:ω–onto→𝑍))
32	30, 4, 31	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Ord word 6316  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8340   No csur 27609   <s clts 27610   1_s c1s 27804   +_s cadds 27957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-nadd 8594  df-no 27612  df-lts 27613  df-bday 27614  df-les 27715  df-slts 27756  df-cuts 27758  df-0s 27805  df-1s 27806  df-made 27825  df-old 27826  df-left 27828  df-right 27829  df-norec2 27947  df-adds 27958

This theorem is referenced by:  om2noseqiso  28300  noseqrdglem  28303  noseqrdgfn  28304  noseqrdgsuc  28306