Theorem om2noseqf1o 28275

Description: 𝐺 is a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqf1o	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqf1o

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqfo 28272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
5		fof 6815	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
7	1, 2, 3	om2noseqlt 28273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧)))
8	1, 2, 3	om2noseqlt 28273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
9	8	ancom2s 648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
10	7, 9	orim12d 962	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
11	10	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)) → ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
12	3, 1	noseqssno 28268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
13	6, 12	fssd 6745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
14	13	ffvelcdmda 7098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ No )
15	14	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑦) ∈ No )
16	13	ffvelcdmda 7098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑧) ∈ No )
17	16	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑧) ∈ No )
18		slttrieq2 27780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ No ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ No ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
19		ioran 981	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
20	18, 19	bitr4di 288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ No ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ No ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
21	15, 17, 20	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6412	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	11, 21, 26	3imtr4d 293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
28	27	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
29		dff13 7270	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝑍 ↔ (𝐺:ω⟶𝑍 ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
30	6, 28, 29	sylanbrc 581	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝑍)
31		df-f1o 6561	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→𝑍 ↔ (𝐺:ω–1-1→𝑍 ∧ 𝐺:ω–onto→𝑍))
32	30, 4, 31	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  Vcvv 3462   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236   ↾ cres 5684   “ cima 5685  Ord word 6375  ⟶wf 6550  –1-1→wf1 6551  –onto→wfo 6552  –1-1-onto→wf1o 6553  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ωcom 7876  reccrdg 8439   No csur 27669   <s cslt 27670   1_s c1s 27853   +_s cadds 27973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-nadd 8696  df-no 27672  df-slt 27673  df-bday 27674  df-sle 27775  df-sslt 27811  df-scut 27813  df-0s 27854  df-1s 27855  df-made 27871  df-old 27872  df-left 27874  df-right 27875  df-norec2 27963  df-adds 27974

This theorem is referenced by:  om2noseqiso  28276  noseqrdglem  28279  noseqrdgfn  28280  noseqrdgsuc  28282