Theorem om2noseqf1o 28293

Description: 𝐺 is a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqf1o	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqf1o

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqfo 28290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
5		fof 6752	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
7	1, 2, 3	om2noseqlt 28291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧)))
8	1, 2, 3	om2noseqlt 28291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
9	8	ancom2s 651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
10	7, 9	orim12d 967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
11	10	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)) → ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
12	3, 1	noseqssno 28286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
13	6, 12	fssd 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
14	13	ffvelcdmda 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ No )
15	14	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑦) ∈ No )
16	13	ffvelcdmda 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑧) ∈ No )
17	16	adantrl 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑧) ∈ No )
18		ltstrieq2 27714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ No ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ No ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
19		ioran 986	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦)))
20	18, 19	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ No ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ No ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
21	15, 17, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) <s (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) <s (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6359	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	11, 21, 26	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
28	27	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
29		dff13 7209	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝑍 ↔ (𝐺:ω⟶𝑍 ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
30	6, 28, 29	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝑍)
31		df-f1o 6505	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→𝑍 ↔ (𝐺:ω–1-1→𝑍 ∧ 𝐺:ω–onto→𝑍))
32	30, 4, 31	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633   “ cima 5634  Ord word 6322  ⟶wf 6494  –1-1→wf1 6495  –onto→wfo 6496  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817  reccrdg 8348   No csur 27603   <s clts 27604   1_s c1s 27798   +_s cadds 27951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-1s 27800  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec2 27941  df-adds 27952

This theorem is referenced by:  om2noseqiso  28294  noseqrdglem  28297  noseqrdgfn  28298  noseqrdgsuc  28300