Theorem n0ssno 28287

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssno	⊢ ℕ0s ⊆ No

Proof of Theorem n0ssno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0s 28282	. . . 4 ⊢ ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω))
3		0sno 27850	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0s ∈ No )
5	2, 4	noseqssno 28262	. 2 ⊢ (⊤ → ℕ0s ⊆ No )
6	5	mptru 1541	1 ⊢ ℕ0s ⊆ No

Syntax hints:   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ⊆ wss 3946   ↦ cmpt 5226   “ cima 5675  (class class class)co 7413  ωcom 7865  reccrdg 8428   No csur 27663   0_s c0s 27846   1_s c1s 27847   +_s cadds 27967  ℕ_0scnn0s 28280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-nadd 8685  df-no 27666  df-slt 27667  df-bday 27668  df-sslt 27805  df-scut 27807  df-0s 27848  df-1s 27849  df-made 27865  df-old 27866  df-left 27868  df-right 27869  df-norec2 27957  df-adds 27968  df-n0s 28282

This theorem is referenced by:  nnssno  28289  n0sno  28290