Theorem n0ssno 28334

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssno	⊢ ℕ0s ⊆ No

Proof of Theorem n0ssno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0s 28328	. . . 4 ⊢ ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω))
3		0no 27823	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0s ∈ No )
5	2, 4	noseqssno 28308	. 2 ⊢ (⊤ → ℕ0s ⊆ No )
6	5	mptru 1555	1 ⊢ ℕ0s ⊆ No

Syntax hints:   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885   ↦ cmpt 5156   “ cima 5624  (class class class)co 7360  ωcom 7810  reccrdg 8342   No csur 27625   0_s c0s 27819   1_s c1s 27820   +_s cadds 27973  ℕ_0scn0s 28326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27628  df-lts 27629  df-bday 27630  df-slts 27772  df-cuts 27774  df-0s 27821  df-1s 27822  df-made 27841  df-old 27842  df-left 27844  df-right 27845  df-norec2 27963  df-adds 27974  df-n0s 28328

This theorem is referenced by:  nnssno  28336  n0no  28337  n0fincut  28369  bdayn0sf1o  28384  n0expscl  28446