Theorem n0ssno 28255

Description: The non-negative surreal integers are a subset of the surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0ssno	⊢ ℕ0s ⊆ No

Proof of Theorem n0ssno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0s 28250	. . . 4 ⊢ ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω))
3		0sno 27776	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0s ∈ No )
5	2, 4	noseqssno 28230	. 2 ⊢ (⊤ → ℕ0s ⊆ No )
6	5	mptru 1548	1 ⊢ ℕ0s ⊆ No

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   ↦ cmpt 5174   “ cima 5622  (class class class)co 7352  ωcom 7802  reccrdg 8334   No csur 27584   0_s c0s 27772   1_s c1s 27773   +_s cadds 27908  ℕ_0scnn0s 28248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-nadd 8587  df-no 27587  df-slt 27588  df-bday 27589  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27774  df-1s 27775  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec2 27898  df-adds 27909  df-n0s 28250

This theorem is referenced by:  nnssno  28257  n0sno  28258  n0sfincut  28288  bdayn0sf1o  28301  n0expscl  28361