MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numwdom 9338
Description: A surjection maps numerable sets to numerable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numwdom ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdomi 8885 . 2 (𝐵* 𝐴 → (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
2 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3 0fin 8599 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
4 finnum 9230 . . . . 5 (∅ ∈ Fin → ∅ ∈ dom card)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ dom card
62, 5syl6eqel 2893 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 ∈ dom card)
7 fonum 9337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
87ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ dom card))
98exlimdv 1915 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ dom card))
109imp 407 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
116, 10jaodan 952 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
121, 11sylan2 592 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 842   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  c0 4217   class class class wbr 4968  dom cdm 5450  ontowfo 6230  Fincfn 8364  * cwdom 8874  cardccrd 9217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-fin 8368  df-wdom 8876  df-card 9221  df-acn 9224
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  22349
  Copyright terms: Public domain W3C validator