MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numwdom 10097
Description: A surjection maps numerable sets to numerable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numwdom ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdomi 9606 . 2 (𝐵* 𝐴 → (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3 0fi 9081 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
4 finnum 9986 . . . . 5 (∅ ∈ Fin → ∅ ∈ dom card)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ dom card
62, 5eqeltrdi 2847 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 ∈ dom card)
7 fonum 10096 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
87ex 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ dom card))
98exlimdv 1931 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ dom card))
109imp 406 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
116, 10jaodan 959 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
121, 11sylan2 593 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  c0 4339   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ontowfo 6561  Fincfn 8984  * cwdom 9602  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-wdom 9603  df-card 9977  df-acn 9980
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  24077
  Copyright terms: Public domain W3C validator