MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numwdom 9861
Description: A surjection maps numerable sets to numerable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numwdom ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdomi 9371 . 2 (𝐵* 𝐴 → (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
2 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3 0fin 8992 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
4 finnum 9750 . . . . 5 (∅ ∈ Fin → ∅ ∈ dom card)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ dom card
62, 5eqeltrdi 2845 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 ∈ dom card)
7 fonum 9860 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
87ex 414 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ dom card))
98exlimdv 1934 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ dom card))
109imp 408 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
116, 10jaodan 956 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
121, 11sylan2 594 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 845   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  c0 4262   class class class wbr 5081  dom cdm 5600  ontowfo 6456  Fincfn 8764  * cwdom 9367  cardccrd 9737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-fin 8768  df-wdom 9368  df-card 9741  df-acn 9744
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  23249
  Copyright terms: Public domain W3C validator