Theorem numwdom 9981

Description: A surjection maps numerable sets to numerable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numwdom	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numwdom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdomi 9485	. 2 ⊢ (𝐵 ≼* 𝐴 → (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3		0fi 8991	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
4		finnum 9872	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ Fin → ∅ ∈ dom card)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom card
6	2, 5	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 ∈ dom card)
7		fonum 9980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
8	7	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ dom card))
9	8	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ dom card))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
11	6, 10	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
12	1, 11	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  –onto→wfo 6498  Fincfn 8895   ≼^* cwdom 9481  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-wdom 9482  df-card 9863  df-acn 9866

This theorem is referenced by:  ptcmplem2  24009