Theorem numwdom 9746

Description: A surjection maps numerable sets to numerable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numwdom	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numwdom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdomi 9257	. 2 ⊢ (𝐵 ≼* 𝐴 → (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3		0fin 8916	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
4		finnum 9637	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ Fin → ∅ ∈ dom card)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom card
6	2, 5	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 ∈ dom card)
7		fonum 9745	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
8	7	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ dom card))
9	8	exlimdv 1937	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ dom card))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
11	6, 10	jaodan 954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
12	1, 11	sylan2 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  –onto→wfo 6416  Fincfn 8691   ≼^* cwdom 9253  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-fin 8695  df-wdom 9254  df-card 9628  df-acn 9631

This theorem is referenced by:  ptcmplem2  23112