Theorem dip0r 31324

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dip0r.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
dip0r.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dip0r	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Proof of Theorem dip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dip0r.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		dip0r.5	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 31241	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
8		dip0r.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	1, 5, 6, 7, 8	ipval2 31314	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
10	4, 9	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
11		neg1cn 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
12	6, 2	nvsz 31245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
13	11, 12	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
15	14	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))
16	15	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍)))
17	16	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2))
18	17	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2)))
19	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem3 31312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
20	4, 19	mpd3an3 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℂ)
22	21	subidd 11660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2)) = 0)
23	18, 22	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
24		negicn 11561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -i ∈ ℂ
25	6, 2	nvsz 31245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ) → ( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
26	24, 25	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
27		ax-icn 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
28	6, 2	nvsz 31245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ) → (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
29	27, 28	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
30	26, 29	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))
32	31	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))
33	32	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))))
34	33	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2))
35	34	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))
36	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem4 31313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
37	27, 36	mpan2 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
38	4, 37	mpd3an3 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
39	38	subidd 11660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
41	40	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2))) = (i · 0))
42	23, 41	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) = (0 + (i · 0)))
43		it0e0 12572	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
44	43	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
45		00id 11488	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
46	44, 45	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
47	42, 46	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) = 0)
48	47	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = (0 / 4))
49		4cn 12431	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
50		4ne0 12457	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
51	49, 50	div0i 12054	. . 3 ⊢ (0 / 4) = 0
52	48, 51	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = 0)
53	10, 52	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  4c4 12402  ↑cexp 14207  NrmCVeccnv 31191   +_𝑣 cpv 31192  BaseSetcba 31193   ·_𝑠OLD cns 31194  0_veccn0v 31195  norm_CVcnmcv 31197  ·_𝑖OLDcdip 31307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-grpo 31100  df-gid 31101  df-ginv 31102  df-ablo 31152  df-vc 31166  df-nv 31199  df-va 31202  df-ba 31203  df-sm 31204  df-0v 31205  df-nmcv 31207  df-dip 31308

This theorem is used by:  dip0l  31325  siii  31460