MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dip0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dip0r 30746
Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5 𝑍 = (0vec𝑈)
dip0r.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dip0r ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Proof of Theorem dip0r
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 dip0r.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 30663 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
43adantr 480 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
5 eqid 2735 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
6 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2735 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
8 dip0r.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
91, 5, 6, 7, 8ipval2 30736 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
104, 9mpd3an3 1461 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
11 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
126, 2nvsz 30667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1311, 12mpan2 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1514oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
1615fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍)))
1716oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2))
1817oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2)))
191, 5, 6, 7, 8ipval2lem3 30734 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
204, 19mpd3an3 1461 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
2120recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℂ)
2221subidd 11606 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2)) = 0)
2318, 22eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
24 negicn 11507 . . . . . . . . . . . . . . 15 -i ∈ ℂ
256, 2nvsz 30667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ) → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
2624, 25mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
27 ax-icn 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
286, 2nvsz 30667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ) → (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
2927, 28mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ NrmCVec → (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
3026, 29eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))
3231oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
3332fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))))
3433oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2))
3534oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))
361, 5, 6, 7, 8ipval2lem4 30735 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
3727, 36mpan2 691 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
384, 37mpd3an3 1461 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
3938subidd 11606 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
4035, 39eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
4140oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2))) = (i · 0))
4223, 41oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) = (0 + (i · 0)))
43 it0e0 12486 . . . . . . 7 (i · 0) = 0
4443oveq2i 7442 . . . . . 6 (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
45 00id 11434 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45eqtri 2763 . . . . 5 (0 + (i · 0)) = 0
4742, 46eqtrdi 2791 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) = 0)
4847oveq1d 7446 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12349 . . . 4 4 ∈ ℂ
50 4ne0 12372 . . . 4 4 ≠ 0
5149, 50div0i 11999 . . 3 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2791 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = 0)
5310, 52eqtrd 2775 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14099  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  0veccn0v 30617  normCVcnmcv 30619  ·𝑖OLDcdip 30729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-dip 30730
This theorem is referenced by:  dip0l  30747  siii  30882
  Copyright terms: Public domain W3C validator