Theorem dip0r 31047

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dip0r.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
dip0r.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dip0r	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Proof of Theorem dip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dip0r.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		dip0r.5	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 30964	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
8		dip0r.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	1, 5, 6, 7, 8	ipval2 31037	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
10	4, 9	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
11		neg1cn 12204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
12	6, 2	nvsz 30968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
13	11, 12	mpan2 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
15	14	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))
16	15	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍)))
17	16	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2))
18	17	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2)))
19	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem3 31035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
20	4, 19	mpd3an3 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℂ)
22	21	subidd 11558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2)) = 0)
23	18, 22	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
24		negicn 11459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -i ∈ ℂ
25	6, 2	nvsz 30968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ) → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
26	24, 25	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
27		ax-icn 11160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
28	6, 2	nvsz 30968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ) → (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
29	27, 28	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
30	26, 29	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))
32	31	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))
33	32	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))))
34	33	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2))
35	34	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))
36	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem4 31036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
37	27, 36	mpan2 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
38	4, 37	mpd3an3 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
39	38	subidd 11558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
41	40	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2))) = (i · 0))
42	23, 41	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) = (0 + (i · 0)))
43		it0e0 12468	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
44	43	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
45		00id 11386	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
46	44, 45	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
47	42, 46	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) = 0)
48	47	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = (0 / 4))
49		4cn 12327	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
50		4ne0 12353	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
51	49, 50	div0i 11950	. . 3 ⊢ (0 / 4) = 0
52	48, 51	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = 0)
53	10, 52	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102  ici 11103   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11872  2c2 12296  4c4 12298  ↑cexp 14099  NrmCVeccnv 30914   +_𝑣 cpv 30915  BaseSetcba 30916   ·_𝑠OLD cns 30917  0_veccn0v 30918  norm_CVcnmcv 30920  ·_𝑖OLDcdip 31030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-grpo 30823  df-gid 30824  df-ginv 30825  df-ablo 30875  df-vc 30889  df-nv 30922  df-va 30925  df-ba 30926  df-sm 30927  df-0v 30928  df-nmcv 30930  df-dip 31031

This theorem is referenced by:  dip0l  31048  siii  31183