MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dip0r Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dip0r 29970
Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dip0r.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
dip0r.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dip0r ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝑍) = 0)
Proof of Theorem dip0r
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 dip0r.5 . . . . 5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvzcl 29887 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
43adantr 482 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
5 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
7 eqid 2733 . . . 4 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
8 dip0r.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
91, 5, 6, 7, 8ipval2 29960 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)))) / 4))
104, 9mpd3an3 1463 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)))) / 4))
11 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
126, 2nvsz 29891 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1311, 12mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1514oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))
1615fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍)))
1716oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2))
1817oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) = ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2)))
191, 5, 6, 7, 8ipval2lem3 29958 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
204, 19mpd3an3 1463 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
2120recnd 11242 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) ∈ β„‚)
2221subidd 11559 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2)) = 0)
2318, 22eqtrd 2773 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) = 0)
24 negicn 11461 . . . . . . . . . . . . . . 15 -i ∈ β„‚
256, 2nvsz 29891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚) β†’ (-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
2624, 25mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
27 ax-icn 11169 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ β„‚
286, 2nvsz 29891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚) β†’ (i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
2927, 28mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
3026, 29eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = (i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍))
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = (i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍))
3231oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))
3332fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍))))
3433oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2))
3534oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) = ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)))
361, 5, 6, 7, 8ipval2lem4 29959 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) ∈ β„‚)
3727, 36mpan2 690 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) ∈ β„‚)
384, 37mpd3an3 1463 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) ∈ β„‚)
3938subidd 11559 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) = 0)
4035, 39eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) = 0)
4140oveq2d 7425 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2))) = (i Β· 0))
4223, 41oveq12d 7427 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)))) = (0 + (i Β· 0)))
43 it0e0 12434 . . . . . . 7 (i Β· 0) = 0
4443oveq2i 7420 . . . . . 6 (0 + (i Β· 0)) = (0 + 0)
45 00id 11389 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45eqtri 2761 . . . . 5 (0 + (i Β· 0)) = 0
4742, 46eqtrdi 2789 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)))) = 0)
4847oveq1d 7424 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12297 . . . 4 4 ∈ β„‚
50 4ne0 12320 . . . 4 4 β‰  0
5149, 50div0i 11948 . . 3 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2789 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))↑2)))) / 4) = 0)
5310, 52eqtrd 2773 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝑍) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  4c4 12269  β†‘cexp 14027  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841  normCVcnmcv 29843  Β·π‘–OLDcdip 29953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-dip 29954
This theorem is referenced by:  dip0l  29971  siii  30106
  Copyright terms: Public domain W3C validator