Theorem dip0r 29058

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dip0r.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
dip0r.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dip0r	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Proof of Theorem dip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dip0r.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		dip0r.5	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 28975	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
8		dip0r.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	1, 5, 6, 7, 8	ipval2 29048	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
10	4, 9	mpd3an3 1460	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
11		neg1cn 12070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
12	6, 2	nvsz 28979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
13	11, 12	mpan2 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
15	14	oveq2d 7284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))
16	15	fveq2d 6772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍)))
17	16	oveq1d 7283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2))
18	17	oveq2d 7284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2)))
19	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem3 29046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
20	4, 19	mpd3an3 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 10987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℂ)
22	21	subidd 11303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2)) = 0)
23	18, 22	eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
24		negicn 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -i ∈ ℂ
25	6, 2	nvsz 28979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ) → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
26	24, 25	mpan2 687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
27		ax-icn 10914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
28	6, 2	nvsz 28979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ) → (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
29	27, 28	mpan2 687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
30	26, 29	eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))
32	31	oveq2d 7284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))
33	32	fveq2d 6772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))))
34	33	oveq1d 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2))
35	34	oveq2d 7284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))
36	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem4 29047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
37	27, 36	mpan2 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
38	4, 37	mpd3an3 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
39	38	subidd 11303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
41	40	oveq2d 7284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2))) = (i · 0))
42	23, 41	oveq12d 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) = (0 + (i · 0)))
43		it0e0 12178	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
44	43	oveq2i 7279	. . . . . 6 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
45		00id 11133	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
46	44, 45	eqtri 2767	. . . . 5 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
47	42, 46	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) = 0)
48	47	oveq1d 7283	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = (0 / 4))
49		4cn 12041	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
50		4ne0 12064	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
51	49, 50	div0i 11692	. . 3 ⊢ (0 / 4) = 0
52	48, 51	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = 0)
53	10, 52	eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856  ici 10857   + caddc 10858   · cmul 10860   − cmin 11188  -cneg 11189   / cdiv 11615  2c2 12011  4c4 12013  ↑cexp 13763  NrmCVeccnv 28925   +_𝑣 cpv 28926  BaseSetcba 28927   ·_𝑠OLD cns 28928  0_veccn0v 28929  norm_CVcnmcv 28931  ·_𝑖OLDcdip 29041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379  df-grpo 28834  df-gid 28835  df-ginv 28836  df-ablo 28886  df-vc 28900  df-nv 28933  df-va 28936  df-ba 28937  df-sm 28938  df-0v 28939  df-nmcv 28941  df-dip 29042

This theorem is referenced by:  dip0l  29059  siii  29194