Theorem dip0r 30803

Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dip0r.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
dip0r.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dip0r	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Proof of Theorem dip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dip0r.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		dip0r.5	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 30720	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
8		dip0r.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	1, 5, 6, 7, 8	ipval2 30793	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
10	4, 9	mpd3an3 1465	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
11		neg1cn 12135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
12	6, 2	nvsz 30724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
13	11, 12	mpan2 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
15	14	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))
16	15	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍)))
17	16	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2))
18	17	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2)))
19	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem3 30791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
20	4, 19	mpd3an3 1465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℂ)
22	21	subidd 11484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2)) = 0)
23	18, 22	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
24		negicn 11385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -i ∈ ℂ
25	6, 2	nvsz 30724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ) → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
26	24, 25	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
27		ax-icn 11088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
28	6, 2	nvsz 30724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ) → (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
29	27, 28	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
30	26, 29	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))
32	31	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))
33	32	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍))))
34	33	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2))
35	34	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))
36	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem4 30792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
37	27, 36	mpan2 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
38	4, 37	mpd3an3 1465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
39	38	subidd 11484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
41	40	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2))) = (i · 0))
42	23, 41	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) = (0 + (i · 0)))
43		it0e0 12391	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
44	43	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
45		00id 11312	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
46	44, 45	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
47	42, 46	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) = 0)
48	47	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = (0 / 4))
49		4cn 12257	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
50		4ne0 12280	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
51	49, 50	div0i 11880	. . 3 ⊢ (0 / 4) = 0
52	48, 51	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-i( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = 0)
53	10, 52	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  4c4 12229  ↑cexp 14014  NrmCVeccnv 30670   +_𝑣 cpv 30671  BaseSetcba 30672   ·_𝑠OLD cns 30673  0_veccn0v 30674  norm_CVcnmcv 30676  ·_𝑖OLDcdip 30786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-nmcv 30686  df-dip 30787

This theorem is referenced by:  dip0l  30804  siii  30939