MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dip0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dip0r 30737
Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5 𝑍 = (0vec𝑈)
dip0r.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dip0r ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)

Proof of Theorem dip0r
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 dip0r.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 30654 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
43adantr 480 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
5 eqid 2736 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
6 eqid 2736 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2736 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
8 dip0r.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
91, 5, 6, 7, 8ipval2 30727 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
104, 9mpd3an3 1463 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4))
11 neg1cn 12381 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
126, 2nvsz 30658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1311, 12mpan2 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1514oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
1615fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍)))
1716oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2))
1817oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2)))
191, 5, 6, 7, 8ipval2lem3 30725 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
204, 19mpd3an3 1463 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℝ)
2120recnd 11290 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) ∈ ℂ)
2221subidd 11609 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2)) = 0)
2318, 22eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
24 negicn 11510 . . . . . . . . . . . . . . 15 -i ∈ ℂ
256, 2nvsz 30658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ) → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
2624, 25mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
27 ax-icn 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
286, 2nvsz 30658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ) → (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
2927, 28mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ NrmCVec → (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
3026, 29eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = (i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))
3231oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
3332fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍))))
3433oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2))
3534oveq2d 7448 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))
361, 5, 6, 7, 8ipval2lem4 30726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
3727, 36mpan2 691 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
384, 37mpd3an3 1463 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) ∈ ℂ)
3938subidd 11609 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
4035, 39eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) = 0)
4140oveq2d 7448 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2))) = (i · 0))
4223, 41oveq12d 7450 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) = (0 + (i · 0)))
43 it0e0 12491 . . . . . . 7 (i · 0) = 0
4443oveq2i 7443 . . . . . 6 (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
45 00id 11437 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45eqtri 2764 . . . . 5 (0 + (i · 0)) = 0
4742, 46eqtrdi 2792 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) = 0)
4847oveq1d 7447 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 12352 . . . 4 4 ∈ ℂ
50 4ne0 12375 . . . 4 4 ≠ 0
5149, 50div0i 12002 . . 3 (0 / 4) = 0
5248, 51eqtrdi 2792 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))↑2)))) / 4) = 0)
5310, 52eqtrd 2776 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  4c4 12324  cexp 14103  NrmCVeccnv 30604   +𝑣 cpv 30605  BaseSetcba 30606   ·𝑠OLD cns 30607  0veccn0v 30608  normCVcnmcv 30610  ·𝑖OLDcdip 30720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-grpo 30513  df-gid 30514  df-ginv 30515  df-ablo 30565  df-vc 30579  df-nv 30612  df-va 30615  df-ba 30616  df-sm 30617  df-0v 30618  df-nmcv 30620  df-dip 30721
This theorem is referenced by:  dip0l  30738  siii  30873
  Copyright terms: Public domain W3C validator