Theorem nvz0 30871

Description: The norm of a zero vector is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvz0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvz0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvz0	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)

Proof of Theorem nvz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		nvz0.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 30837	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈))
4		0re 11183	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		0le0 12319	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
6	4, 5	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8		nvz0.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
9	1, 7, 8	nvsge0 30867	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0) ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
10	6, 9	mp3an2 1470	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
11	3, 10	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
12	1, 7, 2	nv0 30840	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
13	3, 12	mpdan 697	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
14	13	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝑁‘𝑍))
15	1, 8	nvcl 30864	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑍) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11210	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑍) ∈ ℂ)
17	3, 16	mpdan 697	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) ∈ ℂ)
18	17	mul02d 11381	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0 · (𝑁‘𝑍)) = 0)
19	11, 14, 18	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073   · cmul 11078   ≤ cle 11217  NrmCVeccnv 30787  BaseSetcba 30789   ·_𝑠OLD cns 30790  0_veccn0v 30791  norm_CVcnmcv 30793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-grpo 30696  df-gid 30697  df-ginv 30698  df-ablo 30748  df-vc 30762  df-nv 30795  df-va 30798  df-ba 30799  df-sm 30800  df-0v 30801  df-nmcv 30803

This theorem is referenced by:  nvz  30872  nvge0  30876  ipidsq  30913  nmosetn0  30968  nmoo0  30994  nmlnoubi  30999  nmblolbii  31002  blocnilem  31007