MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvz0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvz0 29899
Description: The norm of a zero vector is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvz0.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
nvz0.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvz0 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜π‘) = 0)
Proof of Theorem nvz0
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nvz0.5 . . . 4 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvzcl 29865 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
4 0re 11212 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 0le0 12309 . . . . 5 0 ≀ 0
64, 5pm3.2i 472 . . . 4 (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0)
7 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
8 nvz0.6 . . . . 5 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
91, 7, 8nvsge0 29895 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0) ∧ 𝑍 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (0 Β· (π‘β€˜π‘)))
106, 9mp3an2 1450 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (0 Β· (π‘β€˜π‘)))
113, 10mpdan 686 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (0 Β· (π‘β€˜π‘)))
121, 7, 2nv0 29868 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
133, 12mpdan 686 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1413fveq2d 6892 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (π‘β€˜π‘))
151, 8nvcl 29892 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ ℝ)
1615recnd 11238 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„‚)
173, 16mpdan 686 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„‚)
1817mul02d 11408 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0 Β· (π‘β€˜π‘)) = 0)
1911, 14, 183eqtr3d 2781 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜π‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  NrmCVeccnv 29815  BaseSetcba 29817   ·𝑠OLD cns 29818  0veccn0v 29819  normCVcnmcv 29821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-nmcv 29831
This theorem is referenced by:  nvz  29900  nvge0  29904  ipidsq  29941  nmosetn0  29996  nmoo0  30022  nmlnoubi  30027  nmblolbii  30030  blocnilem  30035
  Copyright terms: Public domain W3C validator