Theorem nvz0 30648

Description: The norm of a zero vector is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvz0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvz0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvz0	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)

Proof of Theorem nvz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		nvz0.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 30614	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈))
4		0re 11114	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		0le0 12226	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8		nvz0.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
9	1, 7, 8	nvsge0 30644	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0) ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
10	6, 9	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
11	3, 10	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
12	1, 7, 2	nv0 30617	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
13	3, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
14	13	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝑁‘𝑍))
15	1, 8	nvcl 30641	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑍) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11140	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑍) ∈ ℂ)
17	3, 16	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) ∈ ℂ)
18	17	mul02d 11311	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0 · (𝑁‘𝑍)) = 0)
19	11, 14, 18	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006   · cmul 11011   ≤ cle 11147  NrmCVeccnv 30564  BaseSetcba 30566   ·_𝑠OLD cns 30567  0_veccn0v 30568  norm_CVcnmcv 30570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-nmcv 30580

This theorem is referenced by:  nvz  30649  nvge0  30653  ipidsq  30690  nmosetn0  30745  nmoo0  30771  nmlnoubi  30776  nmblolbii  30779  blocnilem  30784