Theorem nvz0 30757

Description: The norm of a zero vector is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvz0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvz0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvz0	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)

Proof of Theorem nvz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		nvz0.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 30723	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈))
4		0re 11140	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		0le0 12276	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8		nvz0.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
9	1, 7, 8	nvsge0 30753	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0) ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
10	6, 9	mp3an2 1452	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
11	3, 10	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
12	1, 7, 2	nv0 30726	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
13	3, 12	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
14	13	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝑁‘𝑍))
15	1, 8	nvcl 30750	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑍) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11167	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑍) ∈ ℂ)
17	3, 16	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) ∈ ℂ)
18	17	mul02d 11338	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0 · (𝑁‘𝑍)) = 0)
19	11, 14, 18	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032   · cmul 11037   ≤ cle 11174  NrmCVeccnv 30673  BaseSetcba 30675   ·_𝑠OLD cns 30676  0_veccn0v 30677  norm_CVcnmcv 30679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689

This theorem is referenced by:  nvz  30758  nvge0  30762  ipidsq  30799  nmosetn0  30854  nmoo0  30880  nmlnoubi  30885  nmblolbii  30888  blocnilem  30893