Theorem nvz0 30612

Description: The norm of a zero vector is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvz0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvz0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvz0	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)

Proof of Theorem nvz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		nvz0.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 30578	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈))
4		0re 11117	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		0le0 12229	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8		nvz0.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
9	1, 7, 8	nvsge0 30608	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0) ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
10	6, 9	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
11	3, 10	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁‘𝑍)))
12	1, 7, 2	nv0 30581	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
13	3, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
14	13	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝑁‘𝑍))
15	1, 8	nvcl 30605	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑍) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11143	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑍) ∈ ℂ)
17	3, 16	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) ∈ ℂ)
18	17	mul02d 11314	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0 · (𝑁‘𝑍)) = 0)
19	11, 14, 18	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009   · cmul 11014   ≤ cle 11150  NrmCVeccnv 30528  BaseSetcba 30530   ·_𝑠OLD cns 30531  0_veccn0v 30532  norm_CVcnmcv 30534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-nmcv 30544

This theorem is referenced by:  nvz  30613  nvge0  30617  ipidsq  30654  nmosetn0  30709  nmoo0  30735  nmlnoubi  30740  nmblolbii  30743  blocnilem  30748