MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem1 30114
Description: Lemma for minveco 30124. The set of all distances from points of π‘Œ to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑀,𝐽   𝑀,𝑀,𝑦   𝑀,𝑁,𝑦   πœ‘,𝑀,𝑦   𝑀,𝑅   𝑀,𝐴,𝑦   𝑀,𝐷,𝑦   𝑀,π‘ˆ,𝑦   𝑀,π‘Š,𝑦   𝑀,𝑋   𝑀,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
2 minveco.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
3 phnv 30054 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
54adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
6 minveco.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
9 elin 3963 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) ↔ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
1110simpld 495 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
12 minveco.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
13 minveco.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
14 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
1512, 13, 14sspba 29967 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
164, 11, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
1716sselda 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
18 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
1912, 18nvmcl 29886 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
205, 7, 17, 19syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
21 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
2212, 21nvcl 29901 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
235, 20, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
2423fmpttd 7111 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))):π‘ŒβŸΆβ„)
2524frnd 6722 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) βŠ† ℝ)
261, 25eqsstrid 4029 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
2710simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CBan)
28 bnnv 30106 . . . . . 6 (π‘Š ∈ CBan β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
29 eqid 2732 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
3013, 29nvzcl 29874 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
3127, 28, 303syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
32 fvex 6901 . . . . . 6 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
33 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
3432, 33dmmpti 6691 . . . . 5 dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = π‘Œ
3531, 34eleqtrrdi 2844 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
3635ne0d 4334 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β‰  βˆ…)
37 dm0rn0 5922 . . . . 5 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ…)
381eqeq1i 2737 . . . . 5 (𝑅 = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ…)
3937, 38bitr4i 277 . . . 4 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ… ↔ 𝑅 = βˆ…)
4039necon3bii 2993 . . 3 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β‰  βˆ… ↔ 𝑅 β‰  βˆ…)
4136, 40sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
4212, 21nvge0 29913 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
435, 20, 42syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4443ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4532rgenw 3065 . . . . 5 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
46 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ (0 ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
4733, 46ralrnmptw 7092 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
4845, 47ax-mp 5 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4944, 48sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀)
501raleqi 3323 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀)
5149, 50sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
5226, 41, 513jca 1128 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106   ≀ cle 11245  MetOpencmopn 20926  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826  0veccn0v 29828   βˆ’π‘£ cnsb 29829  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831  SubSpcss 29961  CPreHilOLDccphlo 30052  CBanccbn 30102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103
This theorem is referenced by:  minvecolem2  30115  minvecolem3  30116  minvecolem4c  30119  minvecolem4  30120  minvecolem5  30121  minvecolem6  30122
  Copyright terms: Public domain W3C validator