MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem1 30723
Description: Lemma for minveco 30733. The set of all distances from points of π‘Œ to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑀,𝐽   𝑀,𝑀,𝑦   𝑀,𝑁,𝑦   πœ‘,𝑀,𝑦   𝑀,𝑅   𝑀,𝐴,𝑦   𝑀,𝐷,𝑦   𝑀,π‘ˆ,𝑦   𝑀,π‘Š,𝑦   𝑀,𝑋   𝑀,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
2 minveco.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
3 phnv 30663 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
54adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
6 minveco.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
76adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
9 elin 3957 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) ↔ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
1110simpld 493 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
12 minveco.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
13 minveco.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
14 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
1512, 13, 14sspba 30576 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
164, 11, 15syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
1716sselda 3973 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
18 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
1912, 18nvmcl 30495 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
205, 7, 17, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
21 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
2212, 21nvcl 30510 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
235, 20, 22syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
2423fmpttd 7118 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))):π‘ŒβŸΆβ„)
2524frnd 6725 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) βŠ† ℝ)
261, 25eqsstrid 4022 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
2710simprd 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CBan)
28 bnnv 30715 . . . . . 6 (π‘Š ∈ CBan β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
29 eqid 2725 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
3013, 29nvzcl 30483 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
3127, 28, 303syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
32 fvex 6903 . . . . . 6 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
33 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
3432, 33dmmpti 6694 . . . . 5 dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = π‘Œ
3531, 34eleqtrrdi 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
3635ne0d 4332 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β‰  βˆ…)
37 dm0rn0 5922 . . . . 5 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ…)
381eqeq1i 2730 . . . . 5 (𝑅 = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ…)
3937, 38bitr4i 277 . . . 4 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ… ↔ 𝑅 = βˆ…)
4039necon3bii 2983 . . 3 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β‰  βˆ… ↔ 𝑅 β‰  βˆ…)
4136, 40sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
4212, 21nvge0 30522 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
435, 20, 42syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4443ralrimiva 3136 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4532rgenw 3055 . . . . 5 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
46 breq2 5148 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ (0 ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
4733, 46ralrnmptw 7097 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
4845, 47ax-mp 5 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4944, 48sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀)
501raleqi 3313 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀)
5149, 50sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
5226, 41, 513jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  dom cdm 5673  ran crn 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  0cc0 11133   ≀ cle 11274  MetOpencmopn 21268  NrmCVeccnv 30433  BaseSetcba 30435  0veccn0v 30437   βˆ’π‘£ cnsb 30438  normCVcnmcv 30439  IndMetcims 30440  SubSpcss 30570  CPreHilOLDccphlo 30661  CBanccbn 30711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-grpo 30342  df-gid 30343  df-ginv 30344  df-gdiv 30345  df-ablo 30394  df-vc 30408  df-nv 30441  df-va 30444  df-ba 30445  df-sm 30446  df-0v 30447  df-vs 30448  df-nmcv 30449  df-ssp 30571  df-ph 30662  df-cbn 30712
This theorem is referenced by:  minvecolem2  30724  minvecolem3  30725  minvecolem4c  30728  minvecolem4  30729  minvecolem5  30730  minvecolem6  30731
  Copyright terms: Public domain W3C validator