Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem1 28302
 Description: Lemma for minveco 28312. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐽   𝑤,𝑀,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐷,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋   𝑤,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
2 minveco.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
3 phnv 28241 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
54adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
6 minveco.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
76adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9 elin 4019 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
108, 9sylib 210 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
1110simpld 490 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
12 minveco.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13 minveco.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
14 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
1512, 13, 14sspba 28154 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
164, 11, 15syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
1716sselda 3821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
18 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
1912, 18nvmcl 28073 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
205, 7, 17, 19syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
21 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
2212, 21nvcl 28088 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
235, 20, 22syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
2423fmpttd 6649 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))):𝑌⟶ℝ)
2524frnd 6298 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ⊆ ℝ)
261, 25syl5eqss 3868 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
2710simprd 491 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ CBan)
28 bnnv 28294 . . . . . 6 (𝑊 ∈ CBan → 𝑊 ∈ NrmCVec)
29 eqid 2778 . . . . . . 7 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
3013, 29nvzcl 28061 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
3127, 28, 303syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
32 fvex 6459 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
33 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
3432, 33dmmpti 6269 . . . . 5 dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = 𝑌
3531, 34syl6eleqr 2870 . . . 4 (𝜑 → (0vec𝑊) ∈ dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
3635ne0d 4150 . . 3 (𝜑 → dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅)
37 dm0rn0 5587 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅)
381eqeq1i 2783 . . . . 5 (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅)
3937, 38bitr4i 270 . . . 4 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅ ↔ 𝑅 = ∅)
4039necon3bii 3021 . . 3 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅ ↔ 𝑅 ≠ ∅)
4136, 40sylib 210 . 2 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
4212, 21nvge0 28100 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
435, 20, 42syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
4443ralrimiva 3148 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
4532rgenw 3106 . . . . 5 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
46 breq2 4890 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
4733, 46ralrnmpt 6632 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
4845, 47ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
4944, 48sylibr 226 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤)
501raleqi 3338 . . 3 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤)
5149, 50sylibr 226 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
5226, 41, 513jca 1119 1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  Vcvv 3398   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  dom cdm 5355  ran crn 5356  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272   ≤ cle 10412  MetOpencmopn 20132  NrmCVeccnv 28011  BaseSetcba 28013  0veccn0v 28015   −𝑣 cnsb 28016  normCVcnmcv 28017  IndMetcims 28018  SubSpcss 28148  CPreHilOLDccphlo 28239  CBanccbn 28290 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291 This theorem is referenced by:  minvecolem2  28303  minvecolem3  28304  minvecolem4c  28307  minvecolem4  28308  minvecolem5  28309  minvecolem6  28310
 Copyright terms: Public domain W3C validator