MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem1 30658
Description: Lemma for minveco 30668. The set of all distances from points of π‘Œ to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑀,𝐽   𝑀,𝑀,𝑦   𝑀,𝑁,𝑦   πœ‘,𝑀,𝑦   𝑀,𝑅   𝑀,𝐴,𝑦   𝑀,𝐷,𝑦   𝑀,π‘ˆ,𝑦   𝑀,π‘Š,𝑦   𝑀,𝑋   𝑀,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
2 minveco.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
3 phnv 30598 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
54adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
6 minveco.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
9 elin 3960 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) ↔ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
1110simpld 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
12 minveco.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
13 minveco.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
14 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
1512, 13, 14sspba 30511 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
164, 11, 15syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
1716sselda 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
18 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
1912, 18nvmcl 30430 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
205, 7, 17, 19syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
21 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
2212, 21nvcl 30445 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
235, 20, 22syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
2423fmpttd 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))):π‘ŒβŸΆβ„)
2524frnd 6724 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) βŠ† ℝ)
261, 25eqsstrid 4026 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
2710simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CBan)
28 bnnv 30650 . . . . . 6 (π‘Š ∈ CBan β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
29 eqid 2727 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
3013, 29nvzcl 30418 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
3127, 28, 303syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
32 fvex 6904 . . . . . 6 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
33 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
3432, 33dmmpti 6693 . . . . 5 dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = π‘Œ
3531, 34eleqtrrdi 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
3635ne0d 4331 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β‰  βˆ…)
37 dm0rn0 5921 . . . . 5 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ…)
381eqeq1i 2732 . . . . 5 (𝑅 = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ…)
3937, 38bitr4i 278 . . . 4 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ… ↔ 𝑅 = βˆ…)
4039necon3bii 2988 . . 3 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β‰  βˆ… ↔ 𝑅 β‰  βˆ…)
4136, 40sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
4212, 21nvge0 30457 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
435, 20, 42syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4443ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4532rgenw 3060 . . . . 5 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
46 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ (0 ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
4733, 46ralrnmptw 7098 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
4845, 47ax-mp 5 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4944, 48sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀)
501raleqi 3318 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀)
5149, 50sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
5226, 41, 513jca 1126 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  0cc0 11124   ≀ cle 11265  MetOpencmopn 21249  NrmCVeccnv 30368  BaseSetcba 30370  0veccn0v 30372   βˆ’π‘£ cnsb 30373  normCVcnmcv 30374  IndMetcims 30375  SubSpcss 30505  CPreHilOLDccphlo 30596  CBanccbn 30646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-grpo 30277  df-gid 30278  df-ginv 30279  df-gdiv 30280  df-ablo 30329  df-vc 30343  df-nv 30376  df-va 30379  df-ba 30380  df-sm 30381  df-0v 30382  df-vs 30383  df-nmcv 30384  df-ssp 30506  df-ph 30597  df-cbn 30647
This theorem is referenced by:  minvecolem2  30659  minvecolem3  30660  minvecolem4c  30663  minvecolem4  30664  minvecolem5  30665  minvecolem6  30666
  Copyright terms: Public domain W3C validator