Theorem minvecolem1 30114

Description: Lemma for minveco 30124. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem1	⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐽   𝑤,𝑀,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐷,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋   𝑤,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
2		minveco.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
3		phnv 30054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
6		minveco.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		minveco.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9		elin 3963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
10	8, 9	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
11	10	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
12		minveco.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13		minveco.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
14		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
15	12, 13, 14	sspba 29967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
16	4, 11, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
17	16	sselda 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
18		minveco.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
19	12, 18	nvmcl 29886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
20	5, 7, 17, 19	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
21		minveco.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
22	12, 21	nvcl 29901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
23	5, 20, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
24	23	fmpttd 7111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))):𝑌⟶ℝ)
25	24	frnd 6722	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ⊆ ℝ)
26	1, 25	eqsstrid 4029	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
27	10	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CBan)
28		bnnv 30106	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ CBan → 𝑊 ∈ NrmCVec)
29		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
30	13, 29	nvzcl 29874	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ 𝑌)
31	27, 28, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0vec‘𝑊) ∈ 𝑌)
32		fvex 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
33		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
34	32, 33	dmmpti 6691	. . . . 5 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = 𝑌
35	31, 34	eleqtrrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0vec‘𝑊) ∈ dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
36	35	ne0d 4334	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅)
37		dm0rn0 5922	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅)
38	1	eqeq1i 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅)
39	37, 38	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ (dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅ ↔ 𝑅 = ∅)
40	39	necon3bii 2993	. . 3 ⊢ (dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅ ↔ 𝑅 ≠ ∅)
41	36, 40	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
42	12, 21	nvge0 29913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
43	5, 20, 42	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
44	43	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
45	32	rgenw 3065	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
46		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
47	33, 46	ralrnmptw 7092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
49	44, 48	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤)
50	1	raleqi 3323	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤)
51	49, 50	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
52	26, 41, 51	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11245  MetOpencmopn 20926  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826  0_veccn0v 29828   −_𝑣 cnsb 29829  norm_CVcnmcv 29830  IndMetcims 29831  SubSpcss 29961  CPreHil_OLDccphlo 30052  CBanccbn 30102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103

This theorem is referenced by:  minvecolem2  30115  minvecolem3  30116  minvecolem4c  30119  minvecolem4  30120  minvecolem5  30121  minvecolem6  30122