MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem1 29858
Description: Lemma for minveco 29868. The set of all distances from points of π‘Œ to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑀,𝐽   𝑀,𝑀,𝑦   𝑀,𝑁,𝑦   πœ‘,𝑀,𝑦   𝑀,𝑅   𝑀,𝐴,𝑦   𝑀,𝐷,𝑦   𝑀,π‘ˆ,𝑦   𝑀,π‘Š,𝑦   𝑀,𝑋   𝑀,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
2 minveco.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
3 phnv 29798 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
54adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
6 minveco.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
9 elin 3927 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) ↔ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
1110simpld 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
12 minveco.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
13 minveco.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
1512, 13, 14sspba 29711 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
164, 11, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
1716sselda 3945 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
18 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
1912, 18nvmcl 29630 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
205, 7, 17, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
21 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
2212, 21nvcl 29645 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
235, 20, 22syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
2423fmpttd 7064 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))):π‘ŒβŸΆβ„)
2524frnd 6677 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) βŠ† ℝ)
261, 25eqsstrid 3993 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
2710simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CBan)
28 bnnv 29850 . . . . . 6 (π‘Š ∈ CBan β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
29 eqid 2733 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
3013, 29nvzcl 29618 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
3127, 28, 303syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
32 fvex 6856 . . . . . 6 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
33 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
3432, 33dmmpti 6646 . . . . 5 dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = π‘Œ
3531, 34eleqtrrdi 2845 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
3635ne0d 4296 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β‰  βˆ…)
37 dm0rn0 5881 . . . . 5 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ…)
381eqeq1i 2738 . . . . 5 (𝑅 = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ…)
3937, 38bitr4i 278 . . . 4 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = βˆ… ↔ 𝑅 = βˆ…)
4039necon3bii 2993 . . 3 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β‰  βˆ… ↔ 𝑅 β‰  βˆ…)
4136, 40sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
4212, 21nvge0 29657 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
435, 20, 42syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4443ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4532rgenw 3065 . . . . 5 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
46 breq2 5110 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ (0 ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
4733, 46ralrnmptw 7045 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
4845, 47ax-mp 5 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
4944, 48sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀)
501raleqi 3310 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))0 ≀ 𝑀)
5149, 50sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
5226, 41, 513jca 1129 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056   ≀ cle 11195  MetOpencmopn 20802  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570  0veccn0v 29572   βˆ’π‘£ cnsb 29573  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575  SubSpcss 29705  CPreHilOLDccphlo 29796  CBanccbn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847
This theorem is referenced by:  minvecolem2  29859  minvecolem3  29860  minvecolem4c  29863  minvecolem4  29864  minvecolem5  29865  minvecolem6  29866
  Copyright terms: Public domain W3C validator