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Theorem cnfcom3lem 9165
Description: Lemma for cnfcom3 9166. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom3.1 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1o))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
2 cnfcom.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 suppssdm 7842 . . . . . 6 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
4 cnfcom.f . . . . . . . . 9 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6 omelon 9108 . . . . . . . . . . . . 13 ω ∈ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ω ∈ On)
85, 7, 2cantnff1o 9158 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
9 f1ocnv 6626 . . . . . . . . . . 11 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆)
10 f1of 6614 . . . . . . . . . . 11 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
12 cnfcom.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
1311, 12ffvelrnd 6851 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
144, 13eqeltrid 2917 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑆)
155, 7, 2cantnfs 9128 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1614, 15mpbid 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1716simpld 497 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
183, 17fssdm 6529 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐴)
19 ovex 7188 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp ∅) ∈ V
20 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2120oion 8999 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom 𝐺 ∈ On
2322elexi 3513 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 ∈ V
2423uniex 7466 . . . . . . . 8 dom 𝐺 ∈ V
2524sucid 6269 . . . . . . 7 dom 𝐺 ∈ suc dom 𝐺
26 cnfcom.h . . . . . . . 8 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
27 cnfcom.t . . . . . . . 8 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
28 cnfcom.m . . . . . . . 8 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
29 cnfcom.k . . . . . . . 8 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
30 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
31 peano1 7600 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
3330, 32sseldd 3967 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
345, 2, 12, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 1, 33cnfcom2lem 9163 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
3525, 34eleqtrrid 2920 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
3620oif 8993 . . . . . . 7 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
3736ffvelrni 6849 . . . . . 6 ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
3835, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
3918, 38sseldd 3967 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ 𝐴)
40 onelon 6215 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺 dom 𝐺) ∈ 𝐴) → (𝐺 dom 𝐺) ∈ On)
412, 39, 40syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ On)
421, 41eqeltrid 2917 . 2 (𝜑𝑊 ∈ On)
43 oecl 8161 . . . . . . 7 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
446, 2, 43sylancr 589 . . . . . 6 (𝜑 → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
45 onelon 6215 . . . . . 6 (((ω ↑o 𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → 𝐵 ∈ On)
4644, 12, 45syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ On)
47 ontri1 6224 . . . . 5 ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
486, 46, 47sylancr 589 . . . 4 (𝜑 → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
4930, 48mpbid 234 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ω)
504fveq2i 6672 . . . . . . . 8 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
51 f1ocnvfv2 7033 . . . . . . . . 9 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
528, 12, 51syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5350, 52syl5eq 2868 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
5453adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
556a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → ω ∈ On)
562adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
5714adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐹𝑆)
5831a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → ∅ ∈ ω)
59 1on 8108 . . . . . . . . 9 1o ∈ On
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 1o ∈ On)
61 ovexd 7190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
625, 7, 2, 20, 14cantnfcl 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
6362simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
6420oiiso 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
6561, 63, 64syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
6665ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
67 isof1o 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
69 f1ocnv 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
70 f1of 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
72 ffvelrn 6848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)
7371, 72sylancom 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)
74 elssuni 4867 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺)
76 onelon 6215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐺 ∈ On ∧ (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ On)
7722, 73, 76sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ On)
78 onuni 7507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝐺 ∈ On → dom 𝐺 ∈ On)
7922, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom 𝐺 ∈ On
80 ontri1 6224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺𝑥) ∈ On ∧ dom 𝐺 ∈ On) → ((𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺 ↔ ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥)))
8177, 79, 80sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ((𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺 ↔ ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥)))
8275, 81mpbid 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥))
8335ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
84 isorel 7078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) ∧ ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)) → ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥))))
8566, 83, 73, 84syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥))))
86 fvex 6682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺𝑥) ∈ V
8786epeli 5467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥))
881breq1i 5072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥)))
89 fvex 6682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ V
9089epeli 5467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)))
9188, 90bitr3i 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)))
9285, 87, 913bitr3g 315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥))))
93 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑊 = ∅)
94 f1ocnvfv2 7033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
9568, 94sylancom 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
9693, 95eleq12d 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ ∅ ∈ 𝑥))
9792, 96bitrd 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥) ↔ ∅ ∈ 𝑥))
9882, 97mtbid 326 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑥)
99 onss 7504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
1002, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ On)
10118, 100sstrd 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
102101adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
103102sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 ∈ On)
104 on0eqel 6307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
106105ord 860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (¬ 𝑥 = ∅ → ∅ ∈ 𝑥))
10798, 106mt3d 150 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 = ∅)
108 el1o 8123 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 1o𝑥 = ∅)
109107, 108sylibr 236 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 ∈ 1o)
110109ex 415 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅) → 𝑥 ∈ 1o))
111110ssrdv 3972 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 1o)
1125, 55, 56, 57, 58, 60, 111cantnflt2 9135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) ∈ (ω ↑o 1o))
113 oe1 8169 . . . . . . . 8 (ω ∈ On → (ω ↑o 1o) = ω)
1146, 113ax-mp 5 . . . . . . 7 (ω ↑o 1o) = ω
115112, 114eleqtrdi 2923 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) ∈ ω)
11654, 115eqeltrrd 2914 . . . . 5 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐵 ∈ ω)
117116ex 415 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 = ∅ → 𝐵 ∈ ω))
118117necon3bd 3030 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 ∈ ω → 𝑊 ≠ ∅))
11949, 118mpd 15 . 2 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
120 dif1o 8124 . 2 (𝑊 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝑊 ∈ On ∧ 𝑊 ≠ ∅))
12142, 119, 120sylanbrc 585 1 (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  Vcvv 3494  cdif 3932  cun 3933  wss 3935  c0 4290   cuni 4837   class class class wbr 5065  cmpt 5145   E cep 5463   We wwe 5512  ccnv 5553  dom cdm 5554  Oncon0 6190  suc csuc 6192  wf 6350  1-1-ontowf1o 6353  cfv 6354   Isom wiso 6355  (class class class)co 7155  cmpo 7157  ωcom 7579   supp csupp 7829  seqωcseqom 8082  1oc1o 8094   +o coa 8098   ·o comu 8099  o coe 8100   finSupp cfsupp 8832  OrdIsocoi 8972   CNF ccnf 9123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-seqom 8083  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-oexp 8107  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-oi 8973  df-cnf 9124
This theorem is referenced by:  cnfcom3  9166  cnfcom3clem  9167
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