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Theorem cnfcom3lem 8850
Description: Lemma for cnfcom3 8851. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +𝑜 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +𝑜 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +𝑜 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom3.1 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
2 cnfcom.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 suppssdm 7545 . . . . . 6 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
4 cnfcom.f . . . . . . . . 9 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6 omelon 8793 . . . . . . . . . . . . 13 ω ∈ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ω ∈ On)
85, 7, 2cantnff1o 8843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴))
9 f1ocnv 6368 . . . . . . . . . . 11 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)–1-1-onto𝑆)
10 f1of 6356 . . . . . . . . . . 11 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)⟶𝑆)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)⟶𝑆)
12 cnfcom.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴))
1311, 12ffvelrnd 6586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
144, 13syl5eqel 2882 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑆)
155, 7, 2cantnfs 8813 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1614, 15mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1716simpld 489 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
183, 17fssdm 6272 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐴)
19 ovex 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp ∅) ∈ V
20 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2120oion 8683 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom 𝐺 ∈ On
2322elexi 3401 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 ∈ V
2423uniex 7187 . . . . . . . 8 dom 𝐺 ∈ V
2524sucid 6020 . . . . . . 7 dom 𝐺 ∈ suc dom 𝐺
26 cnfcom.h . . . . . . . 8 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +𝑜 𝑧)), ∅)
27 cnfcom.t . . . . . . . 8 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
28 cnfcom.m . . . . . . . 8 𝑀 = ((ω ↑𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘)))
29 cnfcom.k . . . . . . . 8 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +𝑜 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +𝑜 𝑥)))
30 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
31 peano1 7319 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
3330, 32sseldd 3799 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
345, 2, 12, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 1, 33cnfcom2lem 8848 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
3525, 34syl5eleqr 2885 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
3620oif 8677 . . . . . . 7 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
3736ffvelrni 6584 . . . . . 6 ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
3835, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
3918, 38sseldd 3799 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ 𝐴)
40 onelon 5966 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺 dom 𝐺) ∈ 𝐴) → (𝐺 dom 𝐺) ∈ On)
412, 39, 40syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ On)
421, 41syl5eqel 2882 . 2 (𝜑𝑊 ∈ On)
43 oecl 7857 . . . . . . 7 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On)
446, 2, 43sylancr 582 . . . . . 6 (𝜑 → (ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On)
45 onelon 5966 . . . . . 6 (((ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴)) → 𝐵 ∈ On)
4644, 12, 45syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ On)
47 ontri1 5975 . . . . 5 ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
486, 46, 47sylancr 582 . . . 4 (𝜑 → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
4930, 48mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ω)
504fveq2i 6414 . . . . . . . 8 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
51 f1ocnvfv2 6761 . . . . . . . . 9 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
528, 12, 51syl2anc 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5350, 52syl5eq 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
5453adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
556a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → ω ∈ On)
562adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
5714adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐹𝑆)
5831a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → ∅ ∈ ω)
59 1on 7806 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ On
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 1𝑜 ∈ On)
61 ovexd 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
625, 7, 2, 20, 14cantnfcl 8814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
6362simpld 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
6420oiiso 8684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
6561, 63, 64syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
6665ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
67 isof1o 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
69 f1ocnv 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
70 f1of 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
72 ffvelrn 6583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)
7371, 72sylancom 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)
74 elssuni 4659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺)
76 onelon 5966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐺 ∈ On ∧ (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ On)
7722, 73, 76sylancr 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ On)
78 onuni 7227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝐺 ∈ On → dom 𝐺 ∈ On)
7922, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom 𝐺 ∈ On
80 ontri1 5975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺𝑥) ∈ On ∧ dom 𝐺 ∈ On) → ((𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺 ↔ ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥)))
8177, 79, 80sylancl 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ((𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺 ↔ ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥)))
8275, 81mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥))
8335ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
84 isorel 6804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) ∧ ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)) → ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥))))
8566, 83, 73, 84syl12anc 866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥))))
86 fvex 6424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺𝑥) ∈ V
8786epeli 5227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥))
881breq1i 4850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥)))
89 fvex 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ V
9089epeli 5227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)))
9188, 90bitr3i 269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)))
9285, 87, 913bitr3g 305 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥))))
93 simplr 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑊 = ∅)
94 f1ocnvfv2 6761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
9568, 94sylancom 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
9693, 95eleq12d 2872 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ ∅ ∈ 𝑥))
9792, 96bitrd 271 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥) ↔ ∅ ∈ 𝑥))
9882, 97mtbid 316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑥)
99 onss 7224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
1002, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ On)
10118, 100sstrd 3808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
102101adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
103102sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 ∈ On)
104 on0eqel 6058 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
106105ord 891 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (¬ 𝑥 = ∅ → ∅ ∈ 𝑥))
10798, 106mt3d 143 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 = ∅)
108 el1o 7819 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 1𝑜𝑥 = ∅)
109107, 108sylibr 226 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 ∈ 1𝑜)
110109ex 402 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅) → 𝑥 ∈ 1𝑜))
111110ssrdv 3804 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 1𝑜)
1125, 55, 56, 57, 58, 60, 111cantnflt2 8820 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) ∈ (ω ↑𝑜 1𝑜))
113 oe1 7864 . . . . . . . 8 (ω ∈ On → (ω ↑𝑜 1𝑜) = ω)
1146, 113ax-mp 5 . . . . . . 7 (ω ↑𝑜 1𝑜) = ω
115112, 114syl6eleq 2888 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) ∈ ω)
11654, 115eqeltrrd 2879 . . . . 5 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐵 ∈ ω)
117116ex 402 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 = ∅ → 𝐵 ∈ ω))
118117necon3bd 2985 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 ∈ ω → 𝑊 ≠ ∅))
11949, 118mpd 15 . 2 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
120 dif1o 7820 . 2 (𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜) ↔ (𝑊 ∈ On ∧ 𝑊 ≠ ∅))
12142, 119, 120sylanbrc 579 1 (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  Vcvv 3385  cdif 3766  cun 3767  wss 3769  c0 4115   cuni 4628   class class class wbr 4843  cmpt 4922   E cep 5224   We wwe 5270  ccnv 5311  dom cdm 5312  Oncon0 5941  suc csuc 5943  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101   Isom wiso 6102  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  ωcom 7299   supp csupp 7532  seq𝜔cseqom 7781  1𝑜c1o 7792   +𝑜 coa 7796   ·𝑜 comu 7797  𝑜 coe 7798   finSupp cfsupp 8517  OrdIsocoi 8656   CNF ccnf 8808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-seqom 7782  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-oexp 7805  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-cnf 8809
This theorem is referenced by:  cnfcom3  8851  cnfcom3clem  8852
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