MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom3lem 9644
Description: Lemma for cnfcom3 9645. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cnfcom.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
cnfcom.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
cnfcom.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom3.1 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘ง,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘“)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3 ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
2 cnfcom.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 suppssdm 8109 . . . . . 6 (๐น supp โˆ…) โŠ† dom ๐น
4 cnfcom.f . . . . . . . . 9 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . 12 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
6 omelon 9587 . . . . . . . . . . . . 13 ฯ‰ โˆˆ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
85, 7, 2cantnff1o 9637 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
9 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . . 11 ((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
10 f1of 6785 . . . . . . . . . . 11 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
12 cnfcom.b . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
1311, 12ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต) โˆˆ ๐‘†)
144, 13eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
155, 7, 2cantnfs 9607 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โ†” (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
1614, 15mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…))
1716simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
183, 17fssdm 6689 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† ๐ด)
19 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (๐น supp โˆ…) โˆˆ V
20 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
2120oion 9477 . . . . . . . . . . 11 ((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ dom ๐บ โˆˆ On)
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom ๐บ โˆˆ On
2322elexi 3463 . . . . . . . . 9 dom ๐บ โˆˆ V
2423uniex 7679 . . . . . . . 8 โˆช dom ๐บ โˆˆ V
2524sucid 6400 . . . . . . 7 โˆช dom ๐บ โˆˆ suc โˆช dom ๐บ
26 cnfcom.h . . . . . . . 8 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
27 cnfcom.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
28 cnfcom.m . . . . . . . 8 ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
29 cnfcom.k . . . . . . . 8 ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
30 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ต)
31 peano1 7826 . . . . . . . . . 10 โˆ… โˆˆ ฯ‰
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
3330, 32sseldd 3946 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
345, 2, 12, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 1, 33cnfcom2lem 9642 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
3525, 34eleqtrrid 2841 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ)
3620oif 9471 . . . . . . 7 ๐บ:dom ๐บโŸถ(๐น supp โˆ…)
3736ffvelcdmi 7035 . . . . . 6 (โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3835, 37syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3918, 38sseldd 3946 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ ๐ด)
40 onelon 6343 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ On)
412, 39, 40syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ On)
421, 41eqeltrid 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ On)
43 oecl 8484 . . . . . . 7 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On)
446, 2, 43sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On)
45 onelon 6343 . . . . . 6 (((ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
4644, 12, 45syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
47 ontri1 6352 . . . . 5 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โŠ† ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โˆˆ ฯ‰))
486, 46, 47sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โŠ† ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โˆˆ ฯ‰))
4930, 48mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
504fveq2i 6846 . . . . . . . 8 ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต))
51 f1ocnvfv2 7224 . . . . . . . . 9 (((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด)) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
528, 12, 51syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
5350, 52eqtrid 2785 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ๐ต)
5453adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ๐ต)
556a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
562adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
5714adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
5831a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
59 1on 8425 . . . . . . . . 9 1o โˆˆ On
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ 1o โˆˆ On)
61 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โˆˆ V)
625, 7, 2, 20, 14cantnfcl 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ( E We (๐น supp โˆ…) โˆง dom ๐บ โˆˆ ฯ‰))
6362simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ E We (๐น supp โˆ…))
6420oiiso 9478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โˆง E We (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐บ Isom E , E (dom ๐บ, (๐น supp โˆ…)))
6561, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Isom E , E (dom ๐บ, (๐น supp โˆ…)))
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐บ Isom E , E (dom ๐บ, (๐น supp โˆ…)))
67 isof1o 7269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐บ Isom E , E (dom ๐บ, (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
69 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…) โ†’ โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โ€“1-1-ontoโ†’dom ๐บ)
70 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โ€“1-1-ontoโ†’dom ๐บ โ†’ โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โŸถdom ๐บ)
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โŸถdom ๐บ)
72 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โŸถdom ๐บ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ dom ๐บ)
7371, 72sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ dom ๐บ)
74 elssuni 4899 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ dom ๐บ โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โŠ† โˆช dom ๐บ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โŠ† โˆช dom ๐บ)
76 onelon 6343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom ๐บ โˆˆ On โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ dom ๐บ) โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ On)
7722, 73, 76sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ On)
78 onuni 7724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom ๐บ โˆˆ On โ†’ โˆช dom ๐บ โˆˆ On)
7922, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 โˆช dom ๐บ โˆˆ On
80 ontri1 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ On โˆง โˆช dom ๐บ โˆˆ On) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โŠ† โˆช dom ๐บ โ†” ยฌ โˆช dom ๐บ โˆˆ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)))
8177, 79, 80sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โŠ† โˆช dom ๐บ โ†” ยฌ โˆช dom ๐บ โˆˆ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)))
8275, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ยฌ โˆช dom ๐บ โˆˆ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ))
8335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ)
84 isorel 7272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ Isom E , E (dom ๐บ, (๐น supp โˆ…)) โˆง (โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ dom ๐บ)) โ†’ (โˆช dom ๐บ E (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) E (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ))))
8566, 83, 73, 84syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (โˆช dom ๐บ E (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) E (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ))))
86 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
8786epeli 5540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆช dom ๐บ E (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆช dom ๐บ โˆˆ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ))
881breq1i 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Š E (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) E (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)))
89 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ V
9089epeli 5540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Š E (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐‘Š โˆˆ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)))
9188, 90bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) E (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐‘Š โˆˆ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)))
9285, 87, 913bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (โˆช dom ๐บ โˆˆ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘Š โˆˆ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ))))
93 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐‘Š = โˆ…)
94 f1ocnvfv2 7224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
9568, 94sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
9693, 95eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
9792, 96bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (โˆช dom ๐บ โˆˆ (โ—ก๐บโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
9882, 97mtbid 324 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
99 onss 7720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ On โ†’ ๐ด โŠ† On)
1002, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† On)
10118, 100sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† On)
102101adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† On)
103102sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
104 on0eqel 6442 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฅ = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (๐‘ฅ = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
106105ord 863 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
10798, 106mt3d 148 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
108 el1o 8442 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ 1o โ†” ๐‘ฅ = โˆ…)
109107, 108sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ 1o)
110109ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ 1o))
111110ssrdv 3951 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† 1o)
1125, 55, 56, 57, 58, 60, 111cantnflt2 9614 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o 1o))
113 oe1 8492 . . . . . . . 8 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โ†‘o 1o) = ฯ‰)
1146, 113ax-mp 5 . . . . . . 7 (ฯ‰ โ†‘o 1o) = ฯ‰
115112, 114eleqtrdi 2844 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) โˆˆ ฯ‰)
11654, 115eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Š = โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
117116ex 414 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š = โˆ… โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰))
118117necon3bd 2954 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘Š โ‰  โˆ…))
11949, 118mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โ‰  โˆ…)
120 dif1o 8447 . 2 (๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐‘Š โˆˆ On โˆง ๐‘Š โ‰  โˆ…))
12142, 119, 120sylanbrc 584 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  Vcvv 3444   โˆ– cdif 3908   โˆช cun 3909   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  โˆช cuni 4866   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   E cep 5537   We wwe 5588  โ—กccnv 5633  dom cdm 5634  Oncon0 6318  suc csuc 6320  โŸถwf 6493  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497   Isom wiso 6498  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  ฯ‰com 7803   supp csupp 8093  seqฯ‰cseqom 8394  1oc1o 8406   +o coa 8410   ยทo comu 8411   โ†‘o coe 8412   finSupp cfsupp 9308  OrdIsocoi 9450   CNF ccnf 9602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-seqom 8395  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-oexp 8419  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-cnf 9603
This theorem is referenced by:  cnfcom3  9645  cnfcom3clem  9646
  Copyright terms: Public domain W3C validator