MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omf1o 9099
Description: Construct an explicit bijection from ๐ด ยทo ๐ต to ๐ต ยทo ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omf1o.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ))
omf1o.2 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
omf1o ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐บ โˆ˜ โ—ก๐น):(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem omf1o
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ))
21omxpenlem 9097 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)):(๐ด ร— ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
32ancoms 458 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)):(๐ด ร— ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
4 eqid 2728 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง}) = (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})
54xpcomf1o 9085 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง}):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด ร— ๐ต)
6 f1oco 6862 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)):(๐ด ร— ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด) โˆง (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง}):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด ร— ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
73, 5, 6sylancl 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
8 omf1o.2 . . . . 5 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ))
94, 1xpcomco 9086 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ))
108, 9eqtr4i 2759 . . . 4 ๐บ = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง}))
11 f1oeq1 6827 . . . 4 (๐บ = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})) โ†’ (๐บ:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด) โ†” ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด)))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (๐บ:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด) โ†” ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
137, 12sylibr 233 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐บ:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
14 omf1o.1 . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ))
1514omxpenlem 9097 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐น:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด ยทo ๐ต))
16 f1ocnv 6851 . . 3 (๐น:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด ยทo ๐ต) โ†’ โ—ก๐น:(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ร— ๐ด))
1715, 16syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ โ—ก๐น:(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ร— ๐ด))
18 f1oco 6862 . 2 ((๐บ:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด) โˆง โ—ก๐น:(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ร— ๐ด)) โ†’ (๐บ โˆ˜ โ—ก๐น):(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
1913, 17, 18syl2anc 583 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐บ โˆ˜ โ—ก๐น):(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  {csn 4629  โˆช cuni 4908   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5676  โ—กccnv 5677   โˆ˜ ccom 5682  Oncon0 6369  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6547  (class class class)co 7420   โˆˆ cmpo 7422   +o coa 8483   ยทo comu 8484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-omul 8491
This theorem is referenced by:  cnfcom3  9727  infxpenc  10041
  Copyright terms: Public domain W3C validator