MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omf1o 9026
Description: Construct an explicit bijection from ๐ด ยทo ๐ต to ๐ต ยทo ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omf1o.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ))
omf1o.2 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
omf1o ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐บ โˆ˜ โ—ก๐น):(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem omf1o
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ))
21omxpenlem 9024 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)):(๐ด ร— ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
32ancoms 460 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)):(๐ด ร— ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
4 eqid 2737 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง}) = (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})
54xpcomf1o 9012 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง}):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด ร— ๐ต)
6 f1oco 6812 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)):(๐ด ร— ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด) โˆง (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง}):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด ร— ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
73, 5, 6sylancl 587 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
8 omf1o.2 . . . . 5 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ))
94, 1xpcomco 9013 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ))
108, 9eqtr4i 2768 . . . 4 ๐บ = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง}))
11 f1oeq1 6777 . . . 4 (๐บ = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})) โ†’ (๐บ:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด) โ†” ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด)))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (๐บ:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด) โ†” ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฅ)) โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ (๐ต ร— ๐ด) โ†ฆ โˆช โ—ก{๐‘ง})):(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
137, 12sylibr 233 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐บ:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
14 omf1o.1 . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ))
1514omxpenlem 9024 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐น:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด ยทo ๐ต))
16 f1ocnv 6801 . . 3 (๐น:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด ยทo ๐ต) โ†’ โ—ก๐น:(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ร— ๐ด))
1715, 16syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ โ—ก๐น:(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ร— ๐ด))
18 f1oco 6812 . 2 ((๐บ:(๐ต ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด) โˆง โ—ก๐น:(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ร— ๐ด)) โ†’ (๐บ โˆ˜ โ—ก๐น):(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
1913, 17, 18syl2anc 585 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐บ โˆ˜ โ—ก๐น):(๐ด ยทo ๐ต)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ต ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4591  โˆช cuni 4870   โ†ฆ cmpt 5193   ร— cxp 5636  โ—กccnv 5637   โˆ˜ ccom 5642  Oncon0 6322  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6500  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364   +o coa 8414   ยทo comu 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422
This theorem is referenced by:  cnfcom3  9647  infxpenc  9961
  Copyright terms: Public domain W3C validator