![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omxpen | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The cardinal and ordinal products are always equinumerous. Exercise 10 of [TakeutiZaring] p. 89. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
omxpen | โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xpcomeng 9015 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ร ๐ต) โ (๐ต ร ๐ด)) | |
2 | xpexg 7689 | . . . . 5 โข ((๐ต โ On โง ๐ด โ On) โ (๐ต ร ๐ด) โ V) | |
3 | 2 | ancoms 460 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ต ร ๐ด) โ V) |
4 | omcl 8487 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ On) | |
5 | eqid 2737 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ ๐ต, ๐ฆ โ ๐ด โฆ ((๐ด ยทo ๐ฅ) +o ๐ฆ)) = (๐ฅ โ ๐ต, ๐ฆ โ ๐ด โฆ ((๐ด ยทo ๐ฅ) +o ๐ฆ)) | |
6 | 5 | omxpenlem 9024 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ฅ โ ๐ต, ๐ฆ โ ๐ด โฆ ((๐ด ยทo ๐ฅ) +o ๐ฆ)):(๐ต ร ๐ด)โ1-1-ontoโ(๐ด ยทo ๐ต)) |
7 | f1oen2g 8915 | . . . 4 โข (((๐ต ร ๐ด) โ V โง (๐ด ยทo ๐ต) โ On โง (๐ฅ โ ๐ต, ๐ฆ โ ๐ด โฆ ((๐ด ยทo ๐ฅ) +o ๐ฆ)):(๐ต ร ๐ด)โ1-1-ontoโ(๐ด ยทo ๐ต)) โ (๐ต ร ๐ด) โ (๐ด ยทo ๐ต)) | |
8 | 3, 4, 6, 7 | syl3anc 1372 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ต ร ๐ด) โ (๐ด ยทo ๐ต)) |
9 | entr 8953 | . . 3 โข (((๐ด ร ๐ต) โ (๐ต ร ๐ด) โง (๐ต ร ๐ด) โ (๐ด ยทo ๐ต)) โ (๐ด ร ๐ต) โ (๐ด ยทo ๐ต)) | |
10 | 1, 8, 9 | syl2anc 585 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ร ๐ต) โ (๐ด ยทo ๐ต)) |
11 | 10 | ensymd 8952 | 1 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โ wcel 2107 Vcvv 3448 class class class wbr 5110 ร cxp 5636 Oncon0 6322 โ1-1-ontoโwf1o 6500 (class class class)co 7362 โ cmpo 7364 +o coa 8414 ยทo comu 8415 โ cen 8887 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-oadd 8421 df-omul 8422 df-er 8655 df-en 8891 |
This theorem is referenced by: xpnum 9894 infxpenc2 9965 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |