Theorem posdifsd 27528

Description: Comparison of two surreals whose difference is positive. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
posdifsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
posdifsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
posdifsd	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 0s <s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem posdifsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sno 27294	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		posdifsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4		posdifsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
5	3, 4	subscld 27502	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
6	2, 5, 4	sltadd1d 27448	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s <s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ( 0s +s 𝐴) <s ((𝐵 -s 𝐴) +s 𝐴)))
7		addslid 27419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)
9		npcans 27509	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ((𝐵 -s 𝐴) +s 𝐴) = 𝐵)
10	3, 4, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐴) +s 𝐴) = 𝐵)
11	8, 10	breq12d 5157	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 0s +s 𝐴) <s ((𝐵 -s 𝐴) +s 𝐴) ↔ 𝐴 <s 𝐵))
12	6, 11	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 0s <s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5144  (class class class)co 7396   No csur 27110   <s cslt 27111   0_s c0s 27290   +_s cadds 27410   -_s csubs 27462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-1o 8453  df-2o 8454  df-nadd 8653  df-no 27113  df-slt 27114  df-bday 27115  df-sle 27215  df-sslt 27250  df-scut 27252  df-0s 27292  df-made 27309  df-old 27310  df-left 27312  df-right 27313  df-norec 27389  df-norec2 27400  df-adds 27411  df-negs 27463  df-subs 27464

This theorem is referenced by:  sltmul2  27590  precsexlem9  27628