Theorem addslid 28288

Description: Surreal addition to zero is identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addslid	⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
2		0no 28129	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ∈ No )
4	1, 3	addscomd 28287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = ( 0s +s 𝐴))
5		addsrid 28284	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)
6	4, 5	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408   No csur 27931   0_s c0s 28125   +_s cadds 28279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27934  df-lts 27935  df-bday 27936  df-slts 28078  df-cuts 28080  df-0s 28127  df-made 28147  df-old 28148  df-left 28150  df-right 28151  df-norec2 28269  df-adds 28280

This theorem is used by:  ltaddspos2d  28332  negsdi  28370  negsval2  28386  subadds  28390  posdifsd  28418  subsge0d  28420  precsexlem11  28537  nnsge1  28663  1n0s  28668  n0lts1e0  28688  n0p1nns  28691  dfnns2  28692  eucliddivs  28696  peano5uzs  28724  zsoring  28729  twocut  28743  expsp1  28749  pw2cut  28780  bdaypw2n0bndlem  28783  bdayfinbndlem1  28787  z12bdaylem1  28790