Theorem addslid 28384

Description: Surreal addition to zero is identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addslid	⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No)
2		0no 28225	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ∈ No)
4	1, 3	addscomd 28383	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = ( 0s +s 𝐴))
5		addsrid 28380	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)
6	4, 5	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   0_s c0s 28221   +_s cadds 28375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec2 28365  df-adds 28376

This theorem is used by:  ltaddspos2d  28428  negsdi  28466  negsval2  28482  subadds  28486  posdifsd  28514  subsge0d  28516  precsexlem11  28633  nnsge1  28759  1n0s  28764  n0lts1e0  28784  n0p1nns  28787  dfnns2  28788  eucliddivs  28792  peano5uzs  28820  zsoring  28825  twocut  28839  expsp1  28845  pw2cut  28876  bdaypw2n0bndlem  28879  bdayfinbndlem1  28883  z12bdaylem1  28886