Theorem addslid 28031

Description: Surreal addition to zero is identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addslid	⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
2		0no 27872	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ∈ No )
4	1, 3	addscomd 28030	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = ( 0s +s 𝐴))
5		addsrid 28027	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)
6	4, 5	eqtr3d 2793	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385   No csur 27674   0_s c0s 27868   +_s cadds 28022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-1o 8425  df-2o 8426  df-no 27677  df-lts 27678  df-bday 27679  df-slts 27821  df-cuts 27823  df-0s 27870  df-made 27890  df-old 27891  df-left 27893  df-right 27894  df-norec2 28012  df-adds 28023

This theorem is referenced by:  ltaddspos2d  28075  negsdi  28113  negsval2  28129  subadds  28133  posdifsd  28161  subsge0d  28163  precsexlem11  28280  nnsge1  28406  1n0s  28411  n0lts1e0  28431  n0p1nns  28434  dfnns2  28435  eucliddivs  28439  peano5uzs  28467  zsoring  28472  twocut  28486  expsp1  28492  pw2cut  28523  bdaypw2n0bndlem  28526  bdayfinbndlem1  28530  z12bdaylem1  28533