Theorem addslid 28355

Description: Surreal addition to zero is identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addslid	⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem addslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No)
2		0no 28196	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ∈ No)
4	1, 3	addscomd 28354	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = ( 0s +s 𝐴))
5		addsrid 28351	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)
6	4, 5	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s +s 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  Nocsur 27998   0_s c0s 28192   +_s cadds 28346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-1o 8477  df-2o 8478  df-no 28001  df-lts 28002  df-bday 28003  df-slts 28145  df-cuts 28147  df-0s 28194  df-made 28214  df-old 28215  df-left 28217  df-right 28218  df-norec2 28336  df-adds 28347

This theorem is used by:  ltaddspos2d  28399  negsdi  28437  negsval2  28453  subadds  28457  posdifsd  28485  subsge0d  28487  precsexlem11  28604  nnsge1  28730  1n0s  28735  n0lts1e0  28755  n0p1nns  28758  dfnns2  28759  eucliddivs  28763  peano5uzs  28791  zsoring  28796  twocut  28810  expsp1  28816  pw2cut  28847  bdaypw2n0bndlem  28850  bdayfinbndlem1  28854  z12bdaylem1  28857