Theorem ptuniconst 23559

Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptuniconst.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
ptuniconst.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ptuniconst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem ptuniconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptuniconst.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
2	1	toptopon 22878	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		ptuniconst.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
4	3	pttoponconst 23558	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
5	2, 4	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
6		toponuni 22875	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ∪ cuni 4865   × cxp 5632  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_m cmap 8777  ∏_tcpt 17372  Topctop 22854  TopOnctopon 22871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1o 8409  df-2o 8410  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-fin 8901  df-fi 9328  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-top 22855  df-topon 22872  df-bases 22907

This theorem is referenced by:  xkopt  23616  xkopjcn  23617  poimirlem29  37929  poimirlem30  37930  poimirlem31  37931