Theorem ptuniconst 23584

Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptuniconst.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
ptuniconst.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ptuniconst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem ptuniconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptuniconst.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
2	1	toptopon 22903	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		ptuniconst.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
4	3	pttoponconst 23583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
5	2, 4	sylan2b 601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
6		toponuni 22900	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4557  ∪ cuni 4840   × cxp 5618  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ↑_m cmap 8767  ∏_tcpt 17396  Topctop 22879  TopOnctopon 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1o 8399  df-2o 8400  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-top 22880  df-topon 22897  df-bases 22932

This theorem is referenced by:  xkopt  23641  xkopjcn  23642  poimirlem29  38029  poimirlem30  38030  poimirlem31  38031