Theorem ptuniconst 22749

Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptuniconst.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
ptuniconst.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ptuniconst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem ptuniconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptuniconst.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
2	1	toptopon 22066	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		ptuniconst.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
4	3	pttoponconst 22748	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
5	2, 4	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
6		toponuni 22063	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) → (𝑋 ↑m 𝐴) = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561  ∪ cuni 4839   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  ∏_tcpt 17149  Topctop 22042  TopOnctopon 22059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-fin 8737  df-fi 9170  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096

This theorem is referenced by:  xkopt  22806  xkopjcn  22807  poimirlem29  35806  poimirlem30  35807  poimirlem31  35808