MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptuniconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptuniconst 21910
Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptuniconst.2 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
ptuniconst.1 𝑋 = 𝑅
Assertion
Ref Expression
ptuniconst ((𝐴𝑉𝑅 ∈ Top) → (𝑋𝑚 𝐴) = 𝐽)

Proof of Theorem ptuniconst
StepHypRef Expression
1 ptuniconst.1 . . . 4 𝑋 = 𝑅
21toptopon 21229 . . 3 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 ptuniconst.2 . . . 4 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
43pttoponconst 21909 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋𝑚 𝐴)))
52, 4sylan2b 584 . 2 ((𝐴𝑉𝑅 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋𝑚 𝐴)))
6 toponuni 21226 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋𝑚 𝐴)) → (𝑋𝑚 𝐴) = 𝐽)
75, 6syl 17 1 ((𝐴𝑉𝑅 ∈ Top) → (𝑋𝑚 𝐴) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {csn 4441   cuni 4712   × cxp 5405  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑚 cmap 8206  tcpt 16568  Topctop 21205  TopOnctopon 21222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-fin 8310  df-fi 8670  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-top 21206  df-topon 21223  df-bases 21258
This theorem is referenced by:  xkopt  21967  xkopjcn  21968  poimirlem29  34359  poimirlem30  34360  poimirlem31  34361
  Copyright terms: Public domain W3C validator