MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkopjcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xkopjcn 23380
Description: Continuity of a projection map from the space of continuous functions. (This theorem can be strengthened, to joint continuity in both 𝑓 and 𝐴 as a function on (𝑆 ↑ko 𝑅) Γ—t 𝑅, but not without stronger assumptions on 𝑅; see xkofvcn 23408.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkopjcn.1 𝑋 = βˆͺ 𝑅
Assertion
Ref Expression
xkopjcn ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn 𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋
Proof of Theorem xkopjcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑆 ↑ko 𝑅) = (𝑆 ↑ko 𝑅)
21xkotopon 23324 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
323adant3 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
4 xkopjcn.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = βˆͺ 𝑅
54topopn 22628 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
653ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
7 fconst6g 6779 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Top β†’ (𝑋 Γ— {𝑆}):π‘‹βŸΆTop)
873ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 Γ— {𝑆}):π‘‹βŸΆTop)
9 pttop 23306 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋 Γ— {𝑆}):π‘‹βŸΆTop) β†’ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ∈ Top)
106, 8, 9syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ∈ Top)
11 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
124, 11cnf 22970 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝑆)
13 uniexg 7732 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
14133ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1514, 6elmapd 8836 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝑆))
1612, 15imbitrrid 245 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) β†’ 𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋)))
1716ssrdv 3987 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋))
18 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ Top)
19 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) = (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆}))
2019, 11ptuniconst 23322 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})))
216, 18, 20syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})))
2217, 21sseqtrd 4021 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})))
23 eqid 2730 . . . . . . 7 βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆}))
2423restuni 22886 . . . . . 6 (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ∈ Top ∧ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆}))) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)))
2510, 22, 24syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)))
2625fveq2d 6894 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)) = (TopOnβ€˜βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆))))
273, 26eleqtrd 2833 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆))))
284, 19xkoptsub 23378 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) βŠ† (𝑆 ↑ko 𝑅))
29283adant3 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) βŠ† (𝑆 ↑ko 𝑅))
30 eqid 2730 . . . 4 βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) = βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆))
3130cnss1 23000 . . 3 (((𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆))) ∧ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) βŠ† (𝑆 ↑ko 𝑅)) β†’ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆) βŠ† ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn 𝑆))
3227, 29, 31syl2anc 582 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆) βŠ† ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn 𝑆))
3322resmptd 6039 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) β†Ύ (𝑅 Cn 𝑆)) = (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (π‘“β€˜π΄)))
34 simp3 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3523, 19ptpjcn 23335 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋 Γ— {𝑆}):π‘‹βŸΆTop ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄)))
366, 8, 34, 35syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄)))
37 fvconst2g 7204 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄) = 𝑆)
38373adant1 1128 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄) = 𝑆)
3938oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄)) = ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn 𝑆))
4036, 39eleqtrd 2833 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn 𝑆))
4123cnrest 23009 . . . 4 (((𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn 𝑆) ∧ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆}))) β†’ ((𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) β†Ύ (𝑅 Cn 𝑆)) ∈ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆))
4240, 22, 41syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) β†Ύ (𝑅 Cn 𝑆)) ∈ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆))
4333, 42eqeltrrd 2832 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆))
4432, 43sseldd 3982 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   β†Ύt crest 17370  βˆtcpt 17388  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948   ↑ko cxko 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cmp 23111  df-xko 23287
This theorem is referenced by:  cnmptkp  23404  xkofvcn  23408
  Copyright terms: Public domain W3C validator