MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkopjcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xkopjcn 23160
Description: Continuity of a projection map from the space of continuous functions. (This theorem can be strengthened, to joint continuity in both 𝑓 and 𝐴 as a function on (𝑆 ↑ko 𝑅) Γ—t 𝑅, but not without stronger assumptions on 𝑅; see xkofvcn 23188.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkopjcn.1 𝑋 = βˆͺ 𝑅
Assertion
Ref Expression
xkopjcn ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn 𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋
Proof of Theorem xkopjcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑆 ↑ko 𝑅) = (𝑆 ↑ko 𝑅)
21xkotopon 23104 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
323adant3 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)))
4 xkopjcn.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = βˆͺ 𝑅
54topopn 22408 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
653ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
7 fconst6g 6781 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Top β†’ (𝑋 Γ— {𝑆}):π‘‹βŸΆTop)
873ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 Γ— {𝑆}):π‘‹βŸΆTop)
9 pttop 23086 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋 Γ— {𝑆}):π‘‹βŸΆTop) β†’ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ∈ Top)
106, 8, 9syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ∈ Top)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
124, 11cnf 22750 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝑆)
13 uniexg 7730 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
14133ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1514, 6elmapd 8834 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝑆))
1612, 15imbitrrid 245 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) β†’ 𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋)))
1716ssrdv 3989 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋))
18 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ Top)
19 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) = (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆}))
2019, 11ptuniconst 23102 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})))
216, 18, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆͺ 𝑆 ↑m 𝑋) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})))
2217, 21sseqtrd 4023 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})))
23 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆}))
2423restuni 22666 . . . . . 6 (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ∈ Top ∧ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆}))) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)))
2510, 22, 24syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Cn 𝑆) = βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)))
2625fveq2d 6896 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (TopOnβ€˜(𝑅 Cn 𝑆)) = (TopOnβ€˜βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆))))
273, 26eleqtrd 2836 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆))))
284, 19xkoptsub 23158 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) βŠ† (𝑆 ↑ko 𝑅))
29283adant3 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) βŠ† (𝑆 ↑ko 𝑅))
30 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) = βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆))
3130cnss1 22780 . . 3 (((𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆))) ∧ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) βŠ† (𝑆 ↑ko 𝑅)) β†’ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆) βŠ† ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn 𝑆))
3227, 29, 31syl2anc 585 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆) βŠ† ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn 𝑆))
3322resmptd 6041 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) β†Ύ (𝑅 Cn 𝑆)) = (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (π‘“β€˜π΄)))
34 simp3 1139 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3523, 19ptpjcn 23115 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋 Γ— {𝑆}):π‘‹βŸΆTop ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄)))
366, 8, 34, 35syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄)))
37 fvconst2g 7203 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄) = 𝑆)
38373adant1 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄) = 𝑆)
3938oveq2d 7425 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn ((𝑋 Γ— {𝑆})β€˜π΄)) = ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn 𝑆))
4036, 39eleqtrd 2836 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn 𝑆))
4123cnrest 22789 . . . 4 (((𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) Cn 𝑆) ∧ (𝑅 Cn 𝑆) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆}))) β†’ ((𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) β†Ύ (𝑅 Cn 𝑆)) ∈ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆))
4240, 22, 41syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑓 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) ↦ (π‘“β€˜π΄)) β†Ύ (𝑅 Cn 𝑆)) ∈ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆))
4333, 42eqeltrrd 2835 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ (((∏tβ€˜(𝑋 Γ— {𝑆})) β†Ύt (𝑅 Cn 𝑆)) Cn 𝑆))
4432, 43sseldd 3984 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ↦ (π‘“β€˜π΄)) ∈ ((𝑆 ↑ko 𝑅) Cn 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820   β†Ύt crest 17366  βˆtcpt 17384  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   ↑ko cxko 23065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cmp 22891  df-xko 23067
This theorem is referenced by:  cnmptkp  23184  xkofvcn  23188
  Copyright terms: Public domain W3C validator