Theorem pttopon 23481

Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptunimpt.j	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
pttopon	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pttopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 22798	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐾 ∈ Top)
2	1	ralimi 3066	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
4	3	fmpt 7044	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top)
5	2, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top)
6		ptunimpt.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
7		pttop 23467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top) → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)) ∈ Top)
8	6, 7	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
9	5, 8	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
10		toponuni 22799	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐾)
11	10	ralimi 3066	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐾)
12		ixpeq2 8838	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐾 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
15	6	ptunimpt 23480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)
16	2, 15	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)
17	14, 16	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐽)
18		istopon 22797	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐽))
19	9, 17, 18	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4858   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  Xcixp 8824  ∏_tcpt 17342  Topctop 22778  TopOnctopon 22795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-2o 8389  df-ixp 8825  df-en 8873  df-fin 8876  df-fi 9301  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831

This theorem is referenced by:  pttoponconst  23482  ptclsg  23500  dfac14lem  23502  ptcnp  23507  prdstps  23514