MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pttopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pttopon 23520
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
pttopon ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem pttopon
StepHypRef Expression
1 topontop 22835 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐾 ∈ Top)
21ralimi 3080 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top)
3 eqid 2728 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
43fmpt 7125 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top)
52, 4sylib 217 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top)
6 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
7 pttop 23506 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)) ∈ Top)
86, 7eqeltrid 2833 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top) β†’ 𝐽 ∈ Top)
95, 8sylan2 591 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
10 toponuni 22836 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐾)
1110ralimi 3080 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ 𝐾)
12 ixpeq2 8936 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ 𝐾 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾)
1413adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾)
156ptunimpt 23519 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
162, 15sylan2 591 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
1714, 16eqtrd 2768 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
18 istopon 22834 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ 𝐽))
199, 17, 18sylanbrc 581 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆͺ cuni 4912   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  Xcixp 8922  βˆtcpt 17427  Topctop 22815  TopOnctopon 22832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-er 8731  df-ixp 8923  df-en 8971  df-fin 8974  df-fi 9442  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869
This theorem is referenced by:  pttoponconst  23521  ptclsg  23539  dfac14lem  23541  ptcnp  23546  prdstps  23553
  Copyright terms: Public domain W3C validator