Theorem pttopon 23520

Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptunimpt.j	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
pttopon	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pttopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 22835	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐾 ∈ Top)
2	1	ralimi 3080	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top)
3		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
4	3	fmpt 7125	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top)
5	2, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top)
6		ptunimpt.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
7		pttop 23506	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top) → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)) ∈ Top)
8	6, 7	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
9	5, 8	sylan2 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
10		toponuni 22836	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐾)
11	10	ralimi 3080	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐾)
12		ixpeq2 8936	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐾 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
14	13	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
15	6	ptunimpt 23519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)
16	2, 15	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)
17	14, 16	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐽)
18		istopon 22834	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐽))
19	9, 17, 18	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5235  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  Xcixp 8922  ∏_tcpt 17427  Topctop 22815  TopOnctopon 22832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-er 8731  df-ixp 8923  df-en 8971  df-fin 8974  df-fi 9442  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869

This theorem is referenced by:  pttoponconst  23521  ptclsg  23539  dfac14lem  23541  ptcnp  23546  prdstps  23553