MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pttopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pttopon 23450
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
pttopon ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem pttopon
StepHypRef Expression
1 topontop 22765 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐾 ∈ Top)
21ralimi 3077 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top)
3 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
43fmpt 7104 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top)
52, 4sylib 217 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top)
6 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
7 pttop 23436 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)) ∈ Top)
86, 7eqeltrid 2831 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top) β†’ 𝐽 ∈ Top)
95, 8sylan2 592 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
10 toponuni 22766 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐾)
1110ralimi 3077 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ 𝐾)
12 ixpeq2 8904 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ 𝐾 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾)
1413adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾)
156ptunimpt 23449 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
162, 15sylan2 592 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
1714, 16eqtrd 2766 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
18 istopon 22764 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ 𝐽))
199, 17, 18sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  Xcixp 8890  βˆtcpt 17390  Topctop 22745  TopOnctopon 22762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-er 8702  df-ixp 8891  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799
This theorem is referenced by:  pttoponconst  23451  ptclsg  23469  dfac14lem  23471  ptcnp  23476  prdstps  23483
  Copyright terms: Public domain W3C validator