MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pttopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pttopon 23544
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐴𝐾))
Assertion
Ref Expression
pttopon ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥𝐴 𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pttopon
StepHypRef Expression
1 topontop 22859 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐾 ∈ Top)
21ralimi 3072 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top)
3 eqid 2725 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐾) = (𝑥𝐴𝐾)
43fmpt 7119 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top)
52, 4sylib 217 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top)
6 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐴𝐾))
7 pttop 23530 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top) → (∏t‘(𝑥𝐴𝐾)) ∈ Top)
86, 7eqeltrid 2829 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
95, 8sylan2 591 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
10 toponuni 22860 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐾)
1110ralimi 3072 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐾)
12 ixpeq2 8930 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐾X𝑥𝐴 𝐵 = X𝑥𝐴 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → X𝑥𝐴 𝐵 = X𝑥𝐴 𝐾)
1413adantl 480 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥𝐴 𝐵 = X𝑥𝐴 𝐾)
156ptunimpt 23543 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = 𝐽)
162, 15sylan2 591 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥𝐴 𝐾 = 𝐽)
1714, 16eqtrd 2765 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥𝐴 𝐵 = 𝐽)
18 istopon 22858 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥𝐴 𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ X𝑥𝐴 𝐵 = 𝐽))
199, 17, 18sylanbrc 581 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050   cuni 4909  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  Xcixp 8916  tcpt 17423  Topctop 22839  TopOnctopon 22856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-er 8725  df-ixp 8917  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9436  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893
This theorem is referenced by:  pttoponconst  23545  ptclsg  23563  dfac14lem  23565  ptcnp  23570  prdstps  23577
  Copyright terms: Public domain W3C validator