Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pttopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pttopon 22204
 Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐴𝐾))
Assertion
Ref Expression
pttopon ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥𝐴 𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pttopon
StepHypRef Expression
1 topontop 21521 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐾 ∈ Top)
21ralimi 3131 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top)
3 eqid 2801 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐾) = (𝑥𝐴𝐾)
43fmpt 6855 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top)
52, 4sylib 221 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top)
6 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐴𝐾))
7 pttop 22190 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top) → (∏t‘(𝑥𝐴𝐾)) ∈ Top)
86, 7eqeltrid 2897 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
95, 8sylan2 595 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
10 toponuni 21522 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐾)
1110ralimi 3131 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐾)
12 ixpeq2 8462 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐾X𝑥𝐴 𝐵 = X𝑥𝐴 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → X𝑥𝐴 𝐵 = X𝑥𝐴 𝐾)
1413adantl 485 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥𝐴 𝐵 = X𝑥𝐴 𝐾)
156ptunimpt 22203 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = 𝐽)
162, 15sylan2 595 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥𝐴 𝐾 = 𝐽)
1714, 16eqtrd 2836 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥𝐴 𝐵 = 𝐽)
18 istopon 21520 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥𝐴 𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ X𝑥𝐴 𝐵 = 𝐽))
199, 17, 18sylanbrc 586 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥𝐴 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∪ cuni 4803   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  Xcixp 8448  ∏tcpt 16707  Topctop 21501  TopOnctopon 21518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ixp 8449  df-en 8497  df-fin 8500  df-fi 8863  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554 This theorem is referenced by:  pttoponconst  22205  ptclsg  22223  dfac14lem  22225  ptcnp  22230  prdstps  22237
 Copyright terms: Public domain W3C validator