Theorem pttopon 21777

Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptunimpt.j	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
pttopon	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pttopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 21095	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐾 ∈ Top)
2	1	ralimi 3161	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top)
3		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
4	3	fmpt 6634	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top)
5	2, 4	sylib 210	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top)
6		ptunimpt.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
7		pttop 21763	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top) → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)) ∈ Top)
8	6, 7	syl5eqel 2910	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
9	5, 8	sylan2 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
10		toponuni 21096	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐾)
11	10	ralimi 3161	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐾)
12		ixpeq2 8195	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐾 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
14	13	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾)
15	6	ptunimpt 21776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)
16	2, 15	sylan2 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)
17	14, 16	eqtrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐽)
18		istopon 21094	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝐽))
19	9, 17, 18	sylanbrc 578	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∪ cuni 4660   ↦ cmpt 4954  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  Xcixp 8181  ∏_tcpt 16459  Topctop 21075  TopOnctopon 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-ixp 8182  df-en 8229  df-fin 8232  df-fi 8592  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128

This theorem is referenced by:  pttoponconst  21778  ptclsg  21796  dfac14lem  21798  ptcnp  21803  prdstps  21810