![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltrec | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltrec | โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ด < ๐ต โ (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1red 11245 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ 1 โ โ) | |
2 | simprl 770 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ๐ต โ โ) | |
3 | simpll 766 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ๐ด โ โ) | |
4 | simplr 768 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ 0 < ๐ด) | |
5 | ltmuldiv 12117 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ ((1 ยท ๐ด) < ๐ต โ 1 < (๐ต / ๐ด))) | |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | syl112anc 1372 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ((1 ยท ๐ด) < ๐ต โ 1 < (๐ต / ๐ด))) |
7 | 3 | recnd 11272 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ๐ด โ โ) |
8 | 7 | mullidd 11262 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) |
9 | 8 | breq1d 5158 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ((1 ยท ๐ด) < ๐ต โ ๐ด < ๐ต)) |
10 | 2 | recnd 11272 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ๐ต โ โ) |
11 | 4 | gt0ne0d 11808 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ๐ด โ 0) |
12 | 10, 7, 11 | divrecd 12023 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ต / ๐ด) = (๐ต ยท (1 / ๐ด))) |
13 | 12 | breq2d 5160 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (1 < (๐ต / ๐ด) โ 1 < (๐ต ยท (1 / ๐ด)))) |
14 | 6, 9, 13 | 3bitr3d 309 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ด < ๐ต โ 1 < (๐ต ยท (1 / ๐ด)))) |
15 | 3, 11 | rereccld 12071 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (1 / ๐ด) โ โ) |
16 | simprr 772 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ 0 < ๐ต) | |
17 | ltdivmul 12119 | . . 3 โข ((1 โ โ โง (1 / ๐ด) โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ 1 < (๐ต ยท (1 / ๐ด)))) | |
18 | 1, 15, 2, 16, 17 | syl112anc 1372 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ 1 < (๐ต ยท (1 / ๐ด)))) |
19 | 14, 18 | bitr4d 282 | 1 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ด < ๐ต โ (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โ wcel 2099 class class class wbr 5148 (class class class)co 7420 โcr 11137 0cc0 11138 1c1 11139 ยท cmul 11143 < clt 11278 / cdiv 11901 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-po 5590 df-so 5591 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 |
This theorem is referenced by: lerec 12127 ltdiv2 12130 ltrec1 12131 reclt1 12139 recgt1 12140 ltreci 12154 nnrecl 12500 ltrecd 13066 chebbnd1 27404 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |