MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnngt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnngt1 13592
Description: If an integer power with a positive integer base is greater than 1, then the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
expnngt1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Proof of Theorem expnngt1
StepHypRef Expression
1 elznn 11986 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2 2a1 28 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
32a1d 25 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4 nncn 11635 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
543ad2ant3 1129 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 recn 10616 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
763ad2ant2 1128 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 simp1 1130 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℕ0)
9 expneg2 13428 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
105, 7, 8, 9syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
1110breq2d 5075 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴𝐵) ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
12 nnre 11634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13 reexpcl 13436 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1412, 13sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1514ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1612adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 nn0z 11994 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℤ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
19 nngt0 11657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
21 expgt0 13452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
2216, 18, 20, 21syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
2315, 22jca 512 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
24233adant2 1125 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
25 reclt1 11524 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
27123ad2ant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 nnge1 11654 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
29283ad2ant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐴)
3027, 8, 29expge1d 13519 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴↑-𝐵))
31 1red 10631 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
32153adant2 1125 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
3331, 32lenltd 10775 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑-𝐵) < 1))
34 pm2.21 123 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴↑-𝐵) < 1 → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
3533, 34syl6bi 254 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ)))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
3726, 36sylbird 261 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (1 / (𝐴↑-𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ))
3811, 37sylbid 241 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
39383exp 1113 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
403, 39jaoi 853 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4140impcom 408 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
421, 41sylbi 218 . 2 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
43423imp21 1108 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  cle 10665  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  0cn0 11886  cz 11970  cexp 13419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-seq 13360  df-exp 13420
This theorem is referenced by:  expnngt1b  13593
  Copyright terms: Public domain W3C validator