MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnngt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnngt1 14280
Description: If an integer power with a positive integer base is greater than 1, then the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
expnngt1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Proof of Theorem expnngt1
StepHypRef Expression
1 elznn 12629 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2 2a1 28 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
32a1d 25 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
543ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 recn 11245 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
763ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℕ0)
9 expneg2 14111 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
105, 7, 8, 9syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
1110breq2d 5155 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴𝐵) ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
12 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13 reexpcl 14119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1412, 13sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1514ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1612adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℤ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
19 nngt0 12297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
21 expgt0 14136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
2216, 18, 20, 21syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
2315, 22jca 511 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
24233adant2 1132 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
25 reclt1 12163 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
27123ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 nnge1 12294 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
29283ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐴)
3027, 8, 29expge1d 14205 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴↑-𝐵))
31 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
32153adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
3331, 32lenltd 11407 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑-𝐵) < 1))
34 pm2.21 123 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴↑-𝐵) < 1 → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
3533, 34biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ)))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
3726, 36sylbird 260 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (1 / (𝐴↑-𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ))
3811, 37sylbid 240 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
39383exp 1120 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
403, 39jaoi 858 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4140impcom 407 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
421, 41sylbi 217 . 2 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
43423imp21 1114 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  expnngt1b  14281
  Copyright terms: Public domain W3C validator