Theorem expnngt1 14194

Description: If an integer power with a positive integer base is greater than 1, then the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
expnngt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Proof of Theorem expnngt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12531	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2		2a1 28	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
3	2	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4		nncn 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		recn 11119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simp1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℕ0)
9		expneg2 14023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
11	10	breq2d 5084	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
12		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		reexpcl 14031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
14	12, 13	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
15	14	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
16	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		nn0z 12539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℤ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
19		nngt0 12199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
21		expgt0 14048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
23	15, 22	jca 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
24	23	3adant2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
25		reclt1 12042	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
27	12	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		nnge1 12196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
29	28	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐴)
30	27, 8, 29	expge1d 14118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴↑-𝐵))
31		1red 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
32	15	3adant2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
33	31, 32	lenltd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑-𝐵) < 1))
34		pm2.21 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴↑-𝐵) < 1 → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
35	33, 34	biimtrdi 254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ)))
36	30, 35	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
37	26, 36	sylbird 261	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (1 / (𝐴↑-𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ))
38	11, 37	sylbid 241	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
39	38	3exp 1125	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
40	3, 39	jaoi 863	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
41	40	impcom 408	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
42	1, 41	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
43	42	3imp21 1119	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  expnngt1b  14195