MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnngt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnngt1 14202
Description: If an integer power with a positive integer base is greater than 1, then the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
expnngt1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Proof of Theorem expnngt1
StepHypRef Expression
1 elznn 12572 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2 2a1 28 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
32a1d 25 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4 nncn 12218 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
543ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 recn 11197 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
763ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 simp1 1133 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℕ0)
9 expneg2 14034 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
105, 7, 8, 9syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
1110breq2d 5151 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴𝐵) ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
12 nnre 12217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13 reexpcl 14042 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1412, 13sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1514ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1612adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 nn0z 12581 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℤ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
19 nngt0 12241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
21 expgt0 14059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
2216, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
2315, 22jca 511 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
24233adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
25 reclt1 12107 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
27123ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 nnge1 12238 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
29283ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐴)
3027, 8, 29expge1d 14128 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴↑-𝐵))
31 1red 11213 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
32153adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
3331, 32lenltd 11358 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑-𝐵) < 1))
34 pm2.21 123 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴↑-𝐵) < 1 → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
3533, 34biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ)))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
3726, 36sylbird 260 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (1 / (𝐴↑-𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ))
3811, 37sylbid 239 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
39383exp 1116 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
403, 39jaoi 854 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4140impcom 407 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
421, 41sylbi 216 . 2 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
43423imp21 1111 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   < clt 11246  cle 11247  -cneg 11443   / cdiv 11869  cn 12210  0cn0 12470  cz 12556  cexp 14025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026
This theorem is referenced by:  expnngt1b  14203
  Copyright terms: Public domain W3C validator