Theorem expnngt1 14280

Description: If an integer power with a positive integer base is greater than 1, then the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
expnngt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Proof of Theorem expnngt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12629	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2		2a1 28	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
3	2	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4		nncn 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		recn 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simp1 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℕ0)
9		expneg2 14111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
11	10	breq2d 5155	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
12		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		reexpcl 14119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
14	12, 13	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
15	14	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
16	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		nn0z 12638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℤ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
19		nngt0 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
21		expgt0 14136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
23	15, 22	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
24	23	3adant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
25		reclt1 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
27	12	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		nnge1 12294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
29	28	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐴)
30	27, 8, 29	expge1d 14205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴↑-𝐵))
31		1red 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
32	15	3adant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
33	31, 32	lenltd 11407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑-𝐵) < 1))
34		pm2.21 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴↑-𝐵) < 1 → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
35	33, 34	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ)))
36	30, 35	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
37	26, 36	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (1 / (𝐴↑-𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ))
38	11, 37	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
39	38	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
40	3, 39	jaoi 858	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
41	40	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
42	1, 41	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
43	42	3imp21 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  expnngt1b  14281