MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnngt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnngt1 14277
Description: If an integer power with a positive integer base is greater than 1, then the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
expnngt1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Proof of Theorem expnngt1
StepHypRef Expression
1 elznn 12627 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2 2a1 28 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
32a1d 25 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4 nncn 12272 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
543ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 recn 11243 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
763ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 simp1 1135 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℕ0)
9 expneg2 14108 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
105, 7, 8, 9syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
1110breq2d 5160 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴𝐵) ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
12 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13 reexpcl 14116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1412, 13sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1514ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
1612adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℤ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
19 nngt0 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
21 expgt0 14133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
2216, 18, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
2315, 22jca 511 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
24233adant2 1130 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
25 reclt1 12161 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
27123ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 nnge1 12292 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
29283ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐴)
3027, 8, 29expge1d 14202 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴↑-𝐵))
31 1red 11260 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
32153adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
3331, 32lenltd 11405 . . . . . . . . . 10 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑-𝐵) < 1))
34 pm2.21 123 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴↑-𝐵) < 1 → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
3533, 34biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ)))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . 8 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
3726, 36sylbird 260 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (1 / (𝐴↑-𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ))
3811, 37sylbid 240 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
39383exp 1118 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
403, 39jaoi 857 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4140impcom 407 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
421, 41sylbi 217 . 2 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
43423imp21 1113 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  expnngt1b  14278
  Copyright terms: Public domain W3C validator