Theorem expnngt1 14385

Description: If an integer power with a positive integer base is greater than 1, then the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
expnngt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Proof of Theorem expnngt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12709	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2		2a1 29	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
3	2	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4		nncn 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		recn 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℕ0)
9		expneg2 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
11	10	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
12		nnre 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		reexpcl 14221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
14	12, 13	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
15	14	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
16	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		nn0z 12717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℤ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
19		nngt0 12369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
21		expgt0 14238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
23	15, 22	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
24	23	3adant2 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
25		reclt1 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
27	12	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		nnge1 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐴)
30	27, 8, 29	expge1d 14308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴↑-𝐵))
31		1red 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
32	15	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
33	31, 32	lenltd 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑-𝐵) < 1))
34		pm2.21 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴↑-𝐵) < 1 → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
35	33, 34	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ)))
36	30, 35	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
37	26, 36	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (1 / (𝐴↑-𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ))
38	11, 37	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
39	38	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
40	3, 39	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
41	40	impcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
42	1, 41	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
43	42	3imp21 1131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344  -cneg 11542   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  expnngt1b  14386