Theorem expnngt1 14206

Description: If an integer power with a positive integer base is greater than 1, then the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
expnngt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Proof of Theorem expnngt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 12545	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
2		2a1 28	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
3	2	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
4		nncn 12194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		recn 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℕ0)
9		expneg2 14035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
11	10	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
12		nnre 12193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		reexpcl 14043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
14	12, 13	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
15	14	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
16	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		nn0z 12554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℤ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
19		nngt0 12217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
21		expgt0 14060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑-𝐵))
23	15, 22	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
24	23	3adant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)))
25		reclt1 12078	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑-𝐵)) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 ↔ 1 < (1 / (𝐴↑-𝐵))))
27	12	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		nnge1 12214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐴)
30	27, 8, 29	expge1d 14130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴↑-𝐵))
31		1red 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
32	15	3adant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝐵) ∈ ℝ)
33	31, 32	lenltd 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) ↔ ¬ (𝐴↑-𝐵) < 1))
34		pm2.21 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴↑-𝐵) < 1 → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
35	33, 34	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴↑-𝐵) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ)))
36	30, 35	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴↑-𝐵) < 1 → 𝐵 ∈ ℕ))
37	26, 36	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (1 / (𝐴↑-𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ))
38	11, 37	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
39	38	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
40	3, 39	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))))
41	40	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
42	1, 41	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (1 < (𝐴↑𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)))
43	42	3imp21 1113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   < clt 11208   ≤ cle 11209  -cneg 11406   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  expnngt1b  14207