Theorem recgt1 12043

Description: The reciprocal of a positive number greater than 1 is less than 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recgt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < 1))

Proof of Theorem recgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11135	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 11663	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		ltrec 12029	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < (1 / 1)))
4	1, 2, 3	mpanl12 703	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < (1 / 1)))
5		1div1e1 11836	. . 3 ⊢ (1 / 1) = 1
6	5	breq2i 5094	. 2 ⊢ ((1 / 𝐴) < (1 / 1) ↔ (1 / 𝐴) < 1)
7	4, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  recgt1i  12044  recreclt  12046  recgt1d  12991  nnge2recico01  13451  fldiv4p1lem1div2  13785  0.999...  15837  rpnnen2lem3  16174  rpnnen2lem9  16180  flodddiv4  16375  log2cnv  26921  rplogsumlem2  27462  rpvmasumlem  27464  pntibndlem1  27566