Theorem sn-retire 42501

Description: Commuted version of sn-itrere 42500. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-retire	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-retire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr 42499	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
4	2, 3	rerecid2 42462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) = 1)
5	4	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) · i) = (1 · i))
6	2, 3	sn-rereccld 42460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℂ)
8	2	recnd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
9		ax-icn 11057	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	mulassd 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) · i) = ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)))
12		sn-1ticom 42447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
13		sn-it1ei 42449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 1) = i
14	12, 13	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · i) = i
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 · i) = i)
16	5, 11, 15	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)) = i)
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
18	6, 17	remulcld 11134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
21	1, 20	mtoi 199	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ))
23	22	necon4ad 2945	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
24		oveq1 7348	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) = (0 · i))
25		sn-0tie0 42463	. . . 4 ⊢ (0 · i) = 0
26		0re 11106	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
27	25, 26	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ (0 · i) ∈ ℝ
28	24, 27	eqeltrdi 2837	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
29	23, 28	impbid1 225	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999  ici 11000   · cmul 11003   /_ℝ crediv 42452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-2 12180  df-3 12181  df-resub 42378  df-rediv 42453

This theorem is referenced by: (None)