Theorem sn-retire 42499

Description: Commuted version of sn-itrere 42498. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-retire	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-retire

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 11227	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑅 · 𝑥) = 1)
2		sn-inelr 42497	. . . . . 6 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
3		simplll 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
4		simplrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) = 1)
6	3, 4, 5	remulinvcom 42462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑅) = 1)
7	6	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝑅) · i) = (1 · i))
8	4	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	3	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
10		ax-icn 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
12	8, 9, 11	mulassd 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝑅) · i) = (𝑥 · (𝑅 · i)))
13		sn-1ticom 42464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
14		sn-it1ei 42466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · 1) = i
15	13, 14	eqtri 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = i
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 · i) = i)
17	7, 12, 16	3eqtr3d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑅 · i)) = i)
18		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
19	4, 18	remulcld 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑅 · i)) ∈ ℝ)
20	17, 19	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
21	20	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
22	2, 21	mtoi 199	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
23	1, 22	rexlimddv 3161	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ))
25	24	necon4ad 2959	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
26		oveq1 7438	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) = (0 · i))
27		sn-0tie0 42469	. . . 4 ⊢ (0 · i) = 0
28		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	27, 28	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (0 · i) ∈ ℝ
30	26, 29	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
31	25, 30	impbid1 225	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   · cmul 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396

This theorem is referenced by: (None)