Theorem sn-retire 42934

Description: Commuted version of sn-itrere 42933. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-retire	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-retire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr 42932	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
4	2, 3	rerecid2d 42890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) = 1)
5	4	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) · i) = (1 · i))
6	2, 3	sn-rereccld 42887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℂ)
8	2	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
9		ax-icn 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	mulassd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) · i) = ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)))
12		sn-1ticom 42867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
13		sn-it1ei 42869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 1) = i
14	12, 13	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · i) = i
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 · i) = i)
16	5, 11, 15	3eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)) = i)
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
18	6, 17	remulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
21	1, 20	mtoi 199	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ))
23	22	necon4ad 2951	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
24		oveq1 7374	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) = (0 · i))
25		sn-0tie0 42896	. . . 4 ⊢ (0 · i) = 0
26		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
27	25, 26	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ (0 · i) ∈ ℝ
28	24, 27	eqeltrdi 2844	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
29	23, 28	impbid1 225	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   · cmul 11043   /_ℝ crediv 42872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-2 12244  df-3 12245  df-resub 42798  df-rediv 42873

This theorem is referenced by: (None)