Theorem sn-retire 43442

Description: Commuted version of sn-itrere 43441. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-retire	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-retire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr 43440	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
4	2, 3	rerecid2d 43398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) = 1)
5	4	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) · i) = (1 · i))
6	2, 3	sn-rereccld 43395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℂ)
8	2	recnd 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
9		ax-icn 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	mulassd 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) · i) = ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)))
12		sn-1ticom 43375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
13		sn-it1ei 43377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 1) = i
14	12, 13	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · i) = i
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 · i) = i)
16	5, 11, 15	3eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)) = i)
17		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
18	6, 17	remulcld 11288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
20	19	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
21	1, 20	mtoi 202	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ))
23	22	necon4ad 2974	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
24		oveq1 7423	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) = (0 · i))
25		sn-0tie0 43404	. . . 4 ⊢ (0 · i) = 0
26		0re 11259	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
27	25, 26	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ (0 · i) ∈ ℝ
28	24, 27	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
29	23, 28	impbid1 228	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150  ici 11151   · cmul 11154   /_ℝ crediv 43380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-2 12352  df-3 12353  df-resub 43306  df-rediv 43381

This theorem is used by: (None)