Theorem sn-retire 42157

Description: Commuted version of sn-itrere 42156. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-retire	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-retire

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 11212	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑅 · 𝑥) = 1)
2		sn-inelr 42155	. . . . . 6 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
3		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
4		simplrl 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) = 1)
6	3, 4, 5	remulinvcom 42122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑅) = 1)
7	6	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝑅) · i) = (1 · i))
8	4	recnd 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	3	recnd 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
10		ax-icn 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
12	8, 9, 11	mulassd 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝑅) · i) = (𝑥 · (𝑅 · i)))
13		sn-1ticom 42124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
14		sn-it1ei 42126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · 1) = i
15	13, 14	eqtri 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = i
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 · i) = i)
17	7, 12, 16	3eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑅 · i)) = i)
18		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
19	4, 18	remulcld 11276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑅 · i)) ∈ ℝ)
20	17, 19	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
21	20	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
22	2, 21	mtoi 198	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
23	1, 22	rexlimddv 3150	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
24	23	ex 411	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ))
25	24	necon4ad 2948	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
26		oveq1 7426	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) = (0 · i))
27		sn-0tie0 42129	. . . 4 ⊢ (0 · i) = 0
28		0re 11248	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	27, 28	eqeltri 2821	. . 3 ⊢ (0 · i) ∈ ℝ
30	26, 29	eqeltrdi 2833	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
31	25, 30	impbid1 224	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  ici 11142   · cmul 11145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-2 12308  df-3 12309  df-resub 42056

This theorem is referenced by: (None)