Theorem sn-retire 43303

Description: Commuted version of sn-itrere 43302. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-retire	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-retire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr 43301	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
4	2, 3	rerecid2d 43259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) = 1)
5	4	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) · i) = (1 · i))
6	2, 3	sn-rereccld 43256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℂ)
8	2	recnd 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
9		ax-icn 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	mulassd 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (((1 /ℝ 𝑅) · 𝑅) · i) = ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)))
12		sn-1ticom 43236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
13		sn-it1ei 43238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 1) = i
14	12, 13	eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · i) = i
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 · i) = i)
16	5, 11, 15	3eqtr3d 2809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)) = i)
17		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
18	6, 17	remulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((1 /ℝ 𝑅) · (𝑅 · i)) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrrd 2867	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
20	19	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
21	1, 20	mtoi 202	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ))
23	22	necon4ad 2980	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
24		oveq1 7430	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) = (0 · i))
25		sn-0tie0 43265	. . . 4 ⊢ (0 · i) = 0
26		0re 11228	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
27	25, 26	eqeltri 2862	. . 3 ⊢ (0 · i) ∈ ℝ
28	24, 27	eqeltrdi 2874	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
29	23, 28	impbid1 228	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119  ici 11120   · cmul 11123   /_ℝ crediv 43241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-2 12321  df-3 12322  df-resub 43167  df-rediv 43242

This theorem is used by: (None)