Theorem restdis 23207

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 23023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2		elpw2g 5351	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	2	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
4		restopn2 23206	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	1, 3, 4	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
6		velpw 4627	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
7		sstr 4017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8	7	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
10		velpw 4627	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	9, 10	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
12	11	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
13	6, 12	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
14	5, 13	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
15	14	eqrdv 2738	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  Topctop 22920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  dislly  23526  xkopt  23684