Theorem restdis 23075

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 22891	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2		elpw2g 5340	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	2	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
4		restopn2 23074	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	1, 3, 4	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
6		velpw 4603	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
7		sstr 3986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8	7	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
10		velpw 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	9, 10	imbitrrdi 251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
12	11	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
13	6, 12	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
14	5, 13	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
15	14	eqrdv 2725	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4598  (class class class)co 7414   ↾_t crest 17395  Topctop 22788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9428  df-rest 17397  df-topgen 17418  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842

This theorem is referenced by:  dislly  23394  xkopt  23552