MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restdis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restdis 23186
Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restdis ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 23002 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2 elpw2g 5333 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
32biimpar 477 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
4 restopn2 23185 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
51, 3, 4syl2an2r 685 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
6 velpw 4605 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
7 sstr 3992 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
87expcom 413 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
10 velpw 4605 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
119, 10imbitrrdi 252 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
1211pm4.71rd 562 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
136, 12bitrid 283 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
145, 13bitr4d 282 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
1514eqrdv 2735 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  𝒫 cpw 4600  (class class class)co 7431  t crest 17465  Topctop 22899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  dislly  23505  xkopt  23663
  Copyright terms: Public domain W3C validator