Theorem restdis 23457

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 23274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2		elpw2g 5294	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	2	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
4		restopn2 23456	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	1, 3, 4	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
6		velpw 4561	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
7		sstr 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8	7	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
9	8	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
10		velpw 4561	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	9, 10	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
12	11	pm4.71rd 572	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
13	6, 12	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
14	5, 13	bitr4d 285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
15	14	eqrdv 2758	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4556  (class class class)co 7408   ↾_t crest 17552  Topctop 23172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-en 8952  df-fin 8955  df-fi 9381  df-rest 17554  df-topgen 17575  df-top 23173  df-topon 23190  df-bases 23225

This theorem is used by:  dislly  23777  xkopt  23935