Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restdis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restdis 21702
 Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restdis ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 21519 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2 elpw2g 5243 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
32biimpar 478 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
4 restopn2 21701 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
51, 3, 4syl2an2r 681 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
6 velpw 4549 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
7 sstr 3978 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
87expcom 414 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
98adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
10 velpw 4549 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
119, 10syl6ibr 253 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
1211pm4.71rd 563 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
136, 12syl5bb 284 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
145, 13bitr4d 283 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
1514eqrdv 2823 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4541  (class class class)co 7151   ↾t crest 16686  Topctop 21417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-fin 8505  df-fi 8867  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-top 21418  df-topon 21435  df-bases 21470 This theorem is referenced by:  dislly  22021  xkopt  22179
 Copyright terms: Public domain W3C validator