MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restdis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restdis 23201
Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restdis ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 23017 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2 elpw2g 5338 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
32biimpar 477 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
4 restopn2 23200 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
51, 3, 4syl2an2r 685 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
6 velpw 4609 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
7 sstr 4003 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
87expcom 413 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
10 velpw 4609 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
119, 10imbitrrdi 252 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
1211pm4.71rd 562 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
136, 12bitrid 283 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
145, 13bitr4d 282 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
1514eqrdv 2732 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  𝒫 cpw 4604  (class class class)co 7430  t crest 17466  Topctop 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-en 8984  df-fin 8987  df-fi 9448  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968
This theorem is referenced by:  dislly  23520  xkopt  23678
  Copyright terms: Public domain W3C validator